<< Buch Topologie
Zurück zu Stetige Abbildungen
Ein wichtiges Konzept in der Topologie ist der Zusammenhang von Räumen. Man unterscheidet dabei verschiedene Stufen des Zusammenhangs. Die schwächste Form des Zusammenhangs liefert die folgende Definition.
Beispiel: Das Intervall
ist zusammenhängend.
Beweis: Sei also
offen. Angenommen,
. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke
von
. Angenommen
. Dann ist
,
ist offen, und daher gibt es ein kleines Intervall
um
, das noch ganz in
enthalten ist. Also ist
, und damit ist
nicht die kleinste obere Schranke von
. Es muss also
sein. Angenommen, es ist
. Da
offen ist, gibt es ein Intervall
um
, das noch ganz in
ist. Also ist
wegen
keine obere Schranke von A. Es muss also
sein. Falls auch
ist, überlegt man sich genauso, dass für eine obere Schranke
von
sein muss . Dann ist aber
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Der Zusammenhang liefert eine Idee davon, dass der anfangs definierte Rand einer Menge seinen Namen verdient. Es gilt nämlich der folgende
Satz: Sei
irgendeine Teilmenge eines topologischen Raumes
und sei
zusammenhängend. Wenn
sowohl das Innere
von
als auch das Äußere
trifft, dann trifft es auch den Rand
von
. In Formeln: aus
und
folgt
.
Beweis: Da
per Definition abgeschlossen ist, ist
offen.
ist ebenfalls per Definition offen. Wegen
ist
.
und
sind also offene, disjunkte Mengen. Nun ist aber
. Wenn also
wäre, wäre
im Widerspruch zum Zusammenhang von
.
Satz: Ist
eine zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes
, so ist auch der Abschluss
von
zusammenhängend.
Beweis: Seien
disjunkte in
offene Mengen mit
. Dann ist auch
. Sei
. Da
zusammenhängend ist, muss
sein. Also ist
. Da
offen und damit
abgeschlossen ist, folgt
. Dann ist aber
und das bedeutet, dass
zusammenhängend ist.
Satz: Sei
eine Familie zusammenhängender Teilmengen eines topologischen Raumes
. Wenn
, dann ist
zusammenhängend.
Beweis: Nehmen wir an, dass
nicht zusammenhängend ist. Es gibt also zwei in
offene disjunkte Mengen
, sodass
,
und
. Wegen
ist
für ein
. Wegen
ist auch insbesondere
. Da
zusammenhängend ist, muss
sein, und das bedeutet
. Dann ist aber wegen
auch
für jedes
. Weiter ist für jedes
wegen
auch
, und wegen des Zusammenhangs von
muss dann
sein. Dann folgt aber
im Widerspruch zur Annahme.
Ein weiterer Satz betrifft stetige Abbildungen.
Satz: Ist
ein zusammenhängender Raum und
stetig, so ist das Bild
von
zusammenhängend.
Beweis: Wäre
nicht zusammenhängend, so gäbe es zwei disjunkte, nicht leere und offene Mengen
und
in
, sodass
und
.
und
sind dann nicht leer, disjunkt und wegen der Stetigkeit von
auch offen in
. Schließlich ist dann
im Widerspruch zum Zusammenhang von
.
Satz (Zwischenwertsatz): Ist
ein zusammenhängender Raum und
eine stetige Funktion von
in die reellen Zahlen. Seien weiter
mit
. Dann wird auch jeder Wert zwischen
und
angenommen, ist also
, so folgt
.
Beweis: Zunächst ist wegen des vorigen Satzes
zusammenhängend. Angenommen es gibt ein
mit
. Dann sei
die offene Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als
sind, und
die offene Menge aller Zahlen größer als
. Offensichtlich ist
. Wegen
sind
und
nicht leer. Schließlich ist
im Widerspruch zum Zusammenhang von
.
Definition: Zusammenhangskomponente
|
Sei ein topologischer Raum und . Die Zusammenhangskomponente von ist die Vereinigung aller zusammenhängenden Teilmengen von , die enthalten. Anders gesagt, ist und zusammenhängend , so ist .
|
Satz: Die Zusammenhangskomponente
ist zusammenhängend und abgeschlossen.
Beweis:
ist als Vereinigung zusammenhängender Mengen mit nicht leerem Durchschnitt (mindestens
ist drin) wieder zusammenhängend. Falls
ist, ist
trivialerweise abgeschlossen. Sei andernfalls
. Dann ist nach Definition von
die Menge
nicht zusammenhängend. Es gibt also offene, disjunkte Mengen
mit
,
und
. Da
zusammenhängend und
ist, ist
oder
. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit
. Dann muss aber
oder anders gesagt
sein. Das bedeutet aber, dass es zu
noch eine offene Umgebung, nämlich
, gibt mit
. Das ist aber gerade die Offenheit von
, und
ist daher abgeschlossen.
Satz: Die Zusammenhangskomponenten zweier Punkte
sind entweder gleich oder disjunkt.
Beweis: Sei
. Dann ist
zusammenhängend, und daher ist
. Es gilt also
und daher
. Genauso schließt man
und damit folgt
.
Satz: Ist
gleichzeitig offen und abgeschlossen und ist
, dann ist
.
Beweis: Da
offen und abgeschlossen ist, sind
und
offene disjunkte Mengen. Sei
eine zusammenhängende Teilmenge von
und
. Dann ist
und
. Wegen des Zusammenhangs von
ist dann
und daher
.
Dies gilt für jede zusammenhängende Menge die
enthält, und das bedeutet
.
