MathemaTriX ⋅ Prüfungsvorbereitung. Vertiefend

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Teil A

V1.1

\

Berechnen Sie mit Hilfe des kgV!

$2{\frac {9}{20}}-{\frac {11}{15}}+3{\frac {13}{60}}$

$2{\frac {9}{28}}+{\frac {11}{63}}-3{\frac {5}{12}}$

$2{\frac {9}{20}}-{\frac {11}{36}}+3{\frac {13}{15}}$

V1.2

\

Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!

3(7-2b)=4b+41

7-4\cdot (2k+5)=4\cdot (3k-2)+55

3-5(3w-1)=12w+17

7-3(4c-9)=6c-11

V1.11 $\$ $\$
1. Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der effektive Zinssatz 0,6%. Wie viel wird das Guthaben im Jahr 2030 sein, wenn keine weitere Änderungen stattfinden?
2. Das Caesium-Isotop ¹³⁷Cs (radioaktiver Abfall) wird jährlich um 2,267% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 23 Monaten, wenn wir am Anfang 50000 Atome haben?
3. Eine Bakterienkultur mit einem Bakterium wächst um 243% pro Stunde. Wie viele Bakterien wird es nach 282 Minuten geben?
4. Die Spannung in einem Stromkreis ist 220,2 V und fällt um 2,4% pro s. Wie viel wird sie nach 0,33 min sein?
5. Im Jahr 1998 war das Guthaben in einem Konto 700€, der effektive Zinssatz 2,6%. Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2025 sein, wenn keine weitere Änderungen stattfänden?

V2.8 Zeichnen Sie jeweils das entsprechende beschriftete Säulendiagramm!

Im Folgenden wird angegeben, wie viele Tonnen Bananen die ("arbeitenden") Kinder in einer Plantage in Südamerika an einem Tag geliefert haben: 7, 5, 4, 7, 4, 4, 8, 6, 6, 8, 7, 7, 4, 4, 5, 6.	Die Blumentöpfe an einem Balkon haben folgende Anzahl von Blumen: 7, 5, 0, 3, 0, 8, 7, 7, 8, 7, 5, 3, 0, 8, 8, 7.

V1.9 $\$ $\$
1. Die Fläche eines Rechtecks ist 3,8 dm², seine Breite 16 cm. Berechnen Sie seinen Umfang!
2. Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!
3. Die Fläche eines Kreises ist 12cm². Berechnen Sie den Umfang!
4. Der Umfang eines Kreises ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!
5. Die Fläche eines Parallelogramms ist 12 dm², die zur längsten Seite entsprechende Höhe 20cm und die kürzere Seite 0,3 m. Berechnen Sie den Umfang!
V1.7 $\$ $\$
1. In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?
2. An einem Balkon gibt es 23 Blumentöpfe, manche mit 4 und der Rest mit 7 Blumen. Zusammen sind die Blumen 146. Wie viele Töpfe mit 4 bzw. 7 Blumen gibt es am Balkon?
3. Eine Flugzeugfirma hat 26 Flugzeuge, manche für 130 und der Rest für 150 Passagiere. Insgesamt kann die Firma 3680 Passagiere gleichzeitig bedienen. Wie viele Flugzeuge für 130 bzw. 150 Passagiere hat die Firma?

V2.1

\

Zwei fünftel einer Ernte sind faul. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

richtig falsch

20% ist faul.

Das 0,6-fache der Ernts ist nicht faul.

Das Verhältnis „faul“ zu „nicht faul“ beträgt 2 : 3.

Zwei siebtel des Gewichts eines Kuchens ist Zucker. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

	richtig	falsch
20% des Gewichts ist Zucker.
Das $0{,}{\overline {285714}}{\text{-fache}}\$ des Gewichts ist Zucker.
Das Verhältnis Zucker zu den restlichen Inhalten beträgt 2 : 5.

Zwei fünftel der Kinder einer Klasse sind Buben. Welche der folgenden Aussagen stimmen mit dieser Aussage überein? Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Begründen Sie!

	richtig	falsch
40% der Kinder sind Buben.
Das $0{,}4{\text{-fache}}\$ der Kinder sind nicht Buben.
Das Verhältnis der restlichen Kindern zu den Buben beträgt 3 : 2.

