PSA Mathematik/ E1

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Inhaltsverzeichnis

Grundrechenarten[Bearbeiten]

Definitionen der Grundrechenarten[Bearbeiten]

Die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +                         
(addieren, erhöhen) Summand Summand Summe
Subtraktion minus                       
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend Subtrahend Differenz
Multiplikation mal   (×)                       
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor Produkt
Division durch :  (÷, /)                       
(dividieren, teilen) Dividend Divisor Quotient

Das Symbol = ist ein Gleichheitszeichen. Es steht für die Gleichheit zweier Ausdrücke. Es wird in einem eigenen Abschnitt genauer erklärt.

Das Symbol × für die Multiplikation wird kaum benutzt, weil es leicht mit dem Symbol oder dem Buchstaben x für die Variable x verwechselt werden kann. Wozu in Rechnungen Buchstaben verwendet werden, werden wir später lernen. Für die Multiplikation wird in diesem Buch das Symbol · benutzt.
Das ist ein Punkt ungefähr auf halber Höhe einer Ziffer notiert.

Für die Division benutzt man auch Punkte : Die anderen Symbole für die Division / und ÷ werden seltener benutzt.
Typisch wird allerdings / bei den Einheiten verwendet, beispielsweise in der Geschwindigkeit (km/h). In diesem Beispiel sagt man "Kilometer pro Stunde". Mit dem Wort "pro" ist Division gemeint.

Weil für Multiplikation und Division Punkte als Symbole verwendet werden, nennt man die beiden Rechenarten zusammen Punktrechnungen.

Die Symbole für die Addition + und die Subtraktion – verwenden dagegen beide Striche. Daher nennt man diese beiden Rechenarten zusammen Strichrechnungen.

Bei Addition und Multiplikation spielt jeweils die Reihenfolge keine Rolle:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Addition.
Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Multiplikation.

Bei Subtraktion und Division ist die Reihenfolge wichtig. Das Ergebnis ist nicht das Gleiche, wenn die Reihenfolge anders ist:

aber
aber

Weitere Ausdrücke für die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Im Alltag gibt es allerdings einige Worte, die irgendeine Rechenart bedeuten können:

Schneiden, Kürzen (zum Beispiel Gehalt) und so weiter könnte minus bedeuten
Wachsen, zwei Sachen zusammen, insgesamt könnte plus bedeuten
in einige gleiche Teilen schneiden könnte doch geteilt durch bedeuten

... und so weiter ...

Das Gleichheitszeichen[Bearbeiten]

Ein Symbol, das bisher nicht erklärt wurde, ist das Gleichheitszeichen "=". Es wird benutzt, um zu zeigen, dass der Ausdruck links des Zeichens das Gleiche ist, wie der Ausdruck rechts des Zeichens. Dies betrifft sowohl den Wert als auch die Einheit.

✔(richtig)

✔(richtig)

✘(falsch: falscher Wert)

✘(falsch: falsche Einheit)

✘(falsch: rechts fehlt die Einheit m)

Wie man mit Einheiten arbeitet, werden wir genauer im entsprechenden Kapitel lernen. Da werden wir auch erfahren, dass

doch richtig ist.

Es gibt allerdings Gleichungen zwischen mehr als zwei Ausdrucken ("Gleichungsketten"), wie wir vorher gesehen haben:

Bei Gleichungsketten sind alle Ausdrücke gleich, daher kann man in diesem Beispiel auch schreiben:

oder

Es gilt daher allgemein:

  • wenn dann auch
  • wenn dann auch

Gleichungsketten kann man allerdings in der Regel nicht bei sogenannten Äquivalenzumformungen benutzen, wie wir später lernen werden.

Die Gleichung zwischen zwei Ausdrucke spielt allerdings eine wichtige Rolle beim Einsetzen, ein Verfahren, das wir im entsprechenden Kapitel lernen werden.

