Mathematik für Faule: Differentialräume/ Lie-Invoide

Satz (Vollberandung der Orbits):

Beweis: Da $\theta ^{-1}$ Ü-Endlichkeit erhält, tut dies auch $\theta _{p}$ für jedes $p$ (es ist ja $K\times \{p\}$ für jedes ü-endliche $K\subseteq G$ selbst ü-endlich). Somit ist auch $\theta _{p}$ nach einem Satz der Topologie vollberandungserhaltend, und daher ist der Orbit $\theta _{p}(G)$ vollberandet. $\Box$

Satz (Hausdorff-Eigenschaft des Quotientenraums):

Beweis: Zwei Orbits liegen nicht beliebig nahe beieinander, es seien $Gp$ und $Gq$ zwei verschiedene Orbits, und $(U_{n})$ und $(V_{n})$ Nachbarschaftssysteme von $p$ bzw. $q$. Falls $GU_{n}\cap GV_{n}\neq \emptyset$ für alle $n$, so gibt es eine Folge $(h_{n})$ in $G$ mit $h_{n}u_{n}=v_{n}$ für gewisse $u_{n}\in U_{n}$ und $v_{n}\in V_{n}$. Somit gilt $h_{n}p\to q$, ein Widerspruch dazu, dass $Gp$ vollberandet ist. $\Box$

Satz (Quotientenraum):

Es operiere das Lie-Invoid $G$ auf dem Differentialraum $M$, wobei $\theta ^{-1}$ ü-enlicherhaltend und alle Isotropieinvoide trivial seien. Dann ist $M/G$ auf eindeutige Weise ein Differentialraum mit der Eigenschaft, dass die kanonische Abhängige $M\to M/G$

Beweis: Es sei $p\in M$ beliebig und $Gp$ der zugehörige Orbit. Es ist $Gp$ ein starker Unterraum von $M$, und daher gibt es um $p$ an $Gp$ angepasste Koordinaten. Es sei $N\leq M$ gegeben durch die Koordinaten $(0,\ldots ,0,y_{1},\ldots ,y_{k})$, wobei $n=\dim G$ und $n+k=m$ mit $m=\dim M$. Dann ist die Abhängige $G\times N\to M$, die durch $(g,q)\mapsto gq$ gegeben ist, in $(e,p)$ invertierbar, lässt sich also auf eine Umgebung von $(e,p)$ einschränken, sodass sie dort invertierbar ist. Auf dieser Umgebung bildet sie somit selbst ein Koordinatensystem.

Von hier aus so weiter wie im üblichen Beweis, außer:

Es seien zwei Karten von $M/G$ gegeben, die sich in ${\overline {y}}\in M/G$ schneiden. Diese stammen von zwei angepassen Koordinatensystemen wie oben, und falls $y,y'$ entsprechende Repräsentanten sind, so gibt es ein $g$ mit $gy=y'$. Die Kompatibilität in ${\overline {y}}$ ist somit auf der Ebene von $M$ zu prüfen, was geht, da $g$ selbst ein Isomorphismus ist. $\Box$

Übungen

1. Beweisen Sie: Ist $G$ ein Lie-Invoid, welches eine abzählbare Basis hat und auf $M$ operiert, und hat $G$ eine geringere Dimension als $M$, so ist ein Orbit niemals ganz $M$.