G1.1

\

Bei den folgenden Berechnungen ist jeweils ein Fehler aufgetreten. Finden Sie ihn und begründen Sie!

21+56:7-(77-2\cdot 4):3=

21+8-(75\cdot 4):3=

29-300:3=29-100=

-71

33+72:8-(56-2\cdot 20):4=

33+9-(56-40):4=

42-(56-10)=

42-46=

-4

V2.4 $\$ $\$
1. Von einer Baufirma wird kalkuliert, dass 25 Arbeiter 9 Tage benötigen. Nach 3 Tagen müssen jedoch 5 Arbeiter von der Baustelle abgezogen werden. Um wie viele Tage später wird die Arbeit nun wahrscheinlich beendet?
2. Zwei Staaten befinden sich im Krieg. Viele Kinder verlieren dadurch ihre Eltern. In einem Waisenhaus mit 27 Kindern reicht das vorhandene Geld für noch 25 Tage aus. Nach 7 Tagen werden 9 Kinder in Ausland adoptiert und verlassen sie das Waisenhaus. Für wie viele Tage insgesamt wird dann das am Anfang vorhandene Geld ausreichen?
3. Der Futtervorrat in einem Bauernhof mit 19 Kühe reicht für 22 Tage aus. Nach 6 Tagen werden 13 Kühe dazu gekauft. Für wie viele Tage insgesamt reicht der anfängliche Vorrat in diesem Fall?
V2.5 $\$ $\$
1. Die Fläche einer Badewanne ist ca. 8800 __________.
2. Eine Busfahrt in einer Stadt dauert 911 ______.
3. Das Volumen eines Schlafzimmers ist 32500 _________.
4. Die Dicke einer Schlüssel ist 0,08 __________ .
5. Ein Hund wiegt 0,00834 _________.
6. Das Volumen eines Honigglases ist 632000 __________ .
7. Die Fläche eines Schachspielbrettes ist ca. 625 __________.
8. Das Volumen eines Kochtopfes ist 2524 ______.
9. Eine Ziege wiegt 15300 _________.
10. Die Dicke eines Kugelschreibers ist 0,0032 __________ .
11. Das Volumen eines Zahns ist 0,00106 _________.
12. Ein Atemzug dauert ca. 0,084 __________ .

Teil B

V1.4

\

\ {a^{-7+3w}}\cdot {a^{5-4w}}\ \

\ {v^{5-4d}}\cdot {v^{3d-2}}\ \

\ {4^{z-2}}\cdot {4^{3z+2}}\ \

\ {7^{-7-6t}}\cdot {7^{5+6t}}\ \

\ {\frac {c^{3-4s}}{c^{-9+2s}}}\ \

\ {\frac {5^{-5+3y}}{5^{2y-5}}}\ \

\ {\frac {u^{6b-1}}{u^{9-b}}}\ \

\ {\frac {x^{8k+3}}{x^{-4-3k}}}\ \

V1.10 $\$ $\$ Bei den folgenden Säulendiagrammen berechnen Sie jeweils den Durchschnitt!
V1.6 $\$ $\$
1. 1. Wie groß war es ursprünglich?
  2. Wurde es insgesamt erhöht oder reduziert und um wie viel Prozent?
2. 1. Wie viele t wäre sie ursprünglich?
  2. Um wie viel Prozent wäre sie insgesamt gestiegen?
3. 1. Wie lang war sie ursprünglich?
  2. Ist sie insgesamt größer oder kleiner geworden und um wie viel Prozent?
4. 1. Wie groß war er ursprünglich?
  2. Wurde er insgesamt größer oder kleiner und um wie viel Prozent?
V2.9 $\$ $\$ Erstellen Sie mit Hilfe des jeweiligen Diagramms die jeweils entsprechende lineare Funktion! Benutzen Sie dafür zwei Punkte und ein lineares Gelichungssystem!

V1.5

\

Betrachten Sie die folgenden Zusammenhängen und beantworten Sie die darauf folgenden Fragen!