Negative Zahlen[Bearbeiten]

Das Minuszeichen benutzt man nicht nur bei der Subtraktion, sondern auch um sogenannte negative Zahlen zu bezeichnen. Was die negativen Zahlen sind, kann man ziemlich einfach verstehen, wenn man sich vorstellt, in einem Aufzug zu sein. Betrachten wir die folgende Bilderfolge:

AufzugA1.jpg
AufzugA2.jpg
AufzugA3.jpg
AufzugA4.jpg
AufzugA5.jpg
AufzugA6.jpg

Im ersten Bild fängt man vom Erdgeschoss an, dieses kann man mit der Zahl 0 bezeichnen. Dann fährt man mit dem Aufzug 2 Stockwerke nach oben. Die Richtung nach oben kann man mit Plus (+) bezeichnen. Das ist im Bild zu sehen. 0+2=2. Im dritten Bild fährt man aus dem 2. Stock 3 Stockwerke weiter nach oben (+ Richtung). 2+3=5. Im vierten Bild fährt man 8 Stockwerke nach unten. Nach unten kann man mit Minus (−) bezeichnen, da die Stockwerke weniger werden. Wenn man aber 5−8 rechnet, kann das Ergebnis nicht 3 sein. 3 ist oberhalb des Erdgeschosses, wir sind aber jetzt in dritten Untergeschoss. Um die Stockwerke unter dem Erdgeschoss zu bezeichnen, braucht man etwas Neues: das Minuszeichen vor dem Stockwerk! Wir sind also im Stock −3, also 3 Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses.

Im fünften Bild fährt man ein Stockwerk weiter nach unten. Wir waren im Stock −3 und nach unten bedeutet minus. Am Ende sind wir 4 Stockwerke unter der Erde, also im Stock −4: −3−1=−4. Wenn also beide Zahlen negativ sind, addiert man ihren sogenannten Betrag (3 und 1) und schreibt vor dem Ergebnis wieder ein Minus. Im sechsten Bild fährt man aus dem 4 Stock unter der Erde (−4) 5 Stockwerke nach oben (nach oben bedeutet Plus machen) und befindet sich am Ende einen Stock oberhalb des Erdgeschosses (bei +1): −4+5=1. Wenn man zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat, subtrahiert man die Beträge (größerer Betrag minus kleineren Betrag, hier: 5−4=1) und schreibt man vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größeren Betrags (also hier von 5, da sie mehr als 4 ist). Im vierten Bild haben wir 5−8 gerechnet. Da haben wir wieder die Beträge subtrahiert (größerer minus kleineren: 8−5=3) und im Ergebnis haben wir wieder das Vorzeichen des größeren Betrags geschrieben (also das Minus, das vor 8 steht): 5−8 = −3.

Zusammengefasst: Wenn man zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen hat (z.B. 4+7 oder −3−5), dann addiert man die Beträge (4+7=11 und 3+5=8) und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen: (4+7=11 und −3−5 = −8). Wenn die eine Zahl positiv (+) ist und die andere negativ(−), subtrahiert man die Beträge und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größten Betrags: 4−7=−3 15−9=6

Negative Zahlen werden immer mit einem Minus davor geschrieben, z.B. −6 oder −7,453 oder . Positive Zahlen werden mit einem Plus davor geschrieben, z.B. +6 oder +7,453 oder . Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen auslassen. Zum Beispiel ist 6 die positive Zahl +6, mit 7,453 wird die positive Zahl +7,453 gemeint und mit einfach .

Wenn allerdings das Plus oder das Minus nach der Zahl geschrieben wird, bedeutet es nicht, dass es eine positive oder negative Zahl ist. In diesem Fall erwartet man, dass noch eine Zahl folgen soll. 3− ist einfach unvollständig und auf gar keinen Fall die Zahl Minus drei ...

Weiteres über Rechnungen mit negativen Zahlen werden wir im Teilkapitel über die Plusminusregel lernen.

Das Komma bei Dezimalzahlen[Bearbeiten]

Noch ein wichtiger Punkt bei der Schreibweise muss man noch kurz ansprechen. Und es geht hier genau um den Punkt.

