PCRT/I/d05d

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03 Differential Innere Energie : Teilchenoffenes System

Beim teilchenoffenen System kommt noch die Änderung der ( inneren ) Energie $dU$ durch Teilchenzustrom $+\,dN=+\,d\Xi /\mu >0$ bei gleichem inneren und äusserem chemischen Potential ( d.h. bei gleicher innerer und äusserer Teilchenenergie ) $\mu =\mu _{S}=\mu _{U}$ hinzu ( $S$ für System, entspricht der Volumenphase $\Phi$; $U$ für die Umgebung des Systems).

$(01)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$dU(N,S,V)$	$=$	$+$	$d\Xi$	$+$	$dQ$	$+$	$dW$	${\displaystyle }$
$(02)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$dU(N,S,V)$	$=$	$+$	$\mu \,dN$	$+$	$T\,dS$	$+$	$p\,d(-V)$	${\displaystyle }$

und wieder alternativ im Sinne der alphabetischen Nähe der Energiefunktionen E, H, F, G.

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$dE(N,S,V)$	$=$	$+$	$d\Xi$	$+$	$dQ$	$+$	$dW$	${\displaystyle }$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$dE(N,S,V)$	$=$	$+$	$\mu \,dN$	$+$	$T\,dS$	$+$	$p\,d(-V)$	${\displaystyle }$

Im Folgenden steht $\oint _{1,2,3}$ für einen Kreisprozess / Cycle in drei unabhängigen Variablen. Die drei Variablen können die folgenden Kombinationen $(1,2,3)$ annehmen: $(N,S,V)$, $(N,S,p)$, $(\mu ,S,V)$, $(\mu ,S,p)$, $(N,T,V)$, $(\mu ,T,V)$, $(N,T,p)$. Eine von der Groesse des Systems abhängige Variable muss immer dabei sein. Darüber hinaus nicht vergessen: Eine homogene Phase aus einem Stoff hat drei (nicht zwei) Freiheitsgrade. Als Beispiel nehmen wir einmal die Temperatur $T$, den Druck $p$ und die Teilchenanzahl $N$ als die drei unabhängigen Variablen. Die Entropie $S$, das Volumen $V$ und das chemische Potential $\mu$ sind für dieses Beispiel Funktionen $S(N,T,p)$, $V(N,T,p)$, $\mu (N,T,p)$ der drei unabhängigen Variablen Temperatur $T$, Druck $p$ und Teilchenanzahl $N$. Alle drei unabhängigen Variablen verändern sich während des Kreisprozesses. Keine der drei unabhängigen Variablen bleibt während des Kreisprozesses konstant. Mit diesen Annahmen addieren sich weder die Zu- und Abflüsse der Wärme $+\,dQ$, der Arbeit $+\,dW$, noch der chemischen Energie $+\,d\Xi$ am Ende eines Kreisprozesses zu Null. Auch die Zu- und Abflüsse der Summen aus Wärme und Arbeit $+\,dQ+dW$, Wärme und chemischer Energie $+\,dQ+d\Xi$, Arbeit und chemischer Energie $+\,dW+d\Xi$ addieren sich am Ende des Kreisprozesses nicht zu Null.

$(03)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$\oint _{1,2,3}+\,d\Xi \neq 0$	$\qquad \oint _{1,2,3}+\,dQ\neq 0,$	$\qquad \oint _{1,2,3}+\,dW\neq 0,$
$(04)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$\oint _{1,2,3}d(+\,\Xi +Q)\neq 0,$	$\qquad \oint _{1,2,3}d(+\,\Xi +W)\neq 0$	$\qquad \oint _{1,2,3}d(+\,Q+W)\neq 0,$

Nur die Zu- und Abflüsse der Summe aus Wärme und Arbeit und chemischer Energie $+\,dQ+dW+d\Xi$ addieren sich am Ende eines Kreisprozesses in drei unabhängigen (nicht konstanten) Variablen zu Null. Die Summe aus Zu- und Abfluss von Wärme und Arbeit und chemischer Energie ist eine Erhaltungsgrösse, und sie ist genauso gross, wie die Änderung der (inneren) Energie.

$(05)\qquad \qquad \qquad \qquad$

$\oint _{1,2,3}d(+\,\Xi +Q+W)=\oint _{1,2,3}dU(N,S,V)=0,$