In einer Stichprobe geben 30 Frauen an, dass sie zumindest ein mal in ihrem Leben vergewaltigt wurden, 58 geben an, dass sie sonstige körperliche Gewalt erfahren haben, 29 geben an, nur unter psychische Gewalt gelitten zu haben, 68, dass sie ein gewaltloses aber nicht glückliches Leben geführt haben, und 19, dass sie ein glückliches Leben geführt haben.
In einer Stichprobe in einer Großstadt geben 152 Personen an, dass sie nur die öffentlichen Verkehrsmitteln benutzen,29 geben an, dass sie nur das Fahrrad benutzen, 60 geben an, sowohl Fahrrad als auch öffentliche Verkehrsmitteln zu benutzen, 31, dass sie nur das Auto benutzen, und 32, dass sie unterschiedliche Verkehrsmitteln benutzen.
In einer Stichprobe geben 202 Personen an, dass sie die Partei für Heimat und Ordnung gewählt haben, 165 geben an, dass sie die Partei für Arbeit und Gleichheit gewählt haben, 49 geben an, dass sie die Partei für Fortschritt gewählt haben, 52, dass sie die Partei für Natur gewählt haben, und 28, dass sie eine andere Partei gewählt haben.

Geben Sie für jeden Zusammenhang die entsprechenden Prozentsätze an!

Geben Sie an, mit welchen der folgenden Brüchen Sie jeweils die Prozentsätze annähern würden!

\ {\frac {2}{7}}\

\ {\frac {3}{20}}\

\ {\frac {1}{2}}\

\ {\frac {1}{10}}\

\ {\frac {2}{5}}\

\ {\frac {1}{3}}\

\ {\frac {1}{25}}\

\ {\frac {1}{5}}\

Berechnen Sie für alle Diagramme die entsprechenden Kreisdiagramm-Winkeln und geben Sie an, welches der folgenden Kreisdiagramme zu welchem Zusammenhang passt!

X Y Z

V2.6

\

Begründen Sie folgende Berechnungen!

\ n^{3}\cdot n^{9}=n^{12}\

\ {\frac {h^{9}}{h^{3}}}=n^{6}\ \

\ j^{0}=1\

V2.6

\

Begründen Sie folgende Berechnungen mit Hilfe von Figuren!

\ {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}={\frac {29}{35}}\

\ {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}={\frac {11}{15}}\

\ {\frac {3}{5}}-{\frac {3}{7}}={\frac {6}{35}}\

V2.7 $\$ $\$
1. 1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014?
  2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012?
  3. Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?
2. 1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014?
  2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012?
  3. Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?
3. 1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 1994?
  2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 1992?
  3. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2008?
4. 1. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2000?
  2. Wie viel war das Guthaben im Jahr 1998?
  3. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2157?
V2.6 $\$ $\$ Mit Hilfe der folgenden Figuren beweisen Sie jeweils den Satz des Pythagoras!

V2.10

\

Berechnen Sie die fehlenden Werte in den Tabellen:

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ $\qquad$ $\$	$\$ $\qquad$ $\$
Umsatzsteuer %	60%
Umsatzsteuer €		195€
Bruttoverkaufspreis €	88€
Rabatt %	37,5%
Rabatt €		195€
Preis nach dem Rabatt €		780€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ 336000€ $\$	$\$ $\qquad$ $\$
Umsatzsteuer %		20%
Umsatzsteuer €
Bruttoverkaufspreis €	369600€
Rabatt %	3%	5%
Rabatt €
Preis nach dem Rabatt €		478,8€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ $\qquad$ $\$	$\$ $\qquad$ $\$
Umsatzsteuer %		50%
Umsatzsteuer €	129€
Bruttoverkaufspreis €
Rabatt %	10%
Rabatt €		195€
Preis nach dem Rabatt €	939,55€	780€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ $\qquad$ $\$	$\$ $\qquad$ $\$
Umsatzsteuer %	14%
Umsatzsteuer €		8,4€
Bruttoverkaufspreis €	3990€
Rabatt %	10%
Rabatt €		9,24€
Preis nach dem Rabatt €		83,16€