Wenn man mit dem Taschenrechner die Division 2 durch 7 macht, kommt etwas wie folgendes vor:

Das ist eine Zahl, die kleiner als eins ist. Auf Deutsch allerdings schreibt man:

Falls der Unterschied nicht klar ist:

im ersten Fall steht zwischen 0 und dem Rest der Zahl ein Punkt:

im zweiten Fall ein Komma:

Man sagt auf Deutsch "Null Komma zwei acht fünf sieben...". Dieser Unterschied muss einem bewusst sein!

Auf Englisch und bei den meisten Taschenrechnern schreibt man

oder sogar

.

Auf Deutsch und in ein paar anderen Sprachen werden die beiden Teile umgekehrt durch ein Komma getrennt:

oder sogar

.

Auf diese Tatsache sollte man aufpassen!

Insbesondere wenn Menschen mit unterschiedlichen Kulturen, Sprachen oder Notationen Daten miteinander austauschen, kann dieser Unterschied für Verwirrung sorgen. Beim internationalen Datenaustausch und bei Programmiersprachen wird daher praktisch durchgehend der Punkt und nicht das Komma als Trennzeichen verwendet, in diesem Buch (wie allgemein auf Deutsch) allerdings das Komma.

Addition[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +     2        +      7      =   9
(addieren, erhöhen) Summand + Summand = Summe

Beispiele: a) 35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?       b) 56333,76 + 0,089 + 33727,727 + 9=?

Lösungen
Aufgabe a
2 2 1 2 1 2   1 0
0 0 0 0 3 5 , 1
0 5 9 3 6 7 , 0 0
0 9 5 3 8 2 , 8 9
5 6 7 3 3 2 , 7 6
 7 2 2 1 1 8 , 3 5
     
Aufgabe b
1 1 0 2 1   1 1
5 6 3 3 3 , 7 6 0
0 0 0 0 0 , 0 8 9
3 3 7 2 7 , 7 2 7
0 0 0 0 9 , 0 0 0
 9 0 0 7 0 , 5 7 6

Man schreibt die Zahlen, die man addieren will, untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Um die Aufgabe übersichtlicher zu machen, schreibt man links und rechts der Zahlen Nullen(0), wenn Ziffer (im Vergleich zu den anderen Zahlen) „fehlen“.

Man addiert die Zahlen von jeder Spalte und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links). Die Summe der Ziffer der Spalte schreibt man unterhalb dieser Spalte.

Wenn die Summe der Ziffer in der Spalte mehr als 9 ist, dann schreibt man unterhalb der Spalte nur die letzte Ziffer und die restlichen oberhalb der nächsten Spalte links. Z.B. bei der Aufgabe a ist die Summe der Ziffer der Spalte rechts (mit der man anfängt) 0+0+9+6=15. Man schreibt darunter 5 (die letzte Ziffer) und 1 (15 ohne 5) oberhalb der nächsten Spalte links usw. Hier ist Aufgabe a Schritt zum Schritt gezeigt:

Aufgabe a Schritt zum Schritt gelöst
35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?
Summe01.jpg Summe02.jpg Summe03.jpg
Summe04.jpg Summe05.jpg Summe06.jpg
Summe07.jpg Summe08.jpg Summe09.jpg
Summe10.jpg Summe11.jpg Summe12.jpg
Summe13.jpg Summe14.jpg Summe15.jpg
Summe16.jpg Summe17.jpg Summe18.jpg
Den ganzen Vorgang kann man
auch hier als Animation sehen:
Summe.gif


Subtraktion[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Subtraktion minus     65      −      22      =   43
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend − Subtrahend = Differenz

Beispiele: a) 9,2-6,7       b) 9,5-6,4       c) 4752,8–203,007

Man schreibt die Zahlen untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Die Zahl oben muss genau so viele Ziffer vor und nach dem Komma haben, wie die Zahl unten. Daher schreibt man rechts der Zahl oben Nullen(0), wenn Ziffer in den Nachkommastellen (im Vergleich zur Zahl unten) „fehlen“.

Man subtrahiert die Zahlen von jeder Spalte (oben minus unten) und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links).

