MathemaTriX ⋅ Prüfungsvorbereitung

Grundniveaus A

1. G2.8 $\$Kürzen Sie mit Hilfe der Primfaktorzerlegung!

   $\ {\frac {15288}{16632}}=\qquad$

   $\ {\frac {25025}{29645}}=\qquad$

   $\ {\frac {2184}{5544}}=\qquad$

2. G1.2 $\$Führen Sie folgende Berechnungen durch:

   $\ {\frac {5}{13}}-{\frac {2}{13}}\$ $\ {\frac {5}{4}}+{\frac {2}{3}}\$ ${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {3}{7}}\$ $\ {\frac {5}{4}}:{\frac {3}{7}}\$	$\ {\frac {11}{3}}:{\frac {8}{13}}\$ $\ {\frac {11}{3}}-{\frac {8}{13}}\$ $-{\frac {11}{13}}-{\frac {2}{13}}$ $\ {\frac {11}{3}}\cdot {\frac {8}{13}}\$
   $\ {\frac {7}{5}}:{\frac {11}{9}}\$ $\ -{\frac {7}{5}}+{\frac {11}{9}}\$ $\ {\frac {7}{5}}\cdot {\frac {11}{9}}\$ $\ {\frac {7}{9}}+{\frac {11}{9}}\$	$\ {\frac {11}{13}}+{\frac {15}{13}}\$ $\ {\frac {11}{8}}\cdot {\frac {15}{13}}\$ $\ {\frac {11}{8}}:{\frac {15}{13}}\$ $\ {\frac {11}{8}}-{\frac {15}{13}}\$

3. G2.6 $\$(Median, Spannweite, Durchschnitt, Modus) $\$
   1. Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg.
      1. Berechnen Sie die Lageparameter und die Spannweite!
   2. Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt.
      1. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median, der Modus und die Spannweite in diesem Fall?

   3. Gegeben sind die folgenden zwei Wertegruppen, das Modell DE und das Modell GR, die die Verteilung des Vermögens in Österreich bzw. in Portugal ähneln:

      AT: 16 10 10 1 1 300 10 1 1 10

      und

      PT: 11 9 1 1 1 100 1 14 11 11

      1. Berechnen Sie jeweils die Lageparameter und die Spannweite.
4. G2.13
   

   Das Diagramm gibt den wöchentlichen CO2 Ausstoß (in Liter) in Abhängigkeit vom wöchentlichen Fleischkonsum (in Kg) an. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viele Liter der Ausstoß bei einem Konsum von 1, 2, 2,5 bzw. 2,8 kg ist! Wie viel der Konsum bei einem Ausstoß von 40, 28, 24 bzw. 20 Liter ist! Wie viel ist nach diesem Modell der Ausstoß, wenn man kein Fleisch ist? Wie viel ist nach diesem Modell der Fleischkonsum, wenn der Ausstoß 44 Liter ist?

   Das Diagramm stellt ein Modell der Abhängigkeit der Lebenserwartung vom Rauchen dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 25 Zigaretten am Tag raucht. Wie viel die Lebenserwartung ist, wenn eine Person 14 Zigaretten am Tag raucht. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 68 Jahre ist. Wie viele Zigaretten täglich geraucht werden, wenn die Lebenserwartung 65 Jahre ist. Wie viel die Lebenserwartung für nicht-rauchende Personen ist.

   Das Diagramm gibt die Frequenz einer Welle in Bezug auf ihre Länge an. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel ist die Frequenz bei 20, 40, 70 und 120 cm Länge? Wie viel wäre die Frequenz bei 0 cm Läng und wie viel die Länge bei 0 Hz Frequenz Wie viel ist die Länge bei20, 40, 50 und 10 Hz Frequenz

   Das Diagramm gibt die Änderung des Drucks (in Pascal: Pa) einer Flüssigkeit in Bezug auf ihre Temperatur in einem bestimmten physikalischen Prozess an. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel ist der Druck bei 30, 45, 70 und 90°C? Wie viel ist der Druck bei 0°C und wie viel wäre die Temperatur bei 9 Pa Druck? Wie viel ist die Temperatur bei 4, 5, 6 und 7,4 Pa Druck?

5. G1.4 $\$
   1. Ein Baum setzt durchschnittlich jede 25 min 0,8 Liter Sauerstoff frei.
      1. Wie viel Sauerstoff setzt er in 0,7 min frei?
      2. Wie lang braucht er, um 459 Liter freizusetzen?
   2. Für 12 Kühe braucht man 73,8 Tonnen Futter bis sie geschlachtet werden.
      1. Wie viel Tonnen Futter braucht man für 15 Kühe?
      2. Für wie viele Kühe braucht man 123 Tonnen?
   3. Wenn eine Person mit dem Fahrrad zur Arbeit fährt, ist ihr CO2 Ausstoß 11,2g. Der Abstand zur Arbeit ist 8 km.
      1. Wie weit fährt man. wenn der CO2 Ausstoß 0,448 g ist?
      2. Wie viel ist der CO2 Ausstoß, wenn eine Person mit dem Fahrrad 20 km fährt?
6. G1.5 $\$

   Lösen Sie die Klammer auf und fassen Sie die daraus entstandenen Termen ggf. zusammen! $(2p^{5}-3p^{3})(4-5p^{2})$

   Lösen Sie die Klammer auf und fassen Sie die daraus entstandenen Termen ggf. zusammen! $(3s^{5}+s^{3})(5s^{3}-4s)$

   Lösen Sie die Klammer auf und fassen Sie die daraus entstandenen Termen ggf. zusammen! $(2g^{5}-3g^{3})(5g^{2}+4g)$

