Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Produkte und Potenzen

Bezeichnungsweise und Rechenregeln für Produkte und Potenzen

Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich bei den verwendeten Variablen um reelle Zahlen.

1.	$a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n Faktoren)	$n \in N$
	$a^{0} = 1$	$a \neq 0$
2.	$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$	$n \in N$ . Man sagt: n-Fakultät.
	$0! = 1$	.
3.	$\frac{1}{a^{n}} = a^{- n}$	$a \neq 0$
4.	$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$
	$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$	$a \neq 0$
5.	$a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$	aber $a^{n} + b^{n} \neq (a + b)^{n}!$
	$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$	$b \neq 0$
6.	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
7.	$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$	$a > 0$
	$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$	$a > 0$

e

Eine spezielle Exponentialzahl ist $e^{x}$ . $e$ ist die sog. Eulersche Zahl.

e = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i!} \approx 2, 7182...

Mit $e$ lassen sich viele Naturphänomene wie Wachstumsprozesse etc. beschreiben.

Bemerkung zu $a^{n}$

n muss nicht ganzzahlig sein. Im allgemeinen muss a >0 sein. Es können sonst undefinierte oder nichtreelle Ausdrücke wie $\sqrt{- 2}$ , $(- 3)^{\frac{4}{7}}$ , $0^{- 1}$ etc. entstehen.

Ausnahmen sind beispielsweise $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$ ; $(- 2)^{3}$ ; $(- 2)^{- 2}$ ; $(- 2)^{0}$ .

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist definiert als

(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

mit $m, n \in N_{0}; n \geq m$ und wird gelesen als "n über m".

Beispiel

(\binom{5}{2}) = \frac{5!}{2! (5 - 2)!} = \frac{5!}{2! (3)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10.

Es gilt:

(\binom{n}{n}) = 1.

(\binom{n}{0}) = 1.

(\binom{n}{m}) = 0 für m > n .

Die unten folgenden Übungsaufgaben werden als Training empfohlen.

Übungen zu Produkte und Potenzen

Aufgabe 1

Vereinfachen Sie

1.

\frac{Y^{\frac{4}{15}} \cdot X^{\frac{3}{4}} \cdot Y^{- \frac{7}{12}} \cdot X^{- \frac{2}{3}} \cdot Y^{\frac{4}{7}}}{X^{- \frac{1}{12}} \cdot Y^{\frac{11}{7}} \cdot X^{- 1} \cdot Y^{- \frac{1}{4}} \cdot Y^{- \frac{1}{15}}}

2.

\frac{Z^{- \frac{1}{2} \cdot (b - \frac{a}{2} - \frac{c}{4})} \cdot X^{3 (b + c)} \cdot Y^{a - \frac{1}{c}} \cdot Z^{b - \frac{c - 3 a}{4}} \cdot X^{c} \cdot Y^{- \frac{1}{c}}}{X^{3 b + 4 c} \cdot Y^{a - \frac{2}{c}} \cdot Z^{\frac{b}{2} - \frac{c}{2}}}

Aufgabe 2

Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten und geben Sie für $(\binom{n}{m})$ jeweils eine allgemeine Formel an.

$(\binom{3}{0})$
$(\binom{10}{10})$
$(\binom{5}{4})$
$(\binom{8}{1})$

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass gilt:

(\binom{7}{3}) + (\binom{7}{4}) = (\binom{8}{4})

.

Leiten Sie eine allgemeine Regel ab.

Aufgabe 4

Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten:

$(\binom{n + 1}{n})$
$(\binom{n}{m}) + (\binom{n}{m + 1})$
$n \cdot (\binom{n - 1}{m - 1})$

↓ Logarithmen

↑ Summen

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Bezeichnungsweise und Rechenregeln für Produkte und Potenzen

e

Bemerkung zu an

Binomialkoeffizient

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Bemerkung zu $a^{n}$