Wenn die Ziffer oben kleiner als die Ziffer unten ist, dann addiert man zu dieser Ziffer 10 und subtrahiert von der nächsten Ziffer oben links eins. In der nächsten Spalte links benutzt man dann oben die reduzierte Ziffer. Beispielsweise:

Aufgaben a und b: 9,2−6,7=?     9,5-6,4=?
SubtrA1.jpg SubtrA2.jpg SubtrA3.jpg
SubtrA4.jpg SubtrA5.jpg SubtrA6.jpg
Das ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrA.gif

Bei größeren Zahlen macht man den ganzen Vorgang bei jedem Schritt.

Aufgabe c: 4752,8–203,007=?
SubtrB1.jpg SubtrB2.jpg SubtrB3.jpg
SubtrB4.jpg SubtrB5.jpg SubtrB6.jpg


Das Ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrB.gif
Noch ein paar gelöste Beispiele:
Bsp. A
453,803−452,944=0,857
   Bsp. B
504,6−3,6003=500,997
   
Bsp. C
200−199,9998=0,0002
SubtrC1.jpg SubtrC2.jpg SubtrC3.jpg

Multiplikation[Bearbeiten]

Definition der Multiplikation[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Multiplikation mal   (×)      9      ⋅      13      =   117
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor = Produkt

Zunächst einmal erklären wir die Bedeutung der Multiplikation.

bedeutet, dass man mal die zueinander addiert (plus macht). Also . Allerdings spielt bei der Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle. . Letzteres () bedeutet drei mal die 5 zueinander addieren: .

Mit Hilfe der Addition kann man ein Multiplikationstabelle erstellen, sie wird das kleine Einmaleins genannt.

das kleine Einmaleins

Multiplikation mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Einmaleinstabelle [1] kann man Multiplikationen zwischen Zahlen mit einer Ziffer ganz schnell berechnen:

2 mal 7 mit Hilfe der Einmaleinstabelle finden
Zeile "2" wählen
Spalte "7" wählen
Box wo sie sich
treffen wählen
Ergebnis: 14
  1. (die man allerdings schon auswendig lernen könnte)

Das Ganze auch als Animation:

MultiO.gif

Und noch ein paar Beispiele:

Die Reihenfolge Spielt...
keine Rolle! 5x3=3x5
Ebenfalls: 7x8...
... = 8x7!
noch ein Beispiel

Multiplikation von Zahlen mit mehreren Ziffern und Nachkommastellen[Bearbeiten]

   a)       b)       c)       d)       e)       f)       g)       h)

Beispiel a haben wir im Abschnitt über Definition schon beantwortet:

Bevor wir mit den restlichen Beispielen weitermachen, müssen wir zwei Sachen noch erklären.

  1. Bemerkung: Multiplizieren mit Klammern
    Wenn etwas in Mathematik in Klammern steht, ist es so gemeint, dass die Rechnung in den Klammern erst gemacht werden muss. Wenn wir berechnen wollen, rechnen wir erst berechnen, also was in den Klammern steht. . Dann führen wir die Multiplikation aus: . Hätten wir erst gerechnet und dann , wäre das Ergebnis falsch: .
    Das bedeutet dann, dass man die Zahl außerhalb der Klammern erst mit jedem Summand in den Klammern multiplizieren muss und dann diese Produkte addieren. ist nicht . Man muss erst die Zahl außerhalb der Klammern (3) erst mit jedem Summand in den Klammern (2 und 5) multiplizieren und dann diese Produkte (6 und 15) addieren: (also das richtige Ergebnis). Man schreibt:

    oder
  2. Bemerkung: Multiplizieren mit 10
    Wenn man eine Zahl mit 10 multipliziert, ist das Ergebnis diese Zahl mit einer Null auf ihren rechten Seite geschrieben. Das haben wir in der einmaleins-Tabelle gesehen: usw. Leicht denkt man dann, dass das Gleiche mit passiert. Tatsächlich ist gleich einer mit einer dahinter, also .


Im Beispiel b ist es möglich, als Produkt von und zu schreiben. Es steht tatsächlich in der einmaleins-Tabelle, dass ist, also

Daher

(wir haben gerade eben im Beispiel a gesehen, dass ist).