7. G1.3 $\$
   1. Von wie vielen Volt sind 350 Volt 0,28%?
   2. Wie viel % von 350 Volt sind 0,28 Volt?
   3. Wie viel ist 350% von 0,28 Volt?
   4. Wie viel % von 23 kg sind 5329 kg?
   5. Wie viel ist 23% von 5329 kg?
   6. Von wie vielen kg sind 23 kg 5329%?
8. G2.12 $\$
   1. Die Ernte einer Bäuerin war 1260 t. $\textstyle \ {\frac {2}{7}}\$davon waren Kartoffeln, $\textstyle \ {\frac {2}{9}}\$Tomaten, $\textstyle \ {\frac {3}{20}}\$Gurken, 11 t Karotten und der Rest Getreide.
      1. Wie viel t von jeder Sorte hat sie geenrtet?
      2. Welcher Anteil der Ernte war Getreide? (als gekürzter Bruch)
   2. Ein Test hat 63 Punkte. Saskia hat ${\tfrac {7}{9}}\$ und Kosta ${\tfrac {5}{7}}\$der Punkte erreicht.
      1. Wer hat mehrere Punkte erreicht?
      2. Für ein "Sehr Gut" sind ${\tfrac {6}{7}}\$der Punkte notwendig. Wie viele Punkte hätte Saskia noch gebraucht, um ein "Sehr Gut" zu erreichen?
   3. In einem Schrank gibt es 660 Kleiderstücke. ${\tfrac {3}{11}}\$davon sind Unterwäsche, ${\tfrac {11}{30}}\$ T-shirts, ${\tfrac {7}{22}}\$ Hosen und der Rest sonstiges.
      1. Was ist mehr, die Unterwäsche oder die Hosen?
      2. Wie viel Stücke ist der "Rest"?
9. G1.1 $\$Führen Sie folgende Berechnungen durch:
   1. $\ 11+96:(23-3\cdot 5)-(20-13)+(17-91:7)\cdot 2\$
   2. $\ 63:(2\cdot 11-30:2)-(90:5-3\cdot 6)\cdot 4$
   3. $\ (4\cdot 11-54:6):(39:3-2\cdot 9)$

Grundniveaus B

1. G2.10 $\$Berechnen Sie in den folgenden Aufgaben den Umfang und die Fläche!
   1. Der große Radius eines Kreisrings ist 4,5 dm, der kleine 20 cm.
   2. Der große Radius eines Kreisrings ist 2,8 dm und der kleine 25 cm.
   3. Die Breite eines Fensters ist 32 cm und seine Höhe 5 dm.
   4. Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist 3,2 cm.
2. G2.3 G2.4 G2.11 (V2.5)
   1. Das Klassenzimmer hat eine Fläche von 3588 __________ .
   2. Der Turm von Pisa ist 558 __________ hoch.
   3. Ein Film dauert 0,065 ______.
   4. Der Abstand Paris-Berlin ist 87096703 __________.
   5. Ein Becher Joghurt wiegt 450082 _________.
   6. Der Umfang eines Kleiderschranks beträgt 567 _________.
   7. Ein Mal Atmen dauert 0,0025 ______.
   8. Die Fläche eines Laptops ist ca. 0,027 __________.
   9. Ein Glas Marmelade wiegt 0,00062 _________.
   10. Die Fläche einer Stadt ist 345907351 _______.
   11. Die dicke einer Fingernagel ist 0,08 __________.
   12. Eine Kuh wiegt 1305009 _________.
3. G1.6 $\$Welche Angabe passt zu welcher Berechnung?

   1 Die Differenz der Zahlen 35 und 5 wird um den Quotient dieser Zahlen reduziert. $\qquad$ $\qquad$ A $(35-5)\cdot (35+5)=$ 2 Die Differenz der Zahlen 35 und 5 wird mit der Summe dieser Zahlen multipliziert. B $(35\cdot 5):(35+5)=$ 3 Teilen Sie das Produkt der Zahlen 35 und 5 durch die Zahl 35 um 5 erhöht. C $(35-5)-(35:5)=$

   1 Subtrahieren sie aus dem 15-fachen von 6 die Summe dieser Zahlen $\qquad$ $\qquad$ A $(15\cdot 6):(15-6)$ 2 Dividieren Sie das Produkt aus 15 und 6 durch die Differenz dieser Zahlen B $(15\cdot 6)-(15+6)$ 3 Multiplizieren Sie den Quotient aus 15 und 6 mit der Zahl 15 um 6 erhöht. C $(15:6)\cdot (15+6)$

Grundniveaus C

1. G2.2 $\$
   Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!
   
   1. $\ c+4452=341\qquad$
   2. $\ 23m=214\qquad$
   3. $\ 3f=114\qquad$
   
   
   4. $\ x-867=341\qquad$
   5. $\ {\tfrac {k}{5}}=11\qquad$
   6. $\ 11w=214\qquad$

   Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!
   

   7. $\ c+587=2579\qquad$
   8. $\ {\tfrac {k}{2}}=26\qquad$
   9. $\ 10f=450\qquad$
   
   
   10. $\ x-3559=424\qquad$
   11. $\ 22m=484\qquad$
   12. $\ 26w=428\qquad$

   Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!
   

   13. $\ c+4752=741\qquad$
   14. $\ {\tfrac {k}{12}}=5\qquad$
   15. $\ 3f=168\qquad$
   
   
   16. $\ x-687=-4341\qquad$
   17. $\ 33m=216\qquad$
   18. $\ 17w=214\qquad$
2. G2.5 $\$

   1. Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele Tische: genau 3 Stühle genau 5 Stühle keinen Stuhl höchstens 3 Stühle mindestens 3 Stühle haben mindestens 2 und höchstens 4 Stühle haben!

   2. Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele Töpfe: genau 3 Blumen genau 5 Blumen keine Blume höchstens 3 Blumen mindestens 3 Blumen haben mindestens 2 und höchstens 4 Blumen haben!

   3. Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele Häuser: genau 3 Schlafzimmer genau 5 Schlafzimmer keine Schlafzimmer höchstens 3 Schlafzimmer mindestens 3 Schlafzimmer mindestens 2 und höchstens 4 Schlafzimmer haben!

3. G2.9 $\$
   1. Das Gehalt eines Beamten war 1800€ und wurde um 2,5% gekürzt.
      1. Berechnen sie das neue Gehalt!
      2. Um wie viel € wurde das Gehalt gekürzt?
   2. Eine Person wiegt 68 kg und nimmt 5% zu.
      1. Wie viel ist ihr neues Gewicht?
      2. Wie viel kg hat sie zugenommen?
   3. Eine Person wiegt 72 kg und nimmt 5% ab.
      1. Wie viel ist ihr neues Gewicht?
      2. Wie viel kg hat sie abgenommen?
   4. Die Ölreserven der Erde reichen für 20 Jahre noch. Wenn wir etwas sparen, dann werden sie um 150% länger ausreichen.
      1. Wie lang werden sie dann ausreichen?
      2. Wie viele Jahre mehr sind es?

Grundniveaus D

1. G2.4 G2.11 $\$

   Rechnen Sie um: 432 min in Tage 0,35 km² in dm² 0,443 mm³ in dm³

   Rechnen Sie um: 477 s in min 0,55 m² in mm² 0,43 g in t

   Rechnen Sie um: 558 min in Tage 0,8 dm² in km² 0,33 mg in kg

   Rechnen Sie um: 0,075 t in g 746 h in Jahre 0,503 cm³ in m³

   Rechnen Sie um: 342 s in h 54,3 km² in dm² 504 cm³ in dm³

2. G1.6 $\$
   1. Dividieren Sie die Zahl 34 um 5 erhöht durch die Differenz von 17 und 4!
   2. Berechnen Sie die Summe von 4 und 3 und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Zahl 31 um 25 reduziert!
   3. Addieren Sie zum Produkt aus 3 und 7 das 5-fache von 4!
   4. Teilen Sie die Zahl 63 auf 7 und subtrahieren Sie aus dem Ergebnis den Quotient von 39 und 3!
   
