Mathematik: Topologie: Stetigkeit: Charakterisierung Stetigkeit

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Zunächst soll bewiesen werden, dass Urbilder offener Mengen offen sind, wenn die Abbildung stetig ist.

Sei also stetig und eine offene Menge in . Für jeden Punkt ist und eine Umgebung von . Wegen der Stetigkeit von existiert eine Umgebung von , die in abgebildet wird. Es ist also und damit auch . Nach Definition der Umgebung gibt es nun eine offene Menge mit . Daher gilt . Das Urbild ist also eine Vereinigung offener Mengen und damit selbst offen.  


Sei nun eine Abbildung, bei der die Urbilder offener Mengen offen sind. Es soll nun gezeigt werden, dass dann die Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sei also eine abgeschlossene Menge in . Das Komplement ist nach Definition offen in . Nach Voraussetzung ist dann offen und das Komplement von abgeschlossen in . Dieses Komplement ist aber gerade , weil jeder Punkt entweder in oder in liegt. Damit ist also abgeschlossen.  


Nehmen wir zu guter Letzt an, habe die Eigenschaft, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Es soll jetzt die Stetigkeit von gezeigt werden.

Dazu sei und eine Umgebung von . Als Umgebung von enthält eine offene Menge mit . Das Komplement ist dann abgeschlossen in , und nach Voraussetzung ist abgeschlossen in . Nun ist wiederum das Komplement von und damit offen in . Also ist eine Umgebung von , die in abgebildet wird, denn es gilt . ist also stetig in . Da dies für jedes gilt, ist stetig.  


Aus der Stetigkeit einer Abbildung folgt also, dass Urbilder offener Mengen offen sind. Daraus folgt, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, und dies impliziert wiederum die Stetigkeit von .

Alle drei Eigenschaften sind daher äquivalent.