Wir wir in der zweiten Bemerkung (Multiplizieren mit 10) gerade eben gelernt haben, gilt für

Man kann also zusammenfassen:

, also .


Um Beispiel c zu lösen, können wir die erste Bemerkung (Multiplikation mit Klammern) benutzen:

ist

wie wir eben im Beispiel b gesehen haben.

wie man aus der Einmaleins-Tabelle ablesen kann. Somit ist

,

also

.


In der gleichen Weise und mit den gleichen Schritten kann man Beispiel d berechnen:

,

also

.


Aber auch Beispiel e ist dann nicht so schwer, man soll einfach eine Null zum Ergebnis von d dazu schreiben, wie wir in der Bemerkung über Multiplikation mit 10 gelernt haben:


Wenn jetzt mit multipliziert wird, wie im Beispiel f, dann werden die folgenden Schritte gemacht:

(Wir haben hier die Ergebnisse aus den Beispielen e und c benutzt)

ist

wie wir schon bei der Addition gelernt haben. Also:

Es gibt verschiedene Schreibweisen, die diesen Prozess beschreiben.


    oder     (ohne Null)

    und    

    oder    


Wenn man Kommas hat, lässt man die Kommas und die Nullen am Anfang aus und macht die Multiplikation. Im Beispiel g () haben wir insgesamt 8 Nachkommastellen (zwei bei und sechs bei , also 2+6=8 Stellen nach dem Komma insgesamt). Beim Ergebnis der Multiplikation ohne Kommas () fängt man dann mit der Ziffer rechts (hier ) an und zählt nach links so viele Stellen, wie die gesamten Nachkommastellen (hier 8 Stellen). Dort muss beim neuen Ergebnis das Komma stehen. hat aber nur vier Ziffer. Wenn die Zahl weniger Ziffer als die Nachkommastellen hat wie hier, schreibt man erst mehrere Nullen links der Zahl:

Komma 7 Stellen nach links stellen →

Daher:

Wenn man Nullen am Ende der Zahlen hat, dann lässt man diese Nullen aus. Man macht die Multiplikation und schreibt dann wieder die ausgelassenen Nullen dazu. Im Beispiel h () haben wir 4 Nullen (eine bei und drei bei ). Also zum Ergebnis schreibt man noch 4 Nullen dazu: . Also .


Das Folgende Beispiel zeigt die Vorgangsweise genauer und Schritt zum Schritt:

MultiA1.jpg MultiA2.jpg MultiA4.jpg
MultiA5.jpg MultiA6.jpg MultiA7.jpg
Das ganze kann man hier
auch als Animation sehen:
MultiA.gif


Und noch ein Beispiel, diesmal mit zwei Zahlen mit jeweils drei Ziffern:

MultiB1.jpg MultiB2.jpg MultiB3.jpg


Division[Bearbeiten]

Definition der Division[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Division durch :  (÷, /)     84      :      7      =   12
(dividieren, teilen) Dividend : Divisor = Quotient

Einfache Division mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle[Bearbeiten]

Mit diesem Vorgang kann man Divisionen durchführen, wenn der Divisor höchstens (also kleiner oder gleich) 10 ist und der Dividend höchsten das 10-fache des Divisors (also wenn der Divisor 4 ist, höchsten 40, wenn der Divisor 7 ist, höchstens 70 und so weiter.)

Zum Beispiel 17 : 5
Zeile des Divisors wählen
 
 
17 liegt zwischen 15 und 20
Beide Spalten wählen
 
Schauen, welche Zahlen
oben in den Spalten stehen
 
 
Von beiden Zahlen (3 und 4)
die kleinste wählen.
Das ist das Ergebnis
17 : 5 = 3
Aber 3 mal 5 ist
doch nicht 17
Es gibt einen Rest. Diesen
berechnen wir dann:
3 mal 5 = 15 und 17−15=2
also 17 : 5 = 3 mit Rest 2
Man schreibt:
17:5=3 R 2
Hier als Animation
1x1A.gif

Der Haupt(vor)gang[Bearbeiten]

Der Vorgang der Division, wenn der Dividend eine größere Zahl ist, kann durch vier Schritte beschrieben werden:

  1. ↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)
  2. ÷ was runter steht durch den Divisor dividieren (mit Hilfe der Einmaleinstabelle)
  3. × das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
  4. − dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren. So berechnet man den Rest der Division (Schritt 2)

So einen Vorgang nennt man in Mathematik (und nicht nur) Algorithmus. Die vier Schritte (↓ ÷ × –) werden wiederholt (so was nennt man Iteration). Wenn der Rest null ist und es kein Ziffer mehr am Dividend gibt, dann hört man auf. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass der Rest nie Null wird. Dieser Fall wird später erklärt.