   
   5. Dividieren Sie die Summe von 26 und 4 durch die Zahl 33 um 27 reduziert!
   6. Erhöhen sie die Zahl 2 um 5 und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Differenz von 17 und 14!
   7. Berechnen Sie den Quotient aus 105 und 7 und addieren Sie das Ergebnis zur Zahl 44 auf 11 geteilt!
   8. Subtrahieren Sie aus dem Produkt aus 3 und 4 das 9-fache von 6!
   
   
   9. Dividieren Sie die Zahl 23 um 5 erhöht durch die Differenz von 19 und 12!
   10. Berechnen Sie den Quotient aus 49 und 7, teilen Sie die Zahl 52 auf 13 und multiplizieren Sie die zwei Ergebnisse.!
   11. Addieren Sie die Summe von 7 und 1 zur Zahl 29 um 25 reduziert!
   12. Berechnen Sie das Produkt aus 6 und 7 und subtrahieren Sie aus dem Ergebnis das 8-fache von 11!
3. G2.1 $\$

   $\qquad$Addition:$\qquad \qquad$	$\qquad$Gemischte Zahl $\qquad$in unechten Bruch:	$\qquad$Subtraktion
   $4+{\frac {4}{9}}\ \qquad \ {\frac {3}{13}}+9\ \qquad \ 1+{\frac {5}{7}}\ \$	$4{\frac {4}{9}}\ \qquad \ 9{\frac {3}{13}}\ \qquad \ 1{\frac {5}{7}}\ \$	$4-{\frac {25}{9}}\ \quad \ 9-{\frac {3}{13}}\ \quad \ {\frac {13}{7}}-3\ \quad \ {\frac {23}{5}}-1\$
   $7+{\frac {4}{7}}\ \qquad \ {\frac {4}{5}}+1\ \qquad \ {\frac {2}{3}}+11\ \$	$7{\frac {4}{7}}\ \qquad \ 1{\frac {4}{5}}\ \qquad \ 11{\frac {2}{3}}\ \$	$7-{\frac {24}{7}}\ \qquad \ 1-{\frac {4}{5}}\ \qquad \ {\frac {44}{3}}-11\ \quad \ {\frac {19}{4}}-7\$
   $3+{\frac {2}{3}}\ \qquad \ {\frac {10}{11}}+6\ \qquad \ 1+{\frac {8}{9}}\ \$	$3{\frac {2}{3}}\ \qquad \ 6{\frac {10}{11}}\ \qquad \ 1{\frac {8}{9}}\ \$	$3-{\frac {25}{3}}\ \qquad \ 6-{\frac {10}{11}}\ \qquad \ {\frac {10}{9}}-1\ \quad \ {\frac {5}{13}}-5\$

Vertiefende Niveaus A

1. V1.2 $\$Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!

   $5(2x-7)=2x+5$ $61-4\cdot (b-5)=7\cdot (2\cdot b-9)$

   $3-5(4w-1)=2w+19$ $7-3(4c-1)=8c+5$

   $7(2m+5)=9m+37$ $8+3\cdot (5g+3)=4\cdot (3g-2)+22$

2. V1.1 $\$Berechnen Sie mit Hilfe der Primfaktorzerlegung!

   ${\frac {41}{120}}-3{\frac {11}{36}}+2{\frac {237}{300}}$

   $2{\frac {9}{28}}+{\frac {11}{63}}-1{\frac {5}{24}}$

   ${\frac {9}{20}}-3{\frac {11}{25}}+2{\frac {13}{15}}$

   ${\frac {35}{36}}+5{\frac {5}{12}}-7{\frac {5}{18}}$

3. V2.8
   

   Die ans Rauchen zuzuschreibenden gemeldeten Todesfälle in den Dörfern einer Region in einer Woche waren: 7, 6, 3, 4, 3, 8, 7, 7, 8, 6, 7, 6, 3, 8, 8, 7, 6, 6. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm, aus dem man ablesen kann, wie viele Dörfer welche Anzahl von Todesfälle hat Geben Sie den Durchschnitt, den Modalwert, den Median und die Spannweite der Todesfälle an!	Im folgenden wird die Anzahl der Betten in den verschiedenen Räumen einer Jugendherberge angegeben: 8, 4, 0, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 8, 8, 1. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm, aus dem man ablesen kann, welche Anzahl von Räumen die jeweilige Anzahl an Betten hat. Geben Sie den Durchschnitt, den Modalwert, den Median und die Spannweite des angegebenen Zusammenhangs an.
   Im folgenden wird die Anzahl der Personen an den verschiedenen Tischen in einem Restaurant angegeben: 1, 3, 0, 1, 2, 9, 0, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 3, 0. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm, aus dem man ablesen kann, welche Anzahl von Tischen die jeweilige Anzahl an Personen hat. Geben Sie den Durchschnitt, den Modalwert, den Median und die Spannweite des angegebenen Zusammenhangs an.	In einer Umfrage wurden Personen gefragt, mit wie vielen PartnerInnen sie im letzten Jahr geschlafen hatten. Im folgenden sehen wir die Antworten: 1, 3, 0, 1, 3, 14, 0, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 3, 2. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm, aus dem man ablesen kann, welche Anzahl von Personen mit der jeweiligen Anzahl an PartnerInnen geschlafen hat. Geben Sie den Durchschnitt, den Modalwert, den Median und die Spannweite des angegebenen Zusammenhangs an.