V1.8

\

${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-1{\frac {2}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$	$\left({\frac {5}{6}}-{\frac {1}{2}}\right)-2{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {1}{7}}\cdot 3{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}:{\frac {7}{8}}\right)$
$1{\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{7}}-\left({\frac {1}{9}}:{\frac {2}{15}}-{\frac {1}{2}}\right)$	${\frac {28}{39}}\cdot \left({\frac {3}{7}}+{\frac {27}{28}}:1{\frac {13}{14}}\right)-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}\right)$

Antworten Teil A

{\frac {296}{60}}\left(={\frac {74}{15}}\right)

-{\frac {232}{252}}\left(=-{\frac {58}{63}}\right)

{\frac {1082}{180}}\left(={\frac {541}{90}}\right)

b=-2

−3

w=-{\frac {1}{3}}

c=2,5

7050,26€

\approx 47847\ {\text{Atome}}

\approx 328\ {\text{Bakterien}}

\approx 136{,}12\ {\text{V}}

1399,83€

K

I

N

D

E

R

5

2

3

5

2

4

5

6

7

8

Tonnen/Kind

D\approx 5{,}82\ {\text{t/K}},\ Med=6,\

Mod=4\ und\ 7,\ S=4

T

Ö

P

F

E

3

2

5

4

0

3

5

7

8

Blumen pro Topf

D\approx 5{,}19\ {\text{Bl./T.}},\ Med=7,\

Mod=7,\ S=8

u=7{,}95\ dm\qquad

A\approx 6{,}93\ cm^{2}\qquad

u\approx 12{,}23\ cm\qquad

A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad

u=18\ dm\qquad

$2\ {\text{T. mit 3 P.}}\qquad \ 6\ {\text{T. mit 5 P.}}$	$5\ {\text{T. mit 4 B.}}\qquad \ 18\ {\text{T. mit 7 B.}}\qquad$
$11\ {\text{F. mit 130 P.}}\qquad \ 15\ {\text{F. mit 150 P.}}\qquad$

<

21+56:7-({\color {red}77-2\cdot 4}):3=

21+8-({\color {red}75}\cdot 4):3=

...→ Punkt vor Strich

33+72:8-(56-2\cdot 20):4=

33+9-(56-2\cdot {\color {red}40}):{\color {red}4}=

33+9-(56-2\cdot {\color {red}10})=

... → Klammer vor Punkt

7{,}8\ {\text{Tage}}\

21\ {\text{Tage}}\

3\ {\text{Stücke}}\

cm^{2}

s

dm^{3}\ (\ell )

dm

t

mm^{3}

cm^{2}

cm^{3}(m\ell )

g

m

dm^{3}(\ell )

min

Antworten Teil B

\ {a^{-2-w}}\

\ {v^{3-d}}\

\ {4^{4z}}\

\ {7^{-2}}\

\ c^{12-6s}\

\ 5^{y}\

\ u^{8b-19}\

\ x^{11k+7}\

$D\approx 3{,}42\ {\text{St./Tisch}},\ Mod=2\ und\ 5$	$D\approx 3{,}04\ {\text{Bl/T}},\ Mod=6$
$D=3{,}{\dot {2}}\ {\text{Schl./Haus}},\ Mod=3\ und\ 5$

$1750\ {\text{€}}\qquad$
0,8\% erhöht

$15\ {\text{t}}\qquad$
9,2\% erhöht

$2{,}5\ cm\qquad$
keine Änderung

$350\ {\text{ml}}\qquad$
ca. 43\% mehr

$\ y=-0{,}5x+70$ x: cm, y: Hz, S: Hz/cm	$\ y=-0{,}4x+100$ x: °C, y: g/L, S: g/(L mal °C).
$\ y=-{\frac {17x}{30}}+85$ x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.	$\ y=205{,}63x+346$ x: km, y: m, S: m/km

