PCRT/I/e29e

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02 Differential Innere Energie : Teilchengeschlossenes System

Die (innere) Energie eines (teilchen)geschlossenen Systems $U=E$ ändert sich dadurch, daß das System mit seiner Umgebung Wärme $+\,dQ$ bzw. Entropieenergie $+\,T\,dS=+\,dQ$ und Arbeit $dW$ bzw. z.B. Volumenenergie $-\,p\,dV=+\,dW$ austauscht. Die innere Energie nimmt dabei zu, wenn bei einer bestimmten Innen- und Aussentemperatur $T=T_{S}=T_{U}$ ( $S$ für System, $U$ für Umgebung des Systems ) Entropie $+\,dS=+\,dQ/T>0$ hinzugefügt wird. Die innere Energie eines teilchengeschlossenen Systems nimmt ebenfalls zu, wenn das System bei einem bestimmten Innen- und Aussendruck $p=p_{S}=p_{U}$ sein Volumen verkleinert $-\,dV=+\,dW/p>0$.

$(01)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$(dU_{S,V})_{N}$	$=$	$+$	$dQ$	$+$	$dW$	$\qquad$	$\qquad$
$(02)\qquad \qquad \qquad \qquad$	$(dU_{S,V})_{N}$	$=$	$+$	$T\,dS$	$+$	$p\,d(-V)$	$\qquad (dU_{S,V})_{N}=dU(N={\mbox{const}};S,V)$	$\qquad U=U(N;S,V)$

Im Sinne der alphabetischen Nähe e, h, f, g und der nachfolgend eingeführten Energiefunktionen ( enthalpie, Wärme- und Chemische Energie-Funktion bei konstantem Druck, Zu- oder Abfluss von Arbeit ändert die Enthalpie des Systems nicht. ) $H$, ( free energy, Elektrische-Magnetische-Mechanische Arbeits- und Chemische Energie-Funktion bei konstanter Temperatur, Zu- oder Abfluss von Wärme ändert die Freie Energie des Systems nicht. ) $F$, ( gibbs free energy / free enthalpie / fuel, Chemische Energie-Funktion / Treibstoff-Funktion bei konstantem Druck und bei konstanter Temperatur, Zu- oder Abfluss von Wärme und / oder Arbeit ändert die Freie Enthalpie nicht. ) $G$, können wir die innere Energie auch nur als Energie $E$ bezeichnen und erhalten so:

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$(dE_{S,V})_{N}$	$=$	$+$	$dQ$	$+$	$dW$	$\qquad$	$\qquad$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$(dE_{S,V})_{N}$	$=$	$+$	$T\,dS$	$+$	$p\,d(-V)$	$\qquad (dE_{S,V})_{N}=dE(N={\mbox{const}};S,V)$	$\qquad E=E(N;S,V)$

Es ist wichtig für uns zu verstehen, daß die Energie $E(N,S,V)$ des Bilanzraums $\Phi$ ( $\Phi$ für Volumenphase / Bulk Phase, nicht zu verwechseln mit dem Volumen $V$ ) von der Teilchenanzahl $N$ abhängt. Denn je grösser der Bilanzraum, desto mehr Teilchen mit Energie $\mu$ ( $\mu$ für Molekül / molekulare Chemische Energie ) im Bilanzraum und desto grösser die Energie des Bilanzraums. Und es ist ebenfalls für uns wichtig zu verstehen, daß der Zu- oder der Abfluss von Wärme $dQ$ und Arbeit $dW$ über die Grenzen des Bilanzraums $\Sigma$ ( $\Sigma$ für Oberfläche/Surface ) in oder aus dem Bilanzraum ohne den Zu- oder Abfluss von Teilchen $dN$ und damit ohne den Zu- oder Abfluss von chemischer Energie $d\Xi =\mu \,dN$ ( Grosses $\Xi$ in Analogie zum kleinen $\xi$, dem Symbol der Reaktionslaufzahl ) stattfindet. Die Änderung der Energie $dE(N;S,V)$ des Bilanzraums ist deshalb nicht von der Änderung der Teilchenanzahl $dN$ abhängig.

Im Folgenden steht $\oint _{3;1,2}$ für einen Kreisprozess / Cycle in zwei unabhängigen, nicht konstanten Variablen $1,2$. Die Grösse $3$ ist konstant, also nicht variabel, eine konstante Grösse, keine variable Grösse, keine Variable, sondern in Fall des geschlossenen Systems eine Konstante. Die zwei Variablen $1,2$ und die eine Konstante $3$ können die folgenden Kombinationen $(3;1,2)$ annehmen: $(N;S,V)$, $(N;S,p)$, $(N;T,V)$, $(N;T,p)$. Als Beispiel nehmen wir einmal die Entropie $S$ und das Volumen $V$ als die zwei unabhängigen, nicht konstanten Variablen. Die Teilchenzahl $N$ halten wir konstant. Das chemische Potential $\mu$, die Temperatur $T$ und der Druck $p$ sind für dieses Beispiel Funktionen $\mu (N;S,V)$, $T(N;S,V)$, $p(N;S,V)$ der konstanten Teilchenanzahl $N$ und der zwei unabhängigen Variablen Entropie $S$ und Volumen $V$. Tatsächlich sind sie nur Funktionen der auf die Teilchenanzahl bezogenen Grössen molare Entropie und molares Volumen. Für dieses Beispiel addieren sich weder die Zu- und Abflüsse der Wärme noch der Arbeit am Ende eines Kreisprozesses zu Null.

$(03)\qquad \qquad \qquad \qquad$

$\oint _{3;1,2}+\,dQ\neq 0,$

$\qquad \oint _{3;1,2}+\,dW\neq 0,$

Nur die Zu- und Abflüsse der Summe aus Wärme und Arbeit addieren sich am Ende eines Kreisprozesses in (einer Konstanten und) zwei unabhängigen (nicht konstanten) Variablen zu Null. Die Summe aus Zu- und Abflüssen von Wärme und Arbeit ist für konstante Teilchenzahl eine Erhaltungsgrösse, und sie ist genauso gross, wie die Änderung der (inneren) Energie bei konstanter Teilchenzahl.

$(04)\qquad \qquad \qquad \qquad$

$\oint _{3;1,2}d(+\,Q+W)=\oint _{3;1,2}(dU_{S,V})_{N}=0,$