4. V1.11 $\$
   1. Die Temperatur des heißen Kaffees in einer Tasse ist 98°C und nimmt um 4% pro Minute ab. Wie heiß ist der Kaffee nach 0,43 Stunden?
   2. In einer Bevölkerung werden pro Woche 107% mehr Menschen von einem Virus infiziert. Am Anfang sind 31 Menschen infiziert. Wie viele werden nach 22,4 Tagen infiziert sein?
   3. Ein Iod-Isotop wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?
   4. Von 307640 Bakterien sterben pro Stunde 13% aus. Wie viele bleiben nach 414 min?
   5. China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2466, wenn das Wachstum gleich bliebe?
   6. Die Geburtsrate in einem Staat ist ziemlich niedriger als 2 Kinder pro Frau, die Bevölkerung ist 30,8 Millionen und nimmt um 0,8% pro Jahr ab. Wie viel ist sie nach 4,37 Jahrzehnten?
   7. Eine Bakterienkultur mit 13 Bakterien wächst um 0,08% pro Sekunde. Wie viele Bakterien wird es nach 2,56 Stunden geben?
5. V1.9 $\$
   1. Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!
   2. Die Fläche eines Kreises ist 12cm². Berechnen Sie den Umfang!
   3. Der Umfang eines Rechtecks ist 3,8 dm, seine Breite 9 cm. Berechnen Sie seine Fläche!
   4. Der Umfang eines Kreises ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!
   5. Die Fläche eines Quadrats ist 576 cm². Berechnen Sie den Umfang!
6. V1.7 $\$
   1. Ein Balkon hat 33 Blumentöpfe, manche mit 3 und der Rest mit 8 Blumen. Insgesamt sind die Blumen 209. Wie viele Töpfe mit 3 bzw. 8 Blumen gibt es?
   2. Ein Zug hat 13 Wagons, manche mit 40 und der Rest mit 65 Sitzplätze. Insgesamt haben die Wagons 720 Sitzplätze. Wie viele Wagons mit 40 bzw. 65 Sitzplätze gibt es?
   3. An einem Wohnblock gibt es 18 Wohnungen, manche haben 20 und der Rest 15 Steckdosen. Insgesamt haben sie 315 Steckdosen. Wie viele Wohnungen mit 15 bzw 20 Steckdosen gibt es?
   4. Eine Klasse mit 24 Personen war bei der Aufforstung eines Waldes. Durchschnittlich hat jedes Mädchen 9 Bäume eingepflanzt und jeder Knabe 7, insgesamt hat die Klasse 194 Bäume eingepflanzt. Wie viele Mädchen bzw. Knaben hat die Klasse?

Vertiefende Niveaus B

1. V2.4 $\$
   1. In einem Dorf in Indien mit 24 Bewohnern reicht das vorhandene Wasser für noch 27 Tage aus. Nach 13 Tagen verlässt eine Familie mit 8 Glieder das Dorf, um ihr Glück irgendwo anders zu finden. Für wie viele Tage insgesamt reicht dann das am Anfang vorhandene Wasser aus?
   2. Die Erdölreserven eines Staates mit 10 Millionen Einwohnern reichen für 26 Jahre aus. Nach 5 Jahren wandern 4 Millionen Personen in den Staat ein. Für wie viele Jahre insgesamt reicht der anfängliche Vorrat in diesem Fall?
   3. Von einer Baufirma wird kalkuliert, dass 25 Arbeiter 9 Tage benötigen. Nach 3 Tagen müssen jedoch 5 Arbeiter von der Baustelle abgezogen werden. Um wie viele Tage später wird die Arbeit nun wahrscheinlich beendet?
   4. Der Futtervorrat in einem Bauernhof mit 19 Kühe reicht für 22 Tage aus. Nach 6 Tagen werden 13 Kühe dazu gekauft. Für wie viele Tage insgesamt reicht der anfängliche Vorrat in diesem Fall?
2. V2.9 $\$Erstellen Sie mit Hilfe des jeweiligen Diagramms die jeweils entsprechende lineare Funktion!
3. V2.1 $\$
   1. Ein viertel der Bevölkerung in Deutschland sind armutsgefährdet. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

      	richtig	falsch
      4% sind gefährdet.
      Das 0,25-fache der Bevölkerung sind armutsgefährdet.
      Das Verhältnis „nicht gefährdet“ zu „gefährdet“ beträgt 3 : 1.

   2. Zwei fünftel der Bevölkerung eines Staates sind für eine Diktatur. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

      	richtig	falsch
      Das Verhältnis der Anhänger einer Diktatur zum Rest ist 2 : 5.
      60% der Bevölkerung ist nicht für eine Diktatur
      Die Personen, die nicht für eine Diktatur sind, sind das 1,5-Fache der Personen, die dafür sind

   3. Zwei drittel der Bevölkerung kauft jedes Jahr ein neues Handy. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

      	richtig	falsch
      Diejenigen, die jedes Jahr ein neues Handy kaufen, sind doppelt so viel, wie diejenigen, die es nicht tun.
      Das Verhältnis derjenigen, die ein neues Handy jedes Jahr kaufen, zur ganzen Bevölkerung ist 2 : 1.
      $33{,}{\dot {3}}\%\$kaufen nicht ein neues Handy jedes Jahr

   4. Zwei siebtel des Gewichts eines Kuchens ist Zucker. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

      	richtig	falsch
      20% des Gewichts ist Zucker.
      Das $0{,}{\overline {285714}}{\text{-fache}}\$ des Gewichts ist Zucker.
      Das Verhältnis Zucker zu den restlichen Inhalten beträgt 2 : 5.

4. G1.1 Fehler finden $\$Bei den folgenden Berechnungen ist jeweils ein Fehler aufgetreten. Finden Sie ihn und begründen Sie!

   An der Tafel steht folgende Rechnung. Leider gibt es einen Fehler. Wo liegt er? $21+56:7-(79-2\cdot 5):3=$ $77:7-(79-10):3=$ $11-69:3=11-23=$ $-12$ Berechnen Sie jetzt richtig: $21+56:7-(79-2\cdot 5):3...$	An der Tafel steht folgende Rechnung. Leider gibt es einen Fehler. Wo liegt er? $43+56:8-(30-2\cdot 5):4=$ $43+7-(28\cdot 5):4=$ $50-140:4=$ $50-35=$ $15$ Berechnen Sie jetzt richtig: $43+56:8-(30-2\cdot 5):4=...$
   An der Tafel steht folgende Rechnung. Leider gibt es einen Fehler. Wo liegt er? $43+72:8-(56-2\cdot 20):4=$ $43+9-(56-2\cdot 5)=$ $52-(56-10)=$ $52-46=$ $6$ Berechnen Sie jetzt richtig: $43+72:8-(56-2\cdot 20):4=...$	An der Tafel steht folgende Rechnung. Leider gibt es einen Fehler. Wo liegt er? $63-(56:7-2)\cdot 9+72:3=$ $63-(8-2)\cdot 81:3=$ $63-6\cdot 81:3=$ $63-486:3=$ $-99$ Berechnen Sie jetzt richtig: $63-(56:7-2)\cdot 9+72:3=$

5. V2.11 $\$
   1. Begründen Sie, ob in einem Kreis mit Flächeninhalt A der Radius R mit der Formel:$\ R={\tfrac {\sqrt {A}}{\pi }}$ berechnet werden kann.

