PCRT/I/c89f

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14 Molare innere Energie

Die molaren Zustandsfunktionen ergeben sich direkt aus den Fundamentalgleichungen, wenn wir die Zustandsfunktionen, die Entropie und das Volumen als Produkte der Stoffmenge mit der molaren Grössen ausdrücken.

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$dU_{N,S,V}-\mu \,dN-T\,dS-p\,d(-V)$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$dU_{N,S,V}-\mu \,dN-T\,dS+p\,dV$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$d(N\,u_{s,v})-\mu \,d(N\,{\it {1}})-T\,d(N\,s)+p\,d(N\,v)$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$u_{s,v}\,dN+N\,du_{s,v}-\mu \,dN-\mu \,d{\it {1}}-T\,s\,dN-N\,T\,ds+p\,v\,dN+N\,p\,dv$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$u_{s,v}\,dN+N\,du_{s,v}-\mu \,dN-T\,s\,dN-N\,T\,ds+p\,v\,dN+N\,p\,dv$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$N(du_{s,v}-T\,ds+p\,dv)+dN(u_{s,v}-\mu -T\,s+p\,v)$	$=$	$0$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$N{\big (}du_{s,v}-T\,ds-p\,d(-v){\big )}+dN{\big (}u_{s,v}-\mu -T\,s-p\,(-v){\big )}$	$=$	$0$

Da die Stoffmenge und die Änderung der Stoffmenge unabhängig voneinander verändert werden können, müssen beide Klammerausdrücke Null sein, und es ergibt sich die molare innere Energie und deren Änderung zu

$(01)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$du_{s,v}=+\,T\,ds-p\,dv$	$\qquad \qquad$	$u_{s,v}=+\,\mu +T\,s-p\,v$	$\qquad \qquad$	$g_{s,v}=+\,\mu$
$(01)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$du_{s,v}=+\,T\,ds+p\,d(-v)$	$\qquad \qquad$	$u_{s,v}=+\,\mu \,{\it {1}}+T\,s+p\,(-v)$	$\qquad \qquad$	$g_{s,v}=+\,\mu \,{\it {1}}$

Entsprechend unserer Vereinbarung, daß alle unabhängigen Variablen bei Zustandsfunktionen, nicht bei Zustandsvariablen, mit angegeben werden, und die unabhängigen Variablen $(N,S,V)$ in diesem Fall durch $U_{N,S,V}$ bzw. $u_{s,v}$ bestimmt werden, schreiben wir in Gl.(01) $g_{s,v}$, und nicht $g$ oder $g_{T,p}$.