Mathematik: Topologie: Konstruktionen

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Konstruktion topologischer Räume[Bearbeiten]

Topologische Summe[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Indexmenge und eine Familie paarweise disjunkter topologischer Räume. Die topologische Summe ist die Vereinigung mit der folgenden Topologie : Eine Teilmenge gehört genau dann zu , wenn für jedes der Durchschnitt zu gehört.
Falls die Mengen nicht disjunkt sind, kann man sie aber dadurch disjunkt machen. dass man einfach den Index mit "dazu schreibt": Aus der Menge wird dann die Menge , die aus den Punkten besteht. Die Topologie auf besteht aus den Mengen , für die offen in ist.
DisjunkteVereinigung.svg


Produkttopologie[Bearbeiten]

Sei wieder eine beliebige Indexmenge und eine Familie topologischer Räume. Das Mengenprodukt der ist diejenige Menge, deren Punkte aus Familien von Punkten bestehen. Ein einzelner Punkt aus der Familie heißt -te Koordinate von . Im Fall einer endlichen Indexmenge ist das Produkt gegeben durch die -Tupel und die Koordinaten sind die einzelnen . Für jedes ist die -te Projektion gegeben durch , der Punkt wird also auf die -te Koordinate abgebildet. Die Produkttopologie auf ist gegeben durch die Basismengen der Form wobei offen in und für nur endlich viele ist. Der Raum versehen mit der Produkttopologie ist das topologische Produkt der Familie .
Produkttopologie.svg Im Fall bilden die Mengen die Basis des Produktes.
Die Produkttopologie ist die Initialtopologie auf bezüglich der Projektionen.

Quotiententopologie[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum. Weiter sei ~ eine Äquivalenzrelation R auf . Das heißt
  1. für je zwei Punkte ist entweder ~ oder ,
  2. aus ~ folgt ~ ,
  3. aus ~ und ~ folgt ~ .
Für ist die Äquivalenzklasse definiert als die Menge aller mit ~ .
Man kann nun die Menge als die Menge aller Äquivalenzklassen definieren. Man hat eine kanonische Projektion . Die Quotiententopologie besteht aus den Mengen , für die das Urbild offen in ist. Die Menge versehen mit der Quotiententopologie heißt Quotientenraum oder auch Faktorraum von bezüglich der Äquivalenzrelation .
Die Quotiententopologie ist die Identifizierungs- oder auch Finaltopologie auf bezüglich der Projektion.


Beispiel: Auf dem Intervall I = [a,b] sei die Äquivalenzrelation R gegeben durch a ~ b, d.h. nur die Endpunkte sind äquivalent. Der Quotientenraum I/R ist dann die 1-Sphäre . Bildlich ausgedrückt entsteht aus dem Intervall durch Verkleben der Endpunkte ein Kreis.
CircleAsQuotientSpaceOfAnInterval.svg


Zusammenkleben[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Quotiententopologie kann man ähnlich dem obigen Beispiel ein Verfahren angeben, wie man topologische Räume zusammenkleben kann. Sind und disjunkte topologische Räume und eine Abbildung von einer abgeschlossenen Teilmenge von nach , so klebt man und an der Teilmenge zusammen, indem man die Punkte von mit den Bildpunkten identifiziert. Dieses Verfahren wird unter Anderem zur Konstruktion von speziellen Räumen benutzt, die in der algebraischen Topologie untersucht werden. Doch zunächst einmal formulieren wir die genaue Definition.
Definition: Zusammenkleben von Räumen
Seien disjunkte topologische Räume, eine abgeschlossene Teilmenge von und eine Abbildung. Auf der topologischen Summe sei die Äquivalenzrelation R gegeben durch

Der durch Zusammenkleben von und mittels entstandene Raum, geschrieben , ist dann der Quotientenraum .

Kegel:
Sei ein topologischer Raum, das Einheitsintervall und ein topologischer Raum mit nur einem Punkt. Sei weiter die Teilmenge des Produktes gegeben durch und die Abbildung durch für . Durch das Zusammenkleben von mit vermöge entsteht der (topologische) Kegel über mit Spitze .
TopologicalCone.svg
Die ganze Teilmenge wird auf den Punkt geklebt.