   Welche Formel passt zur jeweils abgebildeten Figur? Begründen Sie!
   $f={\tfrac {A}{c}}$ □ $c={\tfrac {g}{A}}$ □ $A=c\cdot g$ □ $f={\tfrac {A}{c}}$ □	$m=OB^{2}\cdot \pi$ □ $OB={\sqrt {\frac {F}{\pi }}}$ □ $OB={\tfrac {m}{\pi }}$ □ $OB={\tfrac {2F}{\pi }}$ □

Vertiefende Niveaus C

1. V1.6 $\$
   1. Das Gehalt einer Arbeiterin wurde anfangs um 12% erhöht, dann aber um 10% auf 1764 € wieder gekürzt.
      1. Wie groß war es ursprünglich?
      2. Wurde es insgesamt erhöht oder reduziert und um wie viel Prozent?
   2. Nehmen wir an, dass die Menge von radioaktivem Müll in einem Staat zwischen 1993 und 1994 um 4% gestiegen und zwischen 1994 und 1995 um weiter 5% auf 16,38 t gestiegen ist.
      1. Wie viele t wäre sie ursprünglich?
      2. Um wie viel Prozent wäre sie insgesamt gestiegen?
   3. Die Nase von Pinocchio wächst nach einer Luge um 150% und dann geht sie um 60% auf 2,5 cm zurück.
      1. Wie lang war sie ursprünglich?
      2. Ist sie insgesamt größer oder kleiner geworden und um wie viel Prozent?
   4. Das Volumen des Magens einer Person wächst nach dem Essen um 120% und dann geht es um 35% auf 500,5 ml zurück.
      1. Wie groß war er ursprünglich?
      2. Wurde er insgesamt größer oder kleiner und um wie viel Prozent?
2. V1.10 $\$Bei den folgenden Säulendiagrammen berechnen Sie jeweils den Durchschnitt!
3. V1.4 $\$
   Schreiben Sie folgende Terme als eine Potenzzahl auf!

   $\ {a^{-7+3w}}\cdot {a^{5-4w}}\ \$ $\ {v^{5-4d}}\cdot {v^{3d-2}}\ \$

   $\ {4^{z-2}}\cdot {4^{3z+2}}\ \$ $\ {7^{-7-6t}}\cdot {7^{5+6t}}\ \$

   $\ {\frac {c^{3-4s}}{c^{-9+2s}}}\ \$

   $\ {\frac {5^{-5+3y}}{5^{2y-5}}}\ \$

   $\ {\frac {u^{6b-1}}{u^{9-b}}}\ \$

   $\ {\frac {x^{8k+3}}{x^{-4-3k}}}\ \$

Vertiefende Niveaus D

1. V2.6 $\$Begründen Sie folgende Berechnungen!

   $\ n^{3}\cdot n^{9}=n^{12}\$

   $\ {\frac {h^{9}}{h^{3}}}=n^{6}\ \$

   $\ j^{0}=1\$

2. V2.6 $\$Begründen Sie folgende Berechnungen mit Hilfe von Figuren!

   $\ {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}={\frac {29}{35}}\$

   $\ {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}={\frac {11}{15}}\$

   $\ {\frac {3}{5}}-{\frac {3}{7}}={\frac {6}{35}}\$

3. V1.5 $\$Betrachten Sie die folgenden Zusammenhängen und beantworten Sie die darauf folgenden Fragen!
   1. In einer Stichprobe geben 30 Frauen an, dass sie zumindest ein mal in ihrem Leben vergewaltigt wurden, 58 geben an, dass sie sonstige körperliche Gewalt erfahren haben, 29 geben an, nur unter psychische Gewalt gelitten zu haben, 68, dass sie ein gewaltloses aber nicht glückliches Leben geführt haben, und 19, dass sie ein glückliches Leben geführt haben.
   2. In einer Stichprobe in einer Großstadt geben 152 Personen an, dass sie nur die öffentlichen Verkehrsmitteln benutzen,29 geben an, dass sie nur das Fahrrad benutzen, 60 geben an, sowohl Fahrrad als auch öffentliche Verkehrsmitteln zu benutzen, 31, dass sie nur das Auto benutzen, und 32, dass sie unterschiedliche Verkehrsmitteln benutzen.
   3. In einer Stichprobe geben 202 Personen an, dass sie die Partei für Heimat und Ordnung gewählt haben, 165 geben an, dass sie die Partei für Arbeit und Gleichheit gewählt haben, 49 geben an, dass sie die Partei für Fortschritt gewählt haben, 52, dass sie die Partei für Natur gewählt haben, und 28, dass sie eine andere Partei gewählt haben.
   1. Geben Sie für jeden Zusammenhang die entsprechenden Prozentsätze an!
   2. Geben Sie an, mit welchen der folgenden Brüchen Sie jeweils die Prozentsätze annähern würden!

      $\ {\frac {2}{7}}\$

      $\ {\frac {3}{20}}\$

      $\ {\frac {1}{2}}\$

      $\ {\frac {1}{10}}\$

      $\ {\frac {2}{5}}\$

      $\ {\frac {1}{3}}\$

      $\ {\frac {1}{25}}\$

      $\ {\frac {1}{5}}\$

   3. Berechnen Sie für alle Diagramme die entsprechenden Kreisdiagramm-Winkeln und geben Sie an, welches der folgenden Kreisdiagramme zu welchem Zusammenhang passt!
4. V2.10 $\$Berechnen Sie die fehlenden Werte in den Tabellen:

   $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$$\qquad$$\$ $\$$\qquad$$\$ Umsatzsteuer % 60% Umsatzsteuer € 195€ Bruttoverkaufspreis € 88€ Rabatt % 37,5% Rabatt € 195€ Preis nach dem Rabatt € 780€	$\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$336000€$\$ $\$$\qquad$$\$ Umsatzsteuer % 20% Umsatzsteuer € Bruttoverkaufspreis € 369600€ Rabatt % 3% 5% Rabatt € Preis nach dem Rabatt € 478,8€
   $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$$\qquad$$\$ $\$$\qquad$$\$ Umsatzsteuer % 50% Umsatzsteuer € 129€ Bruttoverkaufspreis € Rabatt % 10% Rabatt € 195€ Preis nach dem Rabatt € 939,55€ 780€	$\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$$\qquad$$\$ $\$$\qquad$$\$ Umsatzsteuer % 14% Umsatzsteuer € 8,4€ Bruttoverkaufspreis € 3990€ Rabatt % 10% Rabatt € 9,24€ Preis nach dem Rabatt € 83,16€

