Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Produkte und Potenzen

Bezeichnungsweise und Rechenregeln für Produkte und Potenzen

Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich bei den verwendeten Variablen um reelle Zahlen.

1.	$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a$ (n Faktoren)	$n\in N$
	$a^{0}=1$	$a\neq 0$
2.	$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n$	$n\in N$. Man sagt: n-Fakultät.
	$0!=1$	.
3.	${\frac {1}{a^{n}}}=a^{-n}$	$a\neq 0$
4.	$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$
	${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$	$a\neq 0$
5.	$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$	aber $a^{n}+b^{n}\neq (a+b)^{n}!$
	${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$	$b\neq 0$
6.	$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
7.	${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$	$a>0$
	${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$	$a>0$

e

Eine spezielle Exponentialzahl ist ${e}^{x}$. ${e}$ ist die sog. Eulersche Zahl.

$e=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\approx 2,7182...$

Mit ${e}$ lassen sich viele Naturphänomene wie Wachstumsprozesse etc. beschreiben.

Bemerkung zu $a^{n}$

n muss nicht ganzzahlig sein. Im allgemeinen muss a >0 sein. Es können sonst undefinierte oder nichtreelle Ausdrücke wie ${\sqrt {-2}}$, $(-3)^{\frac {4}{7}}$, $0^{-1}$ etc. entstehen.

Ausnahmen sind beispielsweise $(-8)^{\frac {1}{3}}=-2$; $(-2)^{3}$; $(-2)^{-2}$; $(-2)^{0}$.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist definiert als

${n \choose m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

mit $m,n\in N_{0};\;n\geq m$ und wird gelesen als "n über m".

Beispiel

${5 \choose 2}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}={\frac {5!}{2!(3)!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {4\cdot 5}{2}}=10.$

Es gilt:

${n \choose n}=1.$

${n \choose 0}=1.$

${n \choose m}=0\;{\text{ für }}\;m>n.$

Die unten folgenden Übungsaufgaben werden als Training empfohlen.

Übungen zu Produkte und Potenzen

Aufgabe 1

Vereinfachen Sie

1.   ${\frac {Y^{\frac {4}{15}}\cdot X^{\frac {3}{4}}\cdot Y^{-{\frac {7}{12}}}\cdot X^{-{\frac {2}{3}}}\cdot Y^{\frac {4}{7}}}{X^{-{\frac {1}{12}}}\cdot Y^{\frac {11}{7}}\cdot X^{-1}\cdot Y^{-{\frac {1}{4}}}\cdot Y^{-{\frac {1}{15}}}}}$

2.   ${\frac {Z^{-{\frac {1}{2}}\cdot (b-{\frac {a}{2}}-{\frac {c}{4}})}\cdot X^{3(b+c)}\cdot Y^{a-{\frac {1}{c}}}\cdot Z^{b-{\frac {c-3a}{4}}}\cdot X^{c}\cdot Y^{-{\frac {1}{c}}}}{X^{3b+4c}\cdot Y^{a-{\frac {2}{c}}}\cdot Z^{{\frac {b}{2}}-{\frac {c}{2}}}}}$

Aufgabe 2

Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten und geben Sie für ${n \choose m}$ jeweils eine allgemeine Formel an.

1. ${3 \choose 0}$
2. ${10 \choose 10}$
3. ${5 \choose 4}$
4. ${8 \choose 1}$

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass gilt:

${7 \choose 3}+{7 \choose 4}={8 \choose 4}$.

Leiten Sie eine allgemeine Regel ab.

Aufgabe 4

Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten:

1. ${n+1 \choose n}$
2. ${n \choose m}+{n \choose m+1}$
3. $n\cdot {n-1 \choose m-1}$

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