Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Der Satz von Runge

Satz (Runge):

Es sei $K\subset \mathbb {C}$ ein ü-endlich. Ferner sei $f:U\to \mathbb {C}$ eben-diffbar, sodass $K\subset U$ gilt. Es sei des weiteren $S$ eine Menge, sodass jede Zusammenhangskomponente von $\mathbb {C} \setminus K$ mindestens ein Element aus $S$ enthält. Dann lässt sich $f$ uniform auf $K$ beliebig gut mit in $\mathbb {C}$ meromorphen Abhängigen approximieren, deren einzige Pole in Punkten von $S$ liegen.

Beweis: Man wähle einen Zykel $\Gamma$ in $U\setminus K$, sodass alle Punkte aus $K$ die Umlaufzahl 1 haben. Dann besagt der Satz von Cauchy, dass

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw$

für alle Punkte $z\in K$. Dieses Integral lässt sich durch Partialsummen approximieren; für die Ableitung gilt dasselbe (und Ableitung und Approximation kommutieren), und die Ableitungen sind daher beschränkt, weshalb uniforme und punktweise Topologien gleich sind.

Somit erhält man eine Approximation mit Polen, die auf $\Gamma$ liegen. Um die Pole nach $S$ zu verschieben, verbinden wir die (bisherigen) Pole auf $\Gamma$ durch Kurven mit Punkten aus $S$ und verwenden entlang dieser Kurven die Formel

${\frac {1}{z-z_{0}}}={\frac {1}{z-w_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z_{0}-w_{0}}{z-w_{0}}}\right)^{n}$,

welche für das Kreiskomplement $|z-w_{0}|>|z_{0}-w_{0}|$ gilt. Dies geht, weil $\Gamma$ eine positive Distanz zu $K$ hat, da beide Mengen ü-endlich sind.

Falls einer der Punkte von $S$ der Punkt $\infty$ ist, so kann man stattdessen einen sehr großen Punkt verwenden und die resultierenden Brüche durch Taylorsummen approximieren. $\Box$