Mathematik: Topologie: Zusammenhang

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Zusammenhängende Räume[Bearbeiten]

Ein wichtiges Konzept in der Topologie ist der Zusammenhang von Räumen. Man unterscheidet dabei verschiedene Stufen des Zusammenhangs. Die schwächste Form des Zusammenhangs liefert die folgende Definition.

Definition: Zusammenhang
Sei ein topologischer Raum. heißt zusammenhängend, wenn es keine Zerlegung von in zwei disjunkte, nicht leere offene Mengen und gibt. Anders gesagt, sind offen, und , dann folgt oder .

Ist eine Teilmenge eines topologischen Raumes , so heißt zusammenhängend, wenn mit der Unterraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist.


Beispiel: Das Intervall ist zusammenhängend.

Beweis: Sei also offen. Angenommen, . Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von . Angenommen . Dann ist , ist offen, und daher gibt es ein kleines Intervall um , das noch ganz in enthalten ist. Also ist , und damit ist nicht die kleinste obere Schranke von . Es muss also sein. Angenommen, es ist . Da offen ist, gibt es ein Intervall um , das noch ganz in ist. Also ist wegen keine obere Schranke von A. Es muss also sein. Falls auch ist, überlegt man sich genauso, dass für eine obere Schranke von sein muss . Dann ist aber im Widerspruch zur Voraussetzung.


Der Zusammenhang liefert eine Idee davon, dass der anfangs definierte Rand einer Menge seinen Namen verdient. Es gilt nämlich der folgende

Satz: Sei irgendeine Teilmenge eines topologischen Raumes und sei zusammenhängend. Wenn sowohl das Innere von als auch das Äußere trifft, dann trifft es auch den Rand von . In Formeln: aus und folgt .

Beweis: Da per Definition abgeschlossen ist, ist offen. ist ebenfalls per Definition offen. Wegen ist . und sind also offene, disjunkte Mengen. Nun ist aber . Wenn also wäre, wäre im Widerspruch zum Zusammenhang von


Satz: Ist eine zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes , so ist auch der Abschluss von zusammenhängend.

Beweis: Seien disjunkte in offene Mengen mit . Dann ist auch . Sei . Da zusammenhängend ist, muss sein. Also ist . Da offen und damit abgeschlossen ist, folgt . Dann ist aber und das bedeutet, dass zusammenhängend ist.


Satz: Sei eine Familie zusammenhängender Teilmengen eines topologischen Raumes . Wenn , dann ist zusammenhängend.

Beweis: Nehmen wir an, dass nicht zusammenhängend ist. Es gibt also zwei in offene disjunkte Mengen , sodass , und . Wegen ist für ein . Wegen ist auch insbesondere . Da zusammenhängend ist, muss sein, und das bedeutet . Dann ist aber wegen auch für jedes . Weiter ist für jedes wegen auch , und wegen des Zusammenhangs von muss dann sein. Dann folgt aber im Widerspruch zur Annahme.


Ein weiterer Satz betrifft stetige Abbildungen.

Satz: Ist ein zusammenhängender Raum und stetig, so ist das Bild von zusammenhängend.

Beweis: Wäre nicht zusammenhängend, so gäbe es zwei disjunkte, nicht leere und offene Mengen und in , sodass und . und sind dann nicht leer, disjunkt und wegen der Stetigkeit von auch offen in . Schließlich ist dann im Widerspruch zum Zusammenhang von


Satz (Zwischenwertsatz): Ist ein zusammenhängender Raum und eine stetige Funktion von in die reellen Zahlen. Seien weiter mit . Dann wird auch jeder Wert zwischen und angenommen, ist also , so folgt .

Beweis: Zunächst ist wegen des vorigen Satzes zusammenhängend. Angenommen es gibt ein mit . Dann sei die offene Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als sind, und die offene Menge aller Zahlen größer als . Offensichtlich ist . Wegen sind und nicht leer. Schließlich ist im Widerspruch zum Zusammemhang von .


Definition: Zusammenhangskomponente
Sei ein topologischer Raum und . Die Zusammenhangskomponente von ist die Vereinigung aller zusammenhängenden Teilmengen von , die enthalten. Anders gesagt, ist und zusammenhängend , so ist .


Satz: Die Zusammenhangskomponente ist zusammenhängend und abgeschlossen.

Beweis: ist als Vereinigung zusammenhängender Mengen mit nicht leerem Durchschnitt (mindestens ist drin) wieder zusammenhängend. Falls ist, ist trivialerweise abgeschlossen. Sei andernfalls . Dann ist nach Definition von die Menge nicht zusammenhängend. Es gibt also offene, disjunkte Mengen mit , und . Da zusammenhängend und ist, ist oder . Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Dann muss aber oder anders gesagt sein. Das bedeutet aber, dass es zu noch eine offene Umgebung, nämlich , gibt mit . Das ist aber gerade die Offenheit von , und ist daher abgeschlossen.


Satz: Die Zusammenhangskomponenten zweier Punkte sind entweder gleich oder disjunkt.

Beweis: Sei . Dann ist zusammenhängend, und daher ist . Es gilt also und daher . Genauso schließt man und damit folgt .


Satz: Ist gleichzeitig offen und abgeschlossen und ist , dann ist .

Beweis: Da offen und abgeschlossen ist, sind und offene disjunkte Mengen. Sei eine zusammenhängende Teilmenge von und . Dann ist und . Wegen des Zusammenhangs von ist dann und daher . Dies gilt für jede zusammenhängende Menge die enthält, und das bedeutet .