$\ {\frac {2}{7}}\approx 0,2857=28,57\%\approx 103^{\circ }$	$\ {\frac {3}{20}}=0,15=15\%=54^{\circ }$	$\ {\frac {1}{2}}=0,5=50\%=180^{\circ }$
$\ {\frac {1}{10}}=0,1=10\%=36^{\circ }$	$\ {\frac {2}{5}}=0,4=40\%=144^{\circ }$	$\ {\frac {1}{3}}=0,{\dot {3}}=33,{\dot {3}}\%=120^{\circ }$
$\ {\frac {1}{25}}=0,04=4\%\approx 14^{\circ }$	$\ {\frac {1}{5}}=0,2=20\%=72^{\circ }$

daher

\ {\frac {30}{204}}\approx 0,147=14,7\%\approx {\frac {3}{20}}=54^{\circ }

\ {\frac {58}{204}}\approx 0,284=28,4\%\approx {\frac {2}{7}}=103^{\circ }

usw.

richtiges Diagramm: Y

\ {\frac {152}{304}}=0,5=50\%={\frac {1}{2}}=180^{\circ }

\ {\frac {29}{304}}\approx 0,095=9,5\%\approx {\frac {1}{10}}=36^{\circ }

usw.

richtiges Diagramm: Z

\ {\frac {202}{496}}\approx 0,41=41\%\approx {\frac {2}{5}}=144^{\circ }

\ {\frac {165}{496}}\approx 0,333=33,3\%\approx {\frac {1}{3}}=120^{\circ }

usw.

richtiges Diagramm: X

1. $n^{3}\cdot n^{9}=\underbrace {n\cdot n\cdot n} _{3\ mal}\cdot \underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} _{9\ mal}=$
  $\underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} _{12\ mal}=n^{12}\quad _{(=n^{3+9})}$
2. $\quad {\frac {h^{9}}{h^{3}}}={\frac {h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{h\cdot h\cdot h}}={\frac {{\cancel {h}}\cdot \cdot {\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{{\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}\cdot {\cancel {h}}}}\ _{({\text{kürzen}})}=$
  ${\frac {h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h\cdot h}{1}}=h^{6}\quad _{=(h^{9-3})}\quad$
3. Es gilt: $\quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}={{\cancel {j^{n}}} \over {\cancel {j^{n}}}}={{1} \over {1}}=1\quad$ und nach der Regel $\textstyle \quad {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}\quad$ gilt auch: $\quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}=j^{n-n}=a^{0}\quad$ also $\textstyle \quad {\frac {j^{n}}{j^{n}}}\quad$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $j^{0}$ . Daher gilt: $\quad j^{0}=1$
1. ist wie
  
  usw.
2. ähnlich wie a

$G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$
$Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$
$eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$
$KESt.\approx {\text{9,55 € }}$
$G=6340\ {\text{€}}\quad$
$eZs=0{,}45\%$
$G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$

$G\approx 6397{,}19\ {\text{€}}\quad$
$Z\approx {\text{38,21 € }}\quad$
$eZ\approx {\text{28,66 € }}\quad$
$KESt.\approx {\text{9,55 € }}$
$G=6340\ {\text{€}}\quad$
$eZs=0{,}45\%$
$G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$

$G\approx 7660{,}89\ {\text{€}}\quad$
$Z\approx {\text{268,54 € }}\quad$
$eZ\approx {\text{201,41 € }}\quad$
$KESt.\approx {\text{67,14 € }}$
$G\approx 7263{,}37\ {\text{€}}\quad$
$eZs=2{,}7\%$
$G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$

$G\approx 6454{,}51\ {\text{€}}\quad$
$Z\approx {\text{114,63 € }}\quad$
$eZ\approx {\text{85,98 € }}\quad$
$KESt.\approx {\text{28,66 € }}$
$G\approx 6283{,}70\ {\text{€}}\quad$
$eZs=1{,}35\%$
$G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$

