Mathematik: Topologie: Basen topologischer Räume: Topologie: Beweise: Basischarakterisierung

"$\Rightarrow$"

Sei ${\mathcal {B}}$ eine Basis, das heißt $U=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}B_{i}$ für alle offenen Mengen $U$ mit $B_{i}\in {\mathcal {B}}$. Insbesondere ist $X$ offen. Also ist die erste Eigenschaft erfüllt.
Seien nun $B,C\in {\mathcal {B}}$. Der Schnitt $B\cap C$ ist offen, damit also nach Voraussetzung als Vereinigung offener Mengen darstellbar.