Die nächst stärkere Stufe des Zusammenhangs ist der Wegzusammenhang. Wie der Name schon vermuten lässt, bedeutet diese Form des Zusammenhangs, dass sich je zwei Punkte eines Raumes durch einen Weg verbinden lassen. Das wird präzisiert durch die folgende

Definition: Wegzusammenhang
Ein topologischer Raum heißt wegzusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung gibt mit und . Die Abbildung heißt Weg von nach .

Eine Teilmenge heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten einen Weg von nach in gibt, also eine stetige Abbildung mit und .

Der nächste Satz gibt Auskunft darüber, warum der Wegzusammenhang eine stärkere Eigenschaft als der Zusammenhang ist.

Satz: Eine wegzusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes ist zusammenhängend.

Beweis: Angenommen, ist nicht zusammenhängend. Dann gibt es zwei nicht leere, disjunkte offene Mengen mit und . Sei nun und ein Weg von nach . Dann sind und offen in wegen der Stetigkeit von . Es ist wegen . Weiter ist wegen und ebenso . Schließlich ist wegen im Widerspruch zum Zusammenhang von .


Als nächstes werden ein paar Beispiele vorgestellt.

  • Der reelle Raum ist wegzusammenhängend, denn für definiere den Weg von nach durch .
  • Eine Menge mit der indiskreten Topologie ist wegzusammenhängend.
  • In einer Menge mit der diskreten Topologie sind alle Punkte isoliert, man kann keine zwei Punkte durch einen Weg verbinden.
  • Schließlich noch ein Beispiel für einen Raum, der zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, und zwar der Graph der Funktion , genauer: mit der Unterraumtopologie des .

Sinus 1 durch x 01.png

Beweis: Angenommen, wäre wegzusammenhängend. Dann gäbe es einen Weg mit und . Ein solcher Weg ist auch eine Abbildung in den und man kann schreiben als mit stetigen Funktionen und . Betrachte die Funktion mit und . Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder Wert angenommen und damit ist auch . Da abgeschlossen ist, ist auch abgeschlossen in und es existiert das Maximum von . Dann ist und für alle . In jeder Umgebung von ist ein Intervall von bis enthalten, sodass und . Die Funktion ist auf und damit auch auf dem Intervall stetig, und daher werden nach dem Zwischenwertsatz auch alle Werte angenommen. Wähle nun eine natürliche Zahl so, dass . Dann ist . Es gibt also ein mit . Wegen ist . Betrachte nun die Kugel um mit Radius . Wie gerade ausgeführt gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung von ein mit im Widerspruch zur Stetigkeit von .
Bleibt noch zu zeigen, dass zusammenhängend ist. Man kann sich leicht überlegen, dass die Teilmenge wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist. Ebenso ist zusammenhängend. Nach einem der vorigen Sätze sind dann auch und zusammenhängend. Weiter ist und damit folgt, dass zusammenhängend ist.


Analog zur Zusammenhangskomponente kann man natürlich auch eine Wegzusammenhangskomponente definieren.

Definition: Wegzusammenhangskomponente
Sei ein topologischer Raum und . Die Wegzusammenhangskomponente oder auch Bogenkomponente von ist die Menge aller Punkte in , die durch einen Weg von erreichbar sind. Also .

Bemerkungen

  • Die Bogenkomponente eines Punktes ist wegzusammenhängend und damit zusammenhängend.
  • Die Bogenkomponente eines Punktes ist in der Zusammenhangskomponente enthalten, also .
  • Ist und gleichzeitig offen und abgeschlossen, so ist , also


Satz: Sind zwei Punkte des Raumes , so ist entweder oder . Die Bogenkomponenten sind also entweder gleich oder disjunkt.

Beweis: Angenommen, und . Dann gibt es einen Weg von nach und einen Weg von nach . Wir wollen nun zeigen, dass ist. Sei dazu . Falls ist, ist nichts zu tun. Anderenfalls ist , und es gibt einen Weg von nach . Definiere die Abbildung durch

Dann ist stetig und ein Weg von entlang nach , von rückwärts entlang nach und schließlich von entlang nach . Es ist also und damit wie behauptet. Daraus erhält man schließlich , also . Genauso schließt man, dass ist, und das bedeutet .


Schließlich gibt es auch noch lokale Versionen der Zusammenhangsdefinitionen, in denen es um den Zusammenhang in der Umgebung eines Punktes geht.

Definition: lokaler Zusammenhang
Sei ein topologischer Raum und . heißt lokal zusammenhängend in , wenn es in jeder Umgebung von eine zusammenhängende Umgebung von gibt mit . heißt lokal zusammenhängend, wenn für alle Punkte lokal zusammenhängend in ist.
Definition: lokaler Wegzusammenhang
Sei ein topologischer Raum und . heißt lokal wegzusammenhängend in , wenn es in jeder Umgebung von eine wegzusammenhängende Umgebung von gibt mit . heißt lokal wegzusammenhängend, wenn für alle Punkte lokal wegzusammenhängend in ist.


Zum Schluß folgt noch ein Beispiel dafür, dass die beiden letzteren Versionen wirklich etwas Neues bedeuten. Der "Kamm" ist ein Raum, der zwar wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist, aber im Punkt ist er weder lokal zusammenhängend noch lokal wegzusammenhängend, da die "Zinken" für gegen 0 immer dichter werden.

Kamm 01.png

Der Kamm ist definiert als .



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