Am besten versteht man den Vorgang durch ein Beispiel (um ihn zu lernen, muss man selbstverständlich üben...). Probieren wir 792:3 zu berechnen:

DivisionA01.jpg DivisionA02.jpg DivisionA03.jpg DivisionA04.jpg
Jetzt wird der Vorgang wiederholt!
DivisionA05.jpg DivisionA06.jpg DivisionA07.jpg DivisionA08.jpg
Jetzt wird der Vorgang noch mal wiederholt!
DivisionA09.jpg DivisionA10.jpg DivisionA11.jpg DivisionA12.jpg

Das ganze in einer Animation:

DivisionAL.gif

Was aber man in der Tat schreibt, sieht doch anders aus! Man schreibt nur gewisse Schritte, der Rest macht man im Kopf oder als Nebenrechnung am Rand. Hier die Schritte, wie sie tatsächlich geschrieben werden:

DivisionA13.jpg DivisionA14.jpg DivisionA15.jpg

und die entsprechende Animation:

DivisionAM.gif

Ein letztes Beispiel:

DivisionA16.jpg DivisionA17.jpg DivisionA18.jpg

und die entsprechende Animation:

DivisionAN.gif

In diesem Fall sagt man, dass 842 durch 5 gleich 168 mit Rest 2 ist. Man schreibt 842:5=168 R 2. Der Rest muss allerdings immer kleiner als der Divisor sein (auch in den Zwischenschritten), sonst hat etwas nicht richtig geklappt. Die Division kann man allerdings weiterführen, wie wir bald lernen werden.

Dividend mit Nullen am Ende[Bearbeiten]

Wenn der Dividend Nullen am Ende hat, kann man sich ein paar Schritte sparen. Schauen wir ein Beispiel:

DivNulA1.jpg DivNulA2.jpg DivNulA3.jpg
DivNulA4.jpg DivNulA5.jpg DivNulA6.jpg

Schauen wir jetzt, wie die richtige Regel lautet:

DivNulB1.jpg DivNulB2.jpg DivNulB3.jpg
DivNulB4.jpg DivNulB5.jpg DivNulB6.jpg

Man kann also die Division aufhören und die restlichen Nullen erst dann schreiben, wenn der Rest zum ersten Mal Null ist!

Wenn der Divisor auch Nullen am Ende hat, kann man vom beiden Divisor und Dividend so viele Nullen streichen, wie die Nullen des Divisors und erst dann die Division durchführen. Beispielsweise ist 7910000:400=79100:4 (in beiden Fällen ist das Ergebnis 19775). Warum das so ist, kann man erst verstehen, wenn man das Kürzen von Brüchen gelernt hat, daher lernen wir es hier zunächst einmal einfach so, als Regel...

Null in der Mitte des Ergebnisses[Bearbeiten]

Division Erklärung Ein Fehler, der oft vorkommt, ist die Nullen in der Mitte des Ergebnisses auszulassen.
Im ersten Bild sieht man den richtigen Vorgang.
 
Für jede Ziffer des Dividents, die runtergebracht wird,
muss ein Ziffer im Ergebnis geschrieben werden!

 
Das richtige Ergebnis ist daher 2008. Im zweiten Bild sieht man den falschen Vorgang.
Selbstverständlich ist 28 nicht gleich 2008 und daher ein falsches Ergebnis!