5. V2.7 $\$
   1. Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der Zinssatz 0,6%.
      1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014?
      2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012?
      3. Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?
   2. Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der effektiver Zinssatz 0,45%.
      1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014?
      2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012?
      3. Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?
   3. Im Jahr 1993 war das Guthaben in einem Konto 7459,48 €, der Zinssatz 3,6%.
      1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 1994?
      2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 1992?
      3. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2008?
   4. Im Jahr 1999 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der effektiver Zinssatz 1,35%.
      1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2000?
      2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 1998?
      3. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2157?
6. V1.8 $\$

   ${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-1{\frac {2}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$	$\left({\frac {5}{6}}-{\frac {1}{2}}\right)-2{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {1}{7}}\cdot 3{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}:{\frac {7}{8}}\right)$
   $1{\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{7}}-\left({\frac {1}{9}}:{\frac {2}{15}}-{\frac {1}{2}}\right)$	${\frac {28}{39}}\cdot \left({\frac {3}{7}}+{\frac {27}{28}}:1{\frac {13}{14}}\right)-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}\right)$

7. V2.6 $\$Mit Hilfe der folgenden Figuren beweisen Sie jeweils den Satz des Pythagoras!

Antworten Grundniveaus A

1. $\ {\frac {91}{99}}\qquad$

   $\ {\frac {65}{77}}\qquad$

   $\ {\frac {13}{33}}\qquad$

2. $\textstyle \ {\frac {3}{13}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {23}{12}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {15}{28}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {35}{12}}\qquad$

   $\textstyle \ {\frac {143}{24}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {119}{39}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {13}{13}}(=-1)\qquad$ $\textstyle \ {\frac {88}{39}}\qquad$

   $\textstyle \ {\frac {63}{55}}\qquad$ $\textstyle \ -{\frac {8}{45}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {77}{45}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {18}{9}}(=2)\qquad$

   $\textstyle \ {\frac {26}{13}}(=2)\qquad$ $\textstyle \ {\frac {165}{104}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {143}{120}}\qquad$ $\textstyle \ {\frac {23}{104}}\qquad$

3. 2. $D=58{,}75\ kg\qquad Med=58{,}5\ kg\qquad Mod=45\ und\ 65\ kg$
   4. $D\approx 57{,}86\ kg\qquad Med=54\ kg\qquad Mod=65\ kg$
   6. AT: $D=35{,}6\qquad Med=9\qquad Mod=2\ \&\ 10\quad$
      PO: $D=16\qquad Med=11\qquad Mod=1\&\ 11$

4. ca.24, 32, 36 bzw. fast 39 Liter ca. 3, 1,5, 1 bzw. 0,5 kg ca. 16 Liter ca. 3,5 kg

   ca. 71 Jahre ca. 77 Jahre ca. 30 Zig./Tag ca. 34 Zig./Tag ca. 85 Jahre

   ca.60, 50, 35 bzw. 10 Hz ca. 70 Hz, 140 cm ca. 100, 60, 40 bzw. 120 cm

   ca. 3, 4, 6 bzw. 7,3 Pa ca. 1 Pa, ca. 115 °C ca. 45, 57, 70 bzw. 90 °C

5. $\ x=0{,}0224\ \ l\quad$ $\ x\approx 14344\ {\text{ min}}$

   $\ x=92{,}25\ \ t\quad$ $\ x=20\ {\text{Kühe}}$

   $\ x=320\ m$ $\ x=28\ \ g\quad$

6. $8p^{5}-10p^{7}-12p^{3}+15p^{5}=23p^{5}-10p^{7}-12p^{3}$

   $\ 15w^{8}-12w^{6}+5w^{6}-4w^{4}=15w^{8}-7w^{6}-4w^{4}$

   $\ 10g^{7}+8g^{6}-15g^{5}-12g^{4}$

7. $\ x=125000\ {\text{Volt}}\quad$ $\ x=0{,}08\%\quad \$ $x=0{,}98\ {\text{Volt}}\quad$

   $\ x\approx 23170\%\quad$ $\ x=1225{,}67\ kg\quad$ $\ x\approx 0{,}432\ {\text{kg}}\quad$

360 t Kart., 280 t Tom., 189 t Gur., 11 t Karot., 420 t Getr. $\textstyle {\frac {1}{3}}\ {\text{der Ernte}}$ Saskia $5\ Punkte$ die Hosen $28$

$\qquad \qquad \qquad$

$24$ $9$ $-7$

Antworten Grundniveaus B

$u\approx 408\ cm,\ A\approx 5105\ cm^{2}$ $\ u\approx 33{,}3\ dm\quad A\approx 5{,}00\ dm^{2}\qquad$ $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$ $\ u=9{,}6cm\quad A\approx 4{,}43\ cm^{2}\qquad$	$\ dm^{2}\qquad$ $\ dm\qquad$ $\ Tage\qquad$ $\ cm\qquad$ $\ mg\qquad$ $\ cm\qquad$ $\ h\qquad$ $\ m^{2}\qquad$ $\ t\qquad$ $\ m^{2}\qquad$ $\ dm\qquad$ $\ kg\qquad$
1C, 2A, 3B 1B, 2A, 3C

Antworten Grundniveaus C

1. $c=-4111\qquad$ $k=55\qquad$ $f=38\qquad$ $x=1208\$ $\textstyle m={\tfrac {214}{23}}\approx 9{,}3\qquad$ $w=19{,}{\overline {45}}$

   $c=1992\qquad$ $k=52\qquad$ $f=45\qquad$ $x=3983\$ $\textstyle m=22\qquad$ $w={\tfrac {214}{13}}=16{,}{\overline {461538}}\approx 16{,}46$

   $c=-4011\qquad$ $k=60\qquad$ $f=56\qquad$ $x=-3654\$ $\textstyle m={\tfrac {72}{11}}=6{,}{\overline {54}}\qquad$ $w=12{\tfrac {10}{17}}\approx 12{,}59$

1. $\ 0,\ \ 6,\ \ 2,\ \ 10,\ \ 14,\ \ {\text{und }}11\ {\text{Tische}}$

   $\ 2,\ \ 0,\ \ 5,\ \ 12,\ \ 13,\ \ {\text{und }}10\ {\text{T.}}$

   $\ 6,\ \ 6,\ \ 5,\ \ 14,\ \ 19,\ \ {\text{und }}10\ {\text{Packungen}}$

2. $1755\ {\text{€}}$ $45\ {\text{€}}$

   $71{,}4\ {\text{kg}}$ $3{,}4\ {\text{kg}}$

   $68{,}4\ {\text{kg}}$ $3{,}6\ {\text{kg}}$

   $50\ {\text{Jahre}}$ $30\ {\text{Jahre}}$

Antworten Grundniveaus D

$0{,}3\ Tage$ $35000000\ dm^{2}$ $0{,}000000443\ dm^{3}$ $7{,}95\ min$ $550000\ mm^{2}$ $0{,}00000043\ t$ $0{,}3875\ Tage$ $0{,}000000008\ km^{2}$ $0{,}00000033\ kg$ $75000\ g$ $0{,}08516\ Jahre$ $0{,}000000503\ m^{3}$ $0{,}095\ h$ $5430000000\ dm^{2}$ $0{,}504\ dm^{3}$

