PCRT/I/c0ff

< Lektionen: Physikalische Chemie/Reversible Thermodynamik - PCRT/I

24 Zustandsänderungen des idealen Gases bei (T,V;N=const)

A Freie Energie

	$d F$	$=$	$- S d T - p d V$	$d F (T, V), S (T, V, N), p (T, V, N), d N = 0$
	$S$	$=$	$n R \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})] + S_{0}$	$S (T, V, N)$
	$S_{0}$	$=$	$+ \frac{5}{2} n R$
	$p$	$=$	$\frac{n R T}{V}$	$p (T, V, N)$
	$d F$	$=$	$- n R (+ \frac{5}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) d T - n R T \frac{d V}{V}$	$d F (T, V), d N = 0$
$(01)$	$d F$	$=$	$- n R T {(+ \frac{5}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) \frac{d T}{T} + \frac{d V}{V}}$	$d F (T, V), d N = 0$
$(02)$	${(\frac{\partial F}{\partial T})}_{V, N}$	$=$	$- n R (+ \frac{5}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) = - S$	$\partial_{T} F (T, V, N) = - S, S (T, V, N)$
$(03)$	${(\frac{\partial F}{\partial V})}_{T, N}$	$=$	$- \frac{n R T}{V} = - p$	$\partial_{V} F (T, V, N) = - p, p (T, V, N)$
	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial F}{\partial T}$	$=$	$- \frac{n R}{V} = - \frac{p}{T}$	$\partial_{V} \partial_{T} F (T, V, N), p (T, V, N)$
	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial F}{\partial V}$	$=$	$- \frac{n R}{V} = - \frac{p}{T}$	$\partial_{T} \partial_{V} F (T, V, N), p (T, V, N)$
$(04)$	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial F}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial F}{\partial V}$	$\partial_{V} \partial_{T} F (T, V, N), \partial_{T} \partial_{V} F (T, V, N)$

B Freie Enthalpie

	$d G$	$=$	$- S d T + V d p$	$d G (T, p), d N = 0; (T, p, N) : S, V$
	$d G$	$=$	$- [S - V \frac{\partial S}{\partial V}] d T + (0 - V \frac{\partial p}{\partial V}) d V$	$d G (T, V), d N = 0; (T, V, N) : S, p$
	$S$	$=$	$+ n R \ln {(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} + n R \ln (\frac{V}{V_{0}}) + \frac{5}{2} n R$	$S (T, V, N)$
	$- V \frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$- \frac{V}{V_{0}} \frac{\partial}{\partial (V / V_{0})} [\frac{3}{2} n R \ln (\frac{T}{T_{0}}) + n R \ln (\frac{V}{V_{0}}) + \frac{5}{2} n R]$	$\partial_{V} S (T, V, N)$
$(01)$	$- V \frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$- n R$	$\partial_{V} S (T, V, N)$
	$p$	$=$	$\frac{n R T}{V}$	$p (T, V, N)$
	$- V \frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$- V (- \frac{n R T}{V^{2}})$	$\partial_{V} p (T, V, N)$
$(02)$	$- V \frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$+ \frac{n R T}{V} = + p$	$\partial_{V} p (T, V, N), p (T, V, N)$
$(03)$	$d G$	$=$	$- (S - n R) d T - p d V$	$d G (T, V), d N = 0; (T, V, N) : S, p$
$(04)$	$d G$	$=$	$d F + n R d T$	$d G (F, T)$
$(05)$	$d G$	$=$	$- n R (+ \frac{3}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) d T - n R T \frac{d V}{V}$	$d G (T, V), d N = 0$
$(06)$	$d G$	$=$	$- n R T {(+ \frac{3}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) \frac{d T}{T} + \frac{d V}{V}}$	$d G (T, V), d N = 0$
$(07)$	${(\frac{\partial G}{\partial T})}_{V, N}$	$=$	$- n R (+ \frac{3}{2} + \ln [{(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} (\frac{V}{V_{0}})]) = - (S - n R)$	$\partial_{T} G (T, V, N) \neq - S, S (T, V, N)$
$(08)$	${(\frac{\partial G}{\partial V})}_{T, N}$	$=$	$- \frac{n R T}{V} = - p$	$\partial_{V} G (T, V, N), p (T, V, N)$
	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial G}{\partial T}$	$=$	$- \frac{n R}{V} = - \frac{p}{T}$	$\partial_{V} \partial_{T} G (T, V, N), p (T, V, N)$
	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial G}{\partial V}$	$=$	$- \frac{n R}{V} = - \frac{p}{T}$	$\partial_{T} \partial_{V} G (T, V, N), p (T, V, N)$
$(09)$	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial G}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial G}{\partial V}$	$\partial_{V} \partial_{T} G (T, V, N), \partial_{T} \partial_{V} G (T, V, N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F (T, V, N)$ zur freien Enthalpie $G (T, p, N)$ wird $(V \to p)$ ersetzt. Wir berechnen $(S - V \partial S / \partial V)$ und $(p - V \partial p / \partial V)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $μ N = 0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $d G$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?

