Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Der große Satz von Montel

Satz (Großer Satz von Montel):

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ und es sei ${\mathcal {F}}$ eine Familie Abhängiger $U\to S^{2}$, die allesamt drei Werte aus $S^{2}$ nicht annehmen. Dann ist ${\mathcal {F}}$ konvergenzextraktiv.

Beweis: Wegen eines Diagonalfolgen-Arguments und da die Toposmenge von $\mathbb {C}$ eine abzählbare Redugenmenge aus lochfreien Mengen besitzt, können wir annehmen, dass $U$ lochfrei ist. Durch Möbiustransformation nehmen wir an, dass ${\mathcal {F}}$ die Werte $0$, $1$ und $\infty$ auslässt. Da die $0$ ausgelassen wird, können wir

${\mathcal {F}}_{n}:=\{{\sqrt[{n}]{f}}|f\in {\mathcal {F}}\}$

definieren, wobei jeweils eine feste Wahl der Wurzel für eine gesamte Abhängige gewählt werde. Dann lässt ${\mathcal {F}}_{n}$ auch noch alle $n$-ten Einheitswurzeln aus. Es kann aber kein ${\mathcal {F}}_{n}$ konvergenzextraktiv sein, denn sonst wäre auch ${\mathcal {F}}$ konvergenzextraktiv (da $z\mapsto z^{n}$ eine limestreue Abhängige $S^{2}\to S^{2}$ ist). Also finden wir sicherlich auch für jedes $n$ der Gestalt $n=2^{k}$ nach dem Satz von Salzman ein $g_{k}:\mathbb {C} \to S^{2}$ mit $g_{k}^{\#}\leq 2$ und $g_{k}^{\#}(0)=1$, sodass eine entsprechend skalierte und verschobene Folge in ${\mathcal {F}}_{2^{k}}$ gegen $g_{k}$ konvergiert. Damit lässt aber auch (wegen des Satzes von Hurwitz) $g_{k}$ die $2^{k}$-ten Einheitswurzeln aus.

Jetzt wählen wir nach dem Satz von Marty eine Teilfolge der $g_{k}$, die gegen ein $g_{\infty }$ konvergieren, welches nach dem Satz von Hurwitz alle $2^{k}$-ten Einheitswurzeln für jedes $k$ auslässt. Diese Menge ist allerdings omnipräsent in $S^{1}$. Aufgrund des Satzes von der Randlosigkeit muss also $g_{\infty }$ ganz $\mathbb {C}$ entweder in $\{|z|>1\}$ oder $\{|z|<1\}$ schicken. Dann kann man aber entweder auf $1/g_{\infty }$ oder auf $g_{\infty }$ den Satz von Liouville anwenden, sodass $g_{\infty }$ konstant ist. Dies widerspricht allerdings $g_{\infty }^{\#}(0)=1$. $\Box$