Null am Anfang des Ergebnisses[Bearbeiten]

DivNA.png Was ist aber, wenn die Null (oder die Nullen) ganz am Anfang des Ergebnisses stehen? In diesem Fall spielt es keine Rolle, ob die Null da steht oder nicht. 059 bedeutet genau die gleiche Zahl wie 59 (allerdings auch genau wie 59,000 und 00059, auf gar keinen Fall aber wie 590 oder 59000...).
 
Wenn man Nullen vor dem Anfang einer Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle schreibt, ändert sich die Zahl nicht.
 
47,03=00047,03=47,030000=0047,03000.
 
Das gilt allerdings nur für den Anfang der Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle. Wenn man Nullen irgendwo in der Mitte der Zahl schreibt, dann hat man nicht mehr die gleiche Zahl.
47,03 ≠ 407,03 ≠ 470,03 ≠ 47,003    Alle diese Zahlen sind nicht gleich!
Aus diesem Grund kann man am Anfang (und nur am Anfang) der Division mit den ersten zwei (oder drei und so weiter) Ziffern anfangen, wenn die erste kleiner als der Divisor ist. Dieser Vorgang wird im zweiten Bild dargestellt.

Dividend mit Komma (einfach)[Bearbeiten]

DivKENT.jpg Was ist, wenn der Divident schon Nachkommastellen hat? In diesem Fall wird die Division, wie wir sie bisher gelernt haben, mit einer Änderung durchgeführt:
 
Wenn zur nächsten Ziffer nach dem Komma gesprungen werden muss, dann muss man erst ein Komma im Ergebnis schreiben.
 
In unserem Fall ist es nicht wenn man die Ziffer 9 im Dividend erreicht. Das Komma muss geschrieben werden, erst bevor man die nächste Ziffer nach dem Komma (hier die Ziffer 2) runter bringen muss. Erst dann schreibt man das Komma und dann macht man die Rechnung (12:3) und dann schreibt man das Ergebnis dieser Rechnung (4) nach dem Komma. Es gibt kein anderes Komma in der Zahl (also auf gar keinen Fall irgendwo ein zweites Komma schreiben).
Eine Bemerkung noch: Den letzten Rest haben wird hier mit (R) in Klammern geschrieben. Den Begriff Rest benutzt man eigentlich bei ganzzahligen Divisionen (mit Zahlen ohne Nachkommastellen)[1]. 0 ist hier der Teilrest der letzten Teildivision (12:4=3 R 0). Wenn bei einer Division mit Nachkommastellen im Ergebnis Teilrest 0 hat, kann man mit der Division aufhören. Das ist allerdings nur selten der Fall, wie wir gleich lernen werden.
  1. Der genaue Begriff ist allerdings in diesem Fall Modulo

Divisor mit Komma (einfach)[Bearbeiten]

Was ist, wenn der Divisor Nachkommastellen hat, wie zum Beispiel in 236,2875:0,5? In diesem Fall wird das Komma sowohl im Divisor als auch im Dividenden so oft nach rechts verschoben, bis der Divisor keine (notwendige) Kommastelle mehr hat. In unserem Beispiel, wenn das Komma im Divisor (0,5) ein Mal nach rechts verschoben wird, bekommt man die Zahl 5, die keine Nachkommastellen hat. Das Komma wird dann auch im Dividenden (236,2875) ein Mal nach rechts verschoben (also der neue Dividend wird 2362,875 sein). Mit diesen neuen Zahlen kann man die Division ganz normal fortführen, wie im Bild am Rand. Der Prozess ist also:

DivKOR1.jpg
  • Komma in Divisor verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Komma genauso oft (hier einmal) im Divident verschieben:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Was ist, wenn der Dividend keine Nachkommastellen hat, beispielsweise 205:0,04?

In diesem Fall denkt man, dass ein Komma am Ende des Dividenden steht, und schreibt so viele Nullen wie notwendig nach dem Komma: 205=205,00 (allerdings gilt auch 205=205,00000 und so weiter). Dann wird der Vorgang wie vorher durchgeführt:

DivKOR2.jpg
  • Komma im Divisor verschieben:
  • Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Ein letztes Beispiel: 205:0,0004. Hier muss man das Komma sogar viermal verschieben:

DivKOR3