3 42 41 −4 5 21 19 −42 4 28 12 −46

G2.1 $\$ $\qquad$Gemischte Zahl $\qquad$in unechten Bruch: $\qquad$Subtraktion $\ {\tfrac {40}{9}}\qquad$$\ {\tfrac {120}{13}}\qquad$$\ {\tfrac {12}{7}}$ $\ {\tfrac {11}{9}}\qquad$$\ 8{\tfrac {10}{13}}\qquad$$\ -1{\tfrac {1}{7}}\qquad$$\ 3{\tfrac {3}{5}}$ $\ {\tfrac {53}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {9}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {35}{3}}$ $\ 3{\tfrac {4}{7}}\qquad$$\ {\tfrac {1}{5}}\qquad$$\ {\tfrac {11}{3}}\qquad$$\ -2{\tfrac {1}{4}}$ $\ {\tfrac {11}{3}}\qquad$$\ {\tfrac {76}{11}}\qquad$$\ {\tfrac {17}{9}}$ $\ -5{\tfrac {1}{3}}\qquad$$\ {\tfrac {56}{11}}\qquad$$\ {\tfrac {1}{9}}\qquad$$\ -4{\tfrac {8}{13}}$

Antworten vertiefende Niveaus A

1. $x=5$ 8

   $w=-0,5$ $c=0,25$

   $m=0{,}4$ −1

2. $-{\frac {313}{1800}}$

   ${\frac {649}{504}}$

   $-{\frac {37}{300}}$

   $-{\frac {32}{36}}\left(=-{\frac {8}{9}}\right)$

3. D Ö R F E R 3 1 5 5 4 3 4 6 7 8 Toten pro Dorf $D=6{,}{\dot {1}}\ {\text{T./D.}},\ Med=6{,}5,\$ $Mod=6\ und\ 7,\ S=5$

   R Ä Ü M E 1 2 5 5 3 0 1 2 4 8 Betten pro Raum $D=3{,}5\ {\text{B./R.}},\ Med=3,\$ $Mod=2\ und\ 4,\ S=8$

   T I S C H E 4 5 1 4 1 0 1 2 3 9 Personen/Tisch $D=1{,}8{\dot {6}}\ {\text{P./T.}},\ Med=1,\$ $Mod=1,\ S=9$

   P E R S O N 3 5 1 5 1 0 1 2 3 14 Part./Person $D=2{,}4\ {\text{Par./Per.}},\ Med=1,\$ $Mod=3,\ S=14$

4. $\approx 34{,}2{\text{°C}}$

   $\approx 318\ {\text{Menschen}}$

   $\approx 40522\ {\text{Atome}}$

   $\approx 117686\ {\text{Bakterien}}$

   $\approx 1{,}73\ 10^{14}\ {\text{Personen!}}$

   $\approx 21700000\ {\text{Personen}}$

5. $A=9\ cm^{2}$

   $u\approx 12{,}23\ cm\qquad$

   $A=90\ cm^{2}\qquad$

   $A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad$

   $u=96\ cm\qquad$

6. $11\ {\text{T. mit 3 B.}}\qquad \ 22\ {\text{T. mit 8 B.}}$	$5\ {\text{W. mit 40 S.}}\qquad \ 8\ {\text{W. mit 65 S.}}\qquad$
   $9\ {\text{W mit 15 S.}}\qquad \ 9\ {\text{W.mit 20 S.}}\qquad$	$13\ {\text{Mädchen}}\qquad \ 11\ {\text{Jungen}}\qquad$

Antworten vertiefende Niveaus B

1. $65\ {\text{g}}\$

   $371\ {\text{€}}\$

   $7{,}8\ {\text{Tage}}\$

   $3\ {\text{Stücke}}\$

2. $\ y=-0{,}5x+70$ x: cm, y: Hz, S: Hz/cm

   $\ y=-0{,}4x+100$ x: °C, y: g/L, S: g/(L mal °C).

   $\ y=-{\frac {17x}{30}}+85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.

   $\ y=205{,}63x+346$ x: km, y: m, S: m/km

3. ✘, ✔, ✔

   ✘, ✔, ✔

   ✔, ✘, ✔

   ✘, ✔, ✔

4. ${\color {red}21+56}:7-(79-2\cdot 5):3=$ ${\color {red}77}:7-(79-10):3=$ ...→ Punkt vor Strich 6

   $43+56:8-({\color {red}30-2}\cdot 5):4=$ $43+7-({\color {red}28}\cdot 5):4=$ ...→ Punkt vor Strich 45

   $43+72:8-(56-2\cdot {\color {red}20}):{\color {red}4}=$ $43+9-(56-2\cdot {\color {red}5})=$ ... → Klammer vor Punkt 48

   $63-(56:7-2)\cdot {\color {red}9+72}:3=$ $63-(8-2)\cdot {\color {red}81}:3=$ ...→ Punkt vor Strich 33

5. $r={\sqrt {\tfrac {A}{\pi }}}$

   keine

   die zweite

Antworten vertiefende Niveaus C

1. $1750\ {\text{€}}\qquad$ 0,8\% erhöht

   $15\ {\text{t}}\qquad$ 9,2\% erhöht

   $2{,}5\ cm\qquad$ keine Änderung

   $350\ {\text{ml}}\qquad$ ca. 43\% mehr

2. $D\approx 3{,}42\ {\text{St./Tisch}},\ Mod=2\ und\ 5$

   $D\approx 3{,}04\ {\text{Bl/T}},\ Mod=6$

   $D=3{,}{\dot {2}}\ {\text{Schl./Haus}},\ Mod=3\ und\ 5$

3. $\ {a^{-2-w}}\$

   $\ {v^{3-d}}\$

   $\ {4^{4z}}\$

   $\ {7^{-2}}\$

   $\ c^{12-6s}\$

   $\ 5^{y}\$

   $\ u^{8b-19}\$

   $\ x^{11k+7}\$

Antworten vertiefende Niveaus D

1. 1. $n^{3}\cdot n^{9}=\underbrace {n\cdot n\cdot n} _{3\ mal}\cdot \underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} _{9\ mal}=\underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} _{12\ mal}=n^{12}\quad _{(=n^{3+9})}$
   2. $\quad {\frac {h^{9}}{h^{3}}}={\frac {h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{h\cdot h\cdot h}}={\frac {{\cancel {h}}\cdot \cdot {\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{{\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{1}}=h^{6}\quad _{=(h^{9-3})}\quad$
   3. Es gilt:$\quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}={{\cancel {j^{n}}} \over {\cancel {j^{n}}}}={{1} \over {1}}=1\quad$und nach der Regel $\textstyle \quad {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}\quad$ gilt auch: $\quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}=j^{n-n}=a^{0}\quad$ also $\textstyle \quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}\quad$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $j^{0}$. Daher gilt: $\quad j^{0}=1$
2. 1. • 
      • 

      ist wie

      • 
      • 

      usw.

