Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Sätze von Salzman und Bloch

Satz (Salzman):

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Familie von Abhängigen, die auf einer randlosen Teilmenge $U\subseteq {\mathcal {F}}$ definiert seien. Dann ist ${\mathcal {F}}$ genau dann nicht konvergenzextraktiv in einer Umgebung eines Punktes $z_{0}\in U$, wenn es Zahlen $\rho _{n}>0$ mit $\rho _{n}\to 0$, eine Folge $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {C}}$ mit $z_{n}\to z_{0}$ und Abhängige $f_{n}\in F$ gibt, sodass $f(z_{n}+\rho _{n}\cdot )\to g$ lokal uniform gilt, wobei $g:\mathbb {C} \to S^{2}$ eben-diffbar und nicht-konstant sei. Hierbei kann $g^{\#}(0)=1$ und $g^{\#}$ überall $\leq 2$ gewählt werden.

Im folgenden Beweis werden mehrfach Eigenschaften der sphärischen Variation angewendet.

Beweis: Es sei zunächst ${\mathcal {F}}$ nicht konvergenzextraktiv in einer Umgebung von $z_{0}$. Dann gibt es eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {F}}$ mit

$M_{n}:=\max _{|z-z_{0}|\leq 1/n}|f_{n}^{\#}(z)|\left({\frac {1}{n}}-|z|\right)\to \infty$, $n\to \infty$,

denn sonst bliebe $f_{n}^{\#}$ in einer Umgebung von $z_{0}$ beschränkt, im Widerspruch zum Satz von Marty. Es sei $z_{n}\in B_{1/n}(z_{0})$ eben dieses Maximum. Da der Ausdruck in den Klammern am Rand null ist, ist diese Inklusion tatsächlich richtig. Wähle nun

$\rho _{n}:={\frac {1}{f_{n}^{\#}(z_{n})}}$.

Der Abstand von $z_{n}$ zum Rand von $B_{1/n}(z_{0})$ ist $d_{n}:=1/n-|z_{n}|$. Es ist somit $g_{n}(z):=f(z_{n}+\rho _{n}z)$ auf $B_{d_{n}/\rho _{n}}(0)$ definiert. Nach Definition von $\rho _{n}$ gilt jedoch

$1/\rho _{n}=f_{n}^{\#}(z_{n})=M_{n}/d_{n}\Rightarrow d_{n}/\rho _{n}=M_{n}$.

Außerdem gilt nach der Definition von $z_{n}$ für $|z-z_{0}|\leq d_{n}/2$, dass

$f^{\#}(z)d_{n}/2\leq f^{\#}(z_{n})d_{n}\Rightarrow f^{\#}(z)\leq 2f^{\#}(z_{n})$.

Daher gilt, falls $|z|\leq M_{n}/2$, dass

$g_{n}^{\#}(z)=\rho _{n}f^{\#}(z_{n}+\rho _{n}z)\leq 2\rho _{n}f^{\#}(z_{n})=2$,

weshalb nach dem Satz von Marty $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergenzextraktiv ist, und $g$ setzen wir dann als den Limes fest. Da $g_{n}^{\#}(0)=1$ gilt, überträgt sich dies auch auf $g$.

Es gebe nun umgekehrt Folgen wie oben beschrieben. Da $g$ nicht konstant ist, gibt es ein $z_{\infty }\in \mathbb {C}$ mit $g^{\#}(z_{\infty })>0$. Somit gilt für $g_{n}:=f(z_{n}+\rho _{n}z_{\infty })$, dass

$g_{n}^{\#}(z_{\infty })=\rho _{n}f^{\#}(z_{n}+\rho _{n}z_{\infty })\to g^{\#}(z_{\infty })$,

sodass $f^{\#}$ um $z_{0}$ unbeschränkt ist, sodass ${\mathcal {F}}$ nach dem Satz von Marty nicht konvergenzextraktiv ist. $\Box$