Die nächst stärkere Stufe des Zusammenhangs ist der Wegzusammenhang. Wie der Name schon vermuten lässt, bedeutet diese Form des Zusammenhangs, dass sich je zwei Punkte eines Raumes durch einen Weg verbinden lassen. Das wird präzisiert durch die folgende
Definition: Wegzusammenhang
|
Ein topologischer Raum heißt wegzusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung gibt mit und . Die Abbildung heißt Weg von nach .
Eine Teilmenge heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten einen Weg von nach in gibt, also eine stetige Abbildung mit und .
|
Der nächste Satz gibt Auskunft darüber, warum der Wegzusammenhang eine stärkere Eigenschaft als der Zusammenhang ist.
Satz: Eine wegzusammenhängende Teilmenge
eines topologischen Raumes
ist zusammenhängend.
Beweis: Angenommen,
ist nicht zusammenhängend. Dann gibt es zwei nicht leere, disjunkte offene Mengen
mit
und
. Sei nun
und
ein Weg von
nach
. Dann sind
und
offen in
wegen der Stetigkeit von
. Es ist
wegen
. Weiter ist
wegen
und ebenso
. Schließlich ist
wegen
im Widerspruch zum Zusammenhang von
.
Als nächstes werden ein paar Beispiele vorgestellt.
- Der reelle Raum
ist wegzusammenhängend, denn für
definiere den Weg
von
nach
durch
.
- Eine Menge
mit der indiskreten Topologie ist wegzusammenhängend.
- In einer Menge
mit der diskreten Topologie sind alle Punkte isoliert, man kann keine zwei Punkte durch einen Weg verbinden.
- Schließlich noch ein Beispiel für einen Raum, der zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, und zwar der Graph der Funktion
, genauer:
mit der Unterraumtopologie des
.
- Beweis: Angenommen,
wäre wegzusammenhängend. Dann gäbe es einen Weg
mit
und
. Ein solcher Weg ist auch eine Abbildung in den
und man kann
schreiben als
mit stetigen Funktionen
und
. Betrachte die Funktion
mit
und
. Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder Wert
angenommen und damit ist auch
. Da
abgeschlossen ist, ist auch
abgeschlossen in
und es existiert das Maximum
von
. Dann ist
und
für alle
. In jeder Umgebung
von
ist ein Intervall von
bis
enthalten, sodass
und
. Die Funktion
ist auf
und damit auch auf dem Intervall
stetig, und daher werden nach dem Zwischenwertsatz auch alle Werte
angenommen. Wähle nun eine natürliche Zahl
so, dass
. Dann ist
. Es gibt also ein
mit
. Wegen
ist
. Betrachte nun die Kugel
um
mit Radius
. Wie gerade ausgeführt gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung
von
ein
mit
im Widerspruch zur Stetigkeit von
.
- Bleibt noch zu zeigen, dass
zusammenhängend ist. Man kann sich leicht überlegen, dass die Teilmenge
wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist. Ebenso ist
zusammenhängend. Nach einem der vorigen Sätze sind dann auch
und
zusammenhängend. Weiter ist
und damit folgt, dass
zusammenhängend ist. 
Analog zur Zusammenhangskomponente kann man natürlich auch eine Wegzusammenhangskomponente definieren.
Definition: Wegzusammenhangskomponente
|
Sei ein topologischer Raum und . Die Wegzusammenhangskomponente oder auch Bogenkomponente von ist die Menge aller Punkte in , die durch einen Weg von erreichbar sind. Also .
|
Bemerkungen
- Die Bogenkomponente eines Punktes
ist wegzusammenhängend und damit zusammenhängend.
- Die Bogenkomponente
eines Punktes ist in der Zusammenhangskomponente enthalten, also
.
- Ist
und
gleichzeitig offen und abgeschlossen, so ist
, also 
Satz: Sind
zwei Punkte des Raumes
, so ist entweder
oder
. Die Bogenkomponenten sind also entweder gleich oder disjunkt.
Beweis: Angenommen,
und
. Dann gibt es einen Weg
von
nach
und einen Weg
von
nach
. Wir wollen nun zeigen, dass
ist. Sei dazu
. Falls
ist, ist nichts zu tun. Anderenfalls ist
, und es gibt einen Weg
von
nach
. Definiere die Abbildung
durch

Dann ist
stetig und ein Weg von
entlang
nach
, von
rückwärts entlang
nach
und schließlich von
entlang
nach
. Es ist also
und damit
wie behauptet. Daraus erhält man schließlich
, also
. Genauso schließt man, dass
ist, und das bedeutet
.
Schließlich gibt es auch noch lokale Versionen der Zusammenhangsdefinitionen, in denen es um den Zusammenhang in der Umgebung eines Punktes geht.
Definition: lokaler Zusammenhang
|
Sei ein topologischer Raum und . heißt lokal zusammenhängend in , wenn es in jeder Umgebung von eine zusammenhängende Umgebung von gibt mit . heißt lokal zusammenhängend, wenn für alle Punkte lokal zusammenhängend in ist.
|
Definition: lokaler Wegzusammenhang
|
Sei ein topologischer Raum und . heißt lokal wegzusammenhängend in , wenn es in jeder Umgebung von eine wegzusammenhängende Umgebung von gibt mit . heißt lokal wegzusammenhängend, wenn für alle Punkte lokal wegzusammenhängend in ist.
|
Zum Schluß folgt noch ein Beispiel dafür, dass die beiden letzteren Versionen wirklich etwas Neues bedeuten. Der "Kamm" ist ein Raum, der zwar wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist, aber im Punkt
ist er weder lokal zusammenhängend noch lokal
wegzusammenhängend, da die "Zinken" für
gegen 0 immer dichter werden.
Der Kamm ist definiert als
.
Weiter mit Filter und Konvergenz