Satz von Pythagoras

Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:
$\textstyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
In der Figur sieht man ein großes Quadrat, das vier kongruente (sozusagen gleiche) rechtwinkelige Dreiecke und ein kleineres Quadrat beeinhaltet. Wie man in einer Formelsammlung finden kann, ist die Fläche jedes rechtwinkeligen Dreiecks $\textstyle A_{d}={\frac {a\cdot b}{2}}$ (und es gibt 4 solche Dreiecken). Die Fläche des kleinen Quadrats in der Mitte ist $\textstyle A_{kQ}=c^{2}$ . Die Seite des großen Quadrats ist die Summe von a und b, Daher ist seine Fläche $\textstyle A_{gQ}=(a+b)^{2}$ . Das Ganze (das große Quadrat) ist aber die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:
$\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$
$\textstyle (a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$
Wie schon gezeigt, es gilt $\textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$ Wir ersetzten also in der letzten Formel $\textstyle (a+b)^{2}$ durch $\textstyle a^{2}+2ab+b^{2}.$ Dazu kürzen wir den Bruch: $\textstyle 4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}=2ab.$ Es gilt daher:
$\textstyle a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$ und daher:
$\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad$ (Satz von Pythagoras)

Ähnlich ist der Beweis für die folgende Figur:

Für den Beweis werden wir erst einmal folgenden Zusammenhang brauchen:
$\textstyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Die Fläche des großen Quadrats (gesamte Fläche) ist jetzt $\textstyle A_{gQ}=c^{2}$ und des kleinen Quadrats in der Mitte $\textstyle A_{kQ}=(a-b)^{2}$ . Das Ganze (das große Quadrat) ist die Summe seiner Teilen. Es gilt daher:
$\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$
$\textstyle c^{2}=(a-b)^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$
$\textstyle c^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}+2ab$ und daher:
$\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad$

Es gibt außerdem zahlreiche andere Beweise für diesen Satz, die die Vielfalt und die Kreativität des mathematischen Denkens zeigen.

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ 55 $\$	$\$ 780€ $\$
Umsatzsteuer %	60%	25%
Umsatzsteuer €	33	195€
Bruttoverkaufspreis €	88€	975
Rabatt %	37,5%	20%
Rabatt €	33€	195€
Preis nach dem Rabatt €	55€	780€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ 336000€ $\$	$\$ 420€ $\$
Umsatzsteuer %	10%	20%
Umsatzsteuer €	33600	84€
Bruttoverkaufspreis €	369600€	504€
Rabatt %	3%	5%
Rabatt €	11088€	25,2€
Preis nach dem Rabatt €	358512€	478,8€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ 914,94 $\$	$\$ 780€ $\$
Umsatzsteuer %	14,1%	25%
Umsatzsteuer €	129€	195€
Bruttoverkaufspreis €	1043,94€	975
Rabatt %	10%	20%1
Rabatt €	104,39€	95€
Preis nach dem Rabatt €	939,55€	780€

	$\$ Bsp. 1 $\$	$\$ Bsp. 2 $\$
Nettoverkaufspreis €	$\$ 3500€ $\$	$\$ 84 $\$
Umsatzsteuer %	14%	10%
Umsatzsteuer €	490€	8,4€
Bruttoverkaufspreis €	3990€	92,4€
Rabatt %	10%	10%
Rabatt €	399€	9,24€
Preis nach dem Rabatt €	3591€	83,16€

{\frac {16}{15}}

-{\frac {1}{6}}

-{\frac {1}{15}}

{\frac {4}{15}}

Anmerkungen

↑ Frankreich bezieht mehr als 70% seiner elektrischen Energie aus Kernkraftwerken. Ein (riesiges) Problem dabei ist der radioaktiver Müll, der für Hunderte bis Tausende Jahre gefährlich bleibt. Neben dem radioaktiven Müll, der unter Anderem früher legal und später illegal ins Meer geworfen wurde, gibt es auch andere Gefahren durch solche Kraftwerke, wie bei Unfällen, z.B. in Tschernobyl und in Fukushima

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[1] Frankreich bezieht mehr als 70% seiner elektrischen Energie aus Kernkraftwerken. Ein (riesiges) Problem dabei ist der radioaktiver Müll, der für Hunderte bis Tausende Jahre gefährlich bleibt. Neben dem radioaktiven Müll, der unter Anderem früher legal und später illegal ins Meer geworfen wurde, gibt es auch andere Gefahren durch solche Kraftwerke, wie bei Unfällen, z.B. in Tschernobyl und in Fukushima

[1]