Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Abhängige in die Riemann-Sphäre

Satz (Eben-differenzierbare abhängige in die Riemann-Sphäre sind gerade polbesetzte Abhängige):

Ist $f:U\to \mathbb {C}$ polbesetzt, so gibt es eine eindeutige Abhängige $g:U\to S^{1}$, die $f=\phi \circ g$ erfüllt, wobei $\phi$ die Karte der Riemann-Sphäre diesseits von $\infty$ ist.

Ist umgekehrt $g:U\to S^{2}$ eben-differenzierbar, so gibt es genau ein polbesetztes $f:U\to \mathbb {C}$ mit $f=\phi _{1}\circ g$.

Beweis: Eine polbesetzte eben-differenzierbare $f:U\to \mathbb {C}$ lässt sich in den Polstellen als $\infty$ definieren und ist dann limestreu, da sie sich (falls der Pol in $z_{0}$ ist) als $h/(\cdot -z_{0})$ für $h(z_{0})\neq 0$ mit $h$ eben-differenzierbar schreiben lässt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist aber diese Fortsetzung sogar eben-differenzierbar.

Umgekehrt sei $\phi _{2}$ die Karte der Riemann-Sphäre, die jenseits der Null definiert ist, und sei $g:U\to S^{2}$ eben-differenzierbar. Dann ist, wenn $g(z_{0})=\infty$ ist, $\phi _{2}\circ g$ eben-differenzierbar und hat in $z_{0}$ eine Nullstelle einer gewissen Ordnung. Invertiert man die daraus resultierende Darstellung, ergibt sich die gewünschte polbesetzte Abhängige. $\Box$