PCRT/I/be4d

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18 Die homogenen Formen der Zustandsfunktionen in molarer Formulierung

Wir beginnen mit der Energiegleichung, bei der die Wärme-Funktion $+T\,S$ an Position zwei und die Mechanischen Energie-Funktion $+p(-V)$ an Position drei steht. Wir betrachten zunächst die Innere Energie mit allen elementaren Energie-Funktionen (Treibstoff + Wärme + Mechanik). Dann die Freie Energie (Treibstoff + Mechanik) , d.h. die Innere Energie ohne die Wärme-Funktion, dann die Frei Enthalpie (Treibstoff), d.h. die Innere Energie ohne die Mechanische-Energie-Funktion und dann die Enthalpie (Treibstoff + Wärme), d.h. die Frei Enthalpie zusätzlich mit der Wärme-Funktion. Wie nehmen von Energie-Funktion zu Energie-Funktion immer nur eine elementare Energie-Funktion weg oder fügen eine hinzu. Wir beginnen mit $U$ und der Wegnahme der Energie-Funktion, die an Position zwei steht und erhalten nach drei derartigen Wechseln die Abfolge $U(E),F,G,H$.

$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,\mu \,N+T\,S+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,\mu \,N+T\,S-p\,V$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}-T\,s-p\,(-v){\big )}+T\,S+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}-T\,s+p\,v{\big )}+T\,S-p\,V$
$(01)\qquad$	$U_{N,S,V}-\,T\,S+\,p\,V$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}-T\,s+p\,v{\big )}$
$(01)\qquad$	$U_{N,S,V}-\,T\,S-\,p\,(-V)$	$=$	$+\,N{\big (}\,u_{s,v}-T\,s-p\,(-v){\big )}$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,\mu \,N+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,\mu \,N-p\,V$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}-p\,(-v))+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}+p\,v)-p\,V$
$(02)\qquad$	$F_{N,T,V}+\,p\,V$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}+p\,v)$
$(02)\qquad$	$F_{N,T,V}-\,p\,(-V)$	$=$	$+\,N\,{\big (}f_{T,v}-p\,(-v){\big )}$
$\qquad \qquad$	$G_{N,T,p}$	$=$	$+\,\mu \,N$
$(03)\qquad$	$G_{N,T,p}$	$=$	$+\,g_{T,p}\,N$
$\qquad \qquad$	$H_{N,S,p}$	$=$	$+\,\mu \,N+T\,S$
$\qquad \qquad$	$H_{N,S,p}$	$=$	$+\,N\,(h_{s,p}-T\,s)+T\,S$
$(04)\qquad$	$H_{N,S,p}-\,T\,S$	$=$	$+\,N\,(h_{s,p}-T\,s)$

Jetzt führen wir die gleiche Rechnung nochmal mit der Mechanischen Energie-Funktion $+p(-V)$ in Position zwei und der Wärme-Funktion $+T\,S$ in Position drei durch. Wir erhalten die Reihenfolge des vorhergehenden Absatzes in umgekehrter Reihenfolge $U(E),H,G,F$. Wir lesen also die Formeln aus dem vorhergehenden Absatz rückwärs. Wir beachten dabei, daß eine zyklische Vertauschung der Reihenfolge, also z.B. aus $U(E),H,G,F$ folgt $H,G,F,U(E)$, die Abfolge nicht ändert.

$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,\mu \,N+p\,(-V)+T\,S$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,\mu \,N-p\,V+T\,S$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}-p\,(-v)-T\,s{\big )}+p\,(-V)+T\,S$
$\qquad \qquad$	$U_{N,S,V}$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}+p\,v-T\,s{\big )}-p\,V+T\,S$
$(01)\qquad$	$U_{N,S,V}+\,p\,V-\,T\,S$	$=$	$+\,N\,{\big (}u_{s,v}+p\,v-T\,s{\big )}$
$(01)\qquad$	$U_{N,S,V}-\,p\,(-V)-\,T\,S$	$=$	$+\,N{\big (}\,u_{s,v}-p\,(-v)-T\,s{\big )}$
$\qquad \qquad$	$H_{N,S,p}$	$=$	$+\,\mu \,N+T\,S$
$\qquad \qquad$	$H_{N,S,p}$	$=$	$+\,N\,(h_{s,p}-T\,s)+T\,S$
$(04)\qquad$	$H_{N,S,p}-\,T\,S$	$=$	$+\,N\,(h_{s,p}-T\,s)$
$\qquad \qquad$	$G_{N,T,p}$	$=$	$+\,\mu \,N$
$(03)\qquad$	$G_{N,T,p}$	$=$	$+\,g_{T,p}\,N$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,\mu \,N+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,\mu \,N-p\,V$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}-p\,(-v))+p\,(-V)$
$\qquad \qquad$	$F_{N,T,V}$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}+p\,v)-p\,V$
$(02)\qquad$	$F_{N,T,V}+\,p\,V$	$=$	$+\,N\,(f_{T,v}+p\,v)$
$(02)\qquad$	$F_{N,T,V}-\,p\,(-V)$	$=$	$+\,N\,{\big (}f_{T,v}-p\,(-v){\big )}$

Die integralen Formen der Zustandsgleichungen machen lediglich die Annahme, daß Entropie und Volumen proportional zur Teilchenanzahl sind und daß Temperatur, Druck und chemisches Potential nicht von der Teilchenanzahl abhängen. Mit dieser Annahme ergeben sich die Gleichungen (01), (02), (03), (04). Durch Differentialbildung und unter Berücksichtigung des Energieerhaltungssatzes in differentieller Form erhalten wird die gesamte Mathematik der Thermodynamik reversibler Prozesse.

Die chemische Energie $G$, bekannt unter dem Namen freie Enthalpie $G$, gibt die Energie des Gesamtsystems an, die weder in Temperatur-Entropie-Energie $T\,S$ noch in Druck-Volumen-Energie $-\,p\,V$ des Systems gespeichert ist. Die molare chemische Energie $\mu$, bekannt unter dem Namen chemisches Potential, wobei mit Potential bei der Namensbildung wohl Energie gemeint war, gibt die Energie auf Basis eines Mols Teilchen an, die nicht in Temperatur-Entropie-Energie $T\,s$ pro Mol noch in Druck-Volumen-Energie $-\,p\,v$ pro Mol gespeichert ist, eben die chemische Energie pro Mol Teilchen.

$(05)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$U-\,T\,S-(-\,p\,V)$	$=$	$G$	$\qquad \qquad \qquad \qquad$	$N\,(u-\,T\,s-(-\,p\,v))$	$=$	$\,+\,\mu \,N$
$(06)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$F-(-\,p\,V)$	$=$	$G$	$\qquad \qquad \qquad \qquad$	$N\,(f-(-\,p\,v))$	$=$	$\,+\,\mu \,N$
$(07)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$G$	$=$	$G$	$\qquad \qquad \qquad \qquad$	$N\,g$	$=$	$\,+\,\mu \,N$
$(08)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$H-\,T\,S$	$=$	$G$	$\qquad \qquad \qquad \qquad$	$N\,(h-\,T\,s)$	$=$	$\,+\,\mu \,N$