C Innere Energie

	$d U$	$=$	$T d S - p d V$	$d U (S, V), T (S, V, N), p (S, V, N), d N = 0$
	$d U$	$=$	$- (0 - T \frac{\partial S}{\partial T}) d T - [p - T \frac{\partial p}{\partial T}] d V$	$d U (T, V), S (T, V, N), p (T, V, N), d N = 0$
	$S$	$=$	$+ n R \ln {(\frac{T}{T_{0}})}^{3 / 2} + n R \ln (\frac{V}{V_{0}})$	$S (T, V, N)$
	$- T \frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$- \frac{T}{T_{0}} \frac{\partial}{\partial (T / T_{0})} [\frac{3}{2} n R \ln (\frac{T}{T_{0}}) + n R \ln (\frac{V}{V_{0}})]$	$\partial_{T} S (T, V, N)$
$(01)$	$- T \frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$- \frac{3}{2} n R$	$\partial_{T} S (T, V, N)$
	$p$	$=$	$\frac{n R T}{V}$	$p (T, V, N)$
	$- T \frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$- T (\frac{n R}{V})$	$\partial_{T} p (T, V, N)$
$(02)$	$- T \frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$- \frac{n R T}{V} = - p$	$\partial_{T} p (T, V, N), p (T, V, N)$
$(03)$	$d U$	$=$	$\frac{3}{2} n R d T \equiv (S_{0} - n R) d T$	$d U (T)$
$(04)$	${(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V, N}$	$=$	$\frac{3}{2} n R \equiv (S_{0} - n R)$	$\partial_{T} U (T, V, N)$
$(05)$	${(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T, N}$	$=$	$0$	$\partial_{V} U (T, V, N) \neq - p$
$(06)$	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial U}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial U}{\partial V}$	$\partial_{V} \partial_{T} U (S, p, N), \partial_{T} \partial_{V} U (S, p, N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F (T, V, N)$ zur inneren Energie $U (S, V, N)$ wird $(T \to S)$ ersetzt. Wir berechnen $(S - T \partial S / \partial T)$ und $(p - T \partial p / \partial T)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $μ N = 0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $d U$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?

D Enthalpie

	$d H$	$=$	$T d S + V d p$	$d H (S, p), (S, p, N) : T, V; d N = 0$
	$d H$	$=$	$- (0 - T \frac{\partial S}{\partial T} - V \frac{\partial S}{\partial V}) d T - (0 - T \frac{\partial p}{\partial T} - V \frac{\partial p}{\partial V}) d V$	$d H (T, V), (T, V, N) : S, p; d N = 0$
$d U : (C .01)$	$- T \frac{\partial S}{\partial T}$	$=$	$- \frac{3}{2} n R$	$\partial_{T} S (T, V, N)$
$d U : (C .02)$	$- T \frac{\partial p}{\partial T}$	$=$	$- \frac{n R T}{V} = - p$	$\partial_{T} p (T, V, N), p (T, V, N)$
$d G : (B .01)$	$- V \frac{\partial S}{\partial V}$	$=$	$- n R$	$\partial_{V} S (T, V, N)$
$d G : (B .02)$	$- V \frac{\partial p}{\partial V}$	$=$	$+ \frac{n R T}{V} = + p$	$\partial_{V} p (T, V, N), p (T, V, N)$
	$d H$	$=$	$- (- \frac{5}{2} n R) d T - (- p + p) d V$	$d H (T)$
$(01)$	$d H$	$=$	$+ \frac{5}{2} n R d T \equiv S_{0} d T$	$d H (T)$
$(02)$	${(\frac{\partial H}{\partial T})}_{V, N}$	$=$	$\frac{5}{2} n R \equiv S_{0}$	$\partial_{T} H (T, V, N)$
$(03)$	${(\frac{\partial H}{\partial V})}_{T, N}$	$=$	$0$	$\partial_{V} H (T, V, N)$
$(04)$	$\frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial H}{\partial T}$	$=$	$\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial H}{\partial V}$	$\partial_{V} \partial_{T} H (S, p, N), \partial_{T} \partial_{V} H (S, p, N)$

Übung a

Beim Übergang von der freien Energie $F (T, V, N)$ zur Enthalpie $H (S, p, N)$ wird $(V \to p)$ und $(T \to S)$ ersetzt. Wir berechnen $(S - T \partial S / \partial T - V \partial S / \partial V)$ und $(p - T \partial p / \partial T - V \partial p / \partial V)$ für ein ideales Gas im (T,V,N)-Koordinatensystem und nehmen dabei $μ N = 0$ an. Sind beide Ausdrücke zueinander proportional? Welche Ausdrücke sind zueinander proportional und was bedeutet das für $d H$ eines idealen Gases in den unabhängigen Variablen (T,V,N)?