   2. ähnlich wie a
   3. • 
      • 
      • 

3. $\ {\frac {2}{7}}\approx 0,2857=28,57\%\approx 103^{\circ }$	$\ {\frac {3}{20}}=0,15=15\%=54^{\circ }$	$\ {\frac {1}{2}}=0,5=50\%=180^{\circ }$	$\ {\frac {1}{10}}=0,1=10\%=36^{\circ }$
   $\ {\frac {2}{5}}=0,4=40\%=144^{\circ }$	$\ {\frac {1}{3}}=0,{\dot {3}}=33,{\dot {3}}\%=120^{\circ }$	$\ {\frac {1}{25}}=0,04=4\%\approx 14^{\circ }$	$\ {\frac {1}{5}}=0,2=20\%=72^{\circ }$

   daher

   1. $\ {\frac {30}{204}}\approx 0,147=14,7\%\approx {\frac {3}{20}}=54^{\circ }$

      $\ {\frac {58}{204}}\approx 0,284=28,4\%\approx {\frac {2}{7}}=103^{\circ }$

      usw.

      richtiges Diagramm: II

   2. $\ {\frac {152}{304}}=0,5=50\%={\frac {1}{2}}=180^{\circ }$

      $\ {\frac {29}{304}}\approx 0,095=9,5\%\approx {\frac {1}{10}}=36^{\circ }$

      usw.

      richtiges Diagramm: III

   3. $\ {\frac {202}{496}}\approx 0,41=41\%\approx {\frac {2}{5}}=144^{\circ }$

      $\ {\frac {165}{496}}\approx 0,333=33,3\%\approx {\frac {1}{3}}=120^{\circ }$

      usw.

      richtiges Diagramm: I

4. $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$55$\$ $\$780€$\$ Umsatzsteuer % 60% 25% Umsatzsteuer € 33 195€ Bruttoverkaufspreis € 88€ 975 Rabatt % 37,5% 20% Rabatt € 33€ 195€ Preis nach dem Rabatt € 55€ 780€	$\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$336000€$\$ $\$420€$\$ Umsatzsteuer % 10% 20% Umsatzsteuer € 33600 84€ Bruttoverkaufspreis € 369600€ 504€ Rabatt % 3% 5% Rabatt € 11088€ 25,2€ Preis nach dem Rabatt € 358512€ 478,8€
   $\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$914,94$\$ $\$780€$\$ Umsatzsteuer % 14,1% 25% Umsatzsteuer € 129€ 195€ Bruttoverkaufspreis € 1043,94€ 975 Rabatt % 10% 20%1 Rabatt € 104,39€ 95€ Preis nach dem Rabatt € 939,55€ 780€	$\$Bsp. 1$\$ $\$Bsp. 2$\$ Nettoverkaufspreis € $\$3500€$\$ $\$84$\$ Umsatzsteuer % 14% 10% Umsatzsteuer € 490€ 8,4€ Bruttoverkaufspreis € 3990€ 92,4€ Rabatt % 10% 10% Rabatt € 399€ 9,24€ Preis nach dem Rabatt € 3591€ 83,16€

5. $G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{9,55 € }}$ $G=6340\ {\text{€}}\quad$ $eZs=0{,}45\%$ $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$

   $G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{9,55 € }}$ $G=6340\ {\text{€}}\quad$ $eZs=0{,}45\%$ $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$

   $G\approx 7660{,}89\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{268,54 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{201,41 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{67,14 € }}$ $G\approx 7263{,}37\ {\text{€}}\quad$ $eZs=2{,}7\%$ $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$

   $G\approx 6454{,}51\ {\text{€}}\quad$ $Z\approx {\text{114,63 € }}\quad$ $eZ\approx {\text{85,98 € }}\quad$ $KESt.\approx {\text{28,66 € }}$ $G\approx 6283{,}70\ {\text{€}}\quad$ $eZs=1{,}35\%$ $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$

6. ${\frac {16}{15}}$

   $-{\frac {1}{6}}$

   $-{\frac {1}{15}}$

   ${\frac {4}{15}}$

7. 

   Satz von Pythagoras

   Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:

   $\textstyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

   In der Figur sieht man ein großes Quadrat, das vier kongruente (sozusagen gleiche) rechtwinkelige Dreiecke und ein kleineres Quadrat beeinhaltet. Wie man in einer Formelsammlung finden kann, ist die Fläche jedes rechtwinkeligen Dreiecks  $\textstyle A_{d}={\frac {a\cdot b}{2}}$  (und es gibt 4 solche Dreiecken). Die Fläche des kleinen Quadrats in der Mitte ist $\textstyle A_{kQ}=c^{2}$. Die Seite des großen Quadrats ist die Summe von a und b, Daher ist seine Fläche $\textstyle A_{gQ}=(a+b)^{2}$. Das Ganze (das große Quadrat) ist aber die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:

   $\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$

   $\textstyle (a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$

   Wie schon gezeigt, es gilt $\textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$ Wir ersetzten also in der letzten Formel $\textstyle (a+b)^{2}$ durch $\textstyle a^{2}+2ab+b^{2}.$ Dazu kürzen wir den Bruch: $\textstyle 4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}=2ab.$ Es gilt daher:

   $\textstyle a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$   und daher:

   $\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad$  (Satz von Pythagoras)

   Ähnlich ist der Beweis für die folgende Figur:

   

   Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:

   $\textstyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

   Die Fläche des großen Quadrats (gesamte Fläche) ist jetzt $\textstyle A_{gQ}=c^{2}$ und des kleinen Quadrats in der Mitte $\textstyle A_{kQ}=(a-b)^{2}$. Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:

   $\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$

   $\textstyle c^{2}=(a-b)^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$

   $\textstyle c^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}+2ab$   und daher:

   $\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad$

   Es gibt außerdem zahlreiche andere Beweise für diesen Satz, die die Vielfalt und die Kreativität des mathematischen Denkens zeigen.

Anmerkungen

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