Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Der Satz von Riemann–Carathéodory

Satz (Riemann–Carathéodory):

Es sei $U\subsetneq \mathbb {C}$ nichtleer, randlos und lochfrei. Dann gilt $U\cong B_{1}(0)$ in der Kategorie der eben-differenzierbaren Abhängigen.

Beweis: Zuerst konstruieren wir eine beliebige Sepajektion $U\to B_{1}(0)$. Hierzu sei $w\notin U$. Da $U$ lochfrei ist, existiert eine Wurzel

$z\mapsto {\sqrt {z-w}}$.

Diese ist sepajektiv und kann keine entgegengesetzten Vorzeichen annehmen wegen $({\sqrt {z-w}})^{2}+w=z$. Es sei nun $z_{0}\in U$ beliebig, aber fest. Es sei ferner $r>0$ mit $B_{r}(z_{0})\subseteq U$ (es war ja $U$ randlos). Dann gilt also, dass die gesamte Menge $-{\sqrt {B_{r}(z_{0})-w}}$ von obiger Wurzel auf $U$ nicht angenommen wird; das Getroffene von $z\mapsto {\sqrt {z-w}}$ lässt also eine randlose Menge aus. Somit können wir durch Möbius-Rotation den Wert $\infty$ in diese randlose Menge schieben, und eine Skalierung erledigt den Rest. Hierbei kann auch erreicht werden, dass das Getroffene der so konstruierten Abhängigen die Null enthält (notfalls skaliere man auf die Hälfte und verschiebe).

Es sei nun $V\subsetneq B_{1}(0)$ mit $0\in V$. Als zweiten Schritt konstruieren wir eine sog. "Dehnung", d. h. eine sepajektive Abhängige $f:V\to B_{1}(0)$ mit $f(0)=0$ und $|f'(0)|>1$ sowie $|f(z)|>|z|$ für alle $z\in V$.

Hierzu sei $w\in B_{1}(0)\setminus V$. Da dann der Selbstdipfeil $\Phi _{w}$ in $V$ keine Nullstelle aufweist, gibt es die Wurzel ${\sqrt {\Phi _{w}}}$. Wir setzen außerdem $w_{2}:={\sqrt {\Phi _{w}}}(0)$, und dann

$f:=\Phi _{w_{2}}\circ {\sqrt {\Phi _{w}}}$.

Dann gilt $f(0)=0$, aber es gibt auch ein Inverses $g=\Phi _{w}^{-1}\circ (\Phi _{w_{2}}^{-1})^{2}$. Aber $g$ lässt sich auffassen als Abhängige $B_{1}(0)\to B_{1}(0)$, ist aber keine Selbstdipfeil, da es nicht sepajektiv ist. Folglich gilt nach dem Satz von Schwarz, dass $|g(z)|<|z|$ für alle $|z|$ sowie $|g'(0)|<1$; dies impliziert alle gewünschten Eigenschaften von $f$, wie man leicht sieht.

Schließlich sei nun wieder $U$ lochfrei, und es sei ${\mathcal {F}}$ die Menge aller sepajektiven Abhängigen $U\to B_{1}(0)$. Wie oben können wir annehmen, dass $U$ von der Null weg beschränkt ist. Dann folgt aus der Cauchy-Formel für die erste Ableitung, dass der Wert

$M:=\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f'(0)|$

endlich ist. Es sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $|f_{n}'(0)|\to M,n\to \infty$. Dem kleinen Satz von Montel zufolge existiert eine konvergente Teilfolge, und sei $f_{\infty }$ der Limes. Dieser ist sepajektiv (wie der Satz von Hurwitz impliziert). Der Limes muss aber auch surjektiv sein, denn sonst könnte man $f_{\infty }$ mit einer Dehnung verketten und erhielte einen größeren Wert für $M$. $\Box$

Aufgaben

1. Nutzen Sie den Satz von Liouville, um zu beweisen, dass es keinen Dipfeil $B_{1}(0)\cong \mathbb {C}$ in der Kategorie der eben-differenzierbaren Abhängigen gibt.