Einhängung:
Sei wieder ein topologischer Raum, das Einheitsintervall und der topologische Raum mit zwei Punkten und der diskreten Topologie. Die Teilmenge des Produktes sei gegeben durch . Die Abbildung sei definiert durch für und für . Durch das Zusammenkleben von mit vermöge entsteht die Einhängung von .
Einhaengung.svg
Die Einhängung ist sozusagen ein doppelter Kegel, der "obere" Rand wird auf den Punkt , und der "untere" Rand auf den Punkt geklebt.


Die folgenden Räume werden jeweils aus einem Quadrat durch Verkleben der Seiten zusammengebastelt. Dazu sei für die folgenden Beispiele das Quadrat durch den Raum gegeben.


Möbiusband:
Dieser Raum entsteht, indem man zwei gegenüberliegende Kanten eines Quadrats "verkehrt herum" zusammenklebt.
MoebiusFromSquare.svg
Die Teilmenge sei gegeben durch , also die "obere" und die "untere" Kante des Quadrats. Weiter sei das Intervall von -1 bis 1, und die Abbildung sei gegeben durch
.
Der durch Verkleben vermöge enstandene Raum ist das Möbiusband.


In den nächsten Beispielen ist die Teilmenge , der Rand des Quadrates, gegeben durch .


Sphäre:
Die 2-Sphäre erhält man durch Verkleben des ganzen Randes des Quadrats auf einen Punkt.
SphereFromSquare.svg
Sei mit der diskreten Topologie. Die Abbildung sei gegeben durch für alle . Der durch Verkleben vermöge enstandene Raum ist homöomorph zur 2-Sphäre .
Einen Homöomorphismus kann man wie folgt konstruieren. Zunächst ist das Quadrat homöomorph zur Kreisscheibe vermöge der Abbildung
.
Die Umkehrabbildung ist gegeben durch
.
Anstelle des Quadrates kann man also genauso gut die Kreisscheibe vermöge der Abbildung zu dem Raum zusammenkleben. Wir betrachten nun die Scheibe in Polarkoordinaten. Dazu sei für jeden Punkt des der Abstand vom Nullpunkt und der Winkel von gegenüber der -Achse. Dann läßt sich jeder Punkt des in den Koordinaten darstellen mit und . Die Punkte der Scheibe sind dann gegeben durch die Punkte mit und .
Polarkoordinaten
Für einen festen Winkel kann man den Radius bijektiv auf einen Halbkreis abbilden durch , wobei und . Setzt man dies für alle Winkel zu einer Abbildung in den zusammen, so erhält man durch
eine stetige Abbildung , die den Mittelpunkt von auf den Südpol und den Rand auf den Nordpol abbildet. Dabei ist nach Konstruktion bijektiv auf . Der Abbildung entspricht nun eine Abbildung mit und sonst. Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn für besteht die Äquivalenzklasse nur aus dem Punkt , und für besteht zwar aus der Menge , aber diese Menge wird auf den Nordpol abgebildet. Da auf dem Inneren der Scheibe bijektiv ist, folgt, daß bijektiv ist. Die Stetigkeit von folgt aus der Definition der Quotiententopologie. Die Existenz einer stetigen Umkehrabbildung sei dem Leser als Übung überlassen.


In den nächsten zwei Beispielen wird der Rand des Quadrates auf die Figur 8, das sind zwei an einem Punkt zusammenhängende Kreise, geklebt. Formal ist die Figur gegeben durch .
Figure8 diagram.png


Torus:
Die Ringfläche entsteht aus dem Quadrat durch Zusammenkleben der gegenüberliegenden Seiten.
TorusFromSquare.svg
Sei die Figur 8 wie oben beschrieben und gegeben durch
.
Dann erhält man den Torus durch Verkleben von und vermöge , also .


Kleinsche Flasche:
KleinBottleFromSquare.svg
Sei wieder die Figur 8 und gegeben durch
.
Dann erhält man die Kleinsche Flasche durch Verkleben der beiden senkrechten Seiten von und verdrehtes Verkleben der waagerechten Seiten an die Figur 8.


Projektive Ebene:
ProjectivePlaneAsSquare.svg
Der Vollständigkeit halber sei noch die projektive Ebene erwähnt, die man durch verdrehtes Verkleben der jeweils gegenüberliegenden Seiten von erhält.


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