Mathematik für Faule: Divoidtheorie und Polynomalgebra/ Wertungen und der Satz von Ostrowski

Satz (Ostrowski):

Die einzigen Wertungen auf $\mathbb {Q}$ sind Potenzen der $p$ -Wertungen und Potenzen der Standardwertung.

Beweis: Es sei $|\cdot |'$ eine beliebige Wertung. Entweder es gilt $|n|'\leq 1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , oder es gibt ein $n\in \mathbb {N}$ mit $|n|'>1$ .

Im ersteren Falle ist entweder $|\cdot |'$ trivial, oder aber es gibt ein $n\in \mathbb {N}$ mit $|n|'<1$ . Gemäß Multiplikativität und Primfaktorzerlegung gibt es somit auch eine Primzahl $p$ mit $|p|'<1$ . Angenommen, es gäbe eine andere Primzahl $q\neq p$ mit $|q|'<1$ . Es gilt für alle $n\in \mathbb {N}$ , dass $\gcd(p^{n},q^{n})=1$ und daher gibt es $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $rp^{n}+sq^{n}=1$ . Also gilt nach der Dreiecksabschätzung

1=|1|\leq |s||p^{n}|+|r||q^{n}|\leq |p^{n}|+|q^{n}|=|p|^{n}+|q|^{n}

,

und für $n$ hinreichend groß wird die rechte Seite $<1$ , was zum Widerspruch $1<1$ führt.

Falls es $n\in \mathbb {N}$ mit $|n|'>1$ gibt, so sei $b>1$ beliebig. Wir schreiben $n^{k}$ in der Basis $b$ :

n^{k}=\sum _{j=0}^{m}a_{j}b^{j}

mit

0\leq a_{j}<b

und

m

minimal.

Dann gilt

{\begin{aligned}|n^{k}|'&\leq m\max _{j}|a_{j}b^{j}|'\\&\leq m|b|'^{m+1}.\end{aligned}}

Aber $b^{m}\leq n^{k}$ , also $m\ln(b)\leq k\ln(n)\Leftrightarrow m\leq k\log _{b}(n)$ . Folglich

|n^{k}|'\leq k\log _{b}(n)|b|'^{k\log _{b}(n)+1}

und daher

|n|'\leq {\sqrt[{k}]{k|b|'\log _{b}(n)}}|b|'^{\log _{b}(n)}

.

Mit $k\to \infty$ folgt

|n|'\leq |b|'^{\log _{b}(n)}\Leftrightarrow |n|'^{1/\ln(n)}\leq |b|'^{1/\ln(b)}

und wegen $|n|'>1$ auch $|b|'>1$ . Indem wir die Rollen von $n$ und $b$ vertauschen, erhalten wir tatsächlich

|n|'^{1/\ln(n)}=|b|'^{1/\ln(b)}

,

also, falls $|n|'=n^{\alpha }$ und $|b|'=b^{\beta }$ , so

n^{\alpha /\ln(n)}=b^{\beta /\ln(b)}\Leftrightarrow \exp(\alpha )=\exp(\beta )

.

\Box

Satz (Erdős):

Es sei $f:\mathbb {N} \to (0,\infty )$ eine monoton wachsende, multiplikative Abhängige. Dann gibt es ein $\alpha >0$ mit $f(n)=n^{\alpha }$ .

Beweis: Wähle $\alpha >0$ mit $f(2)=2^{\alpha }$ und $\beta >0$ mit $f(3)=3^{\beta }$ . Ferner wähle für beliebiges $m\in \mathbb {N}$ das $n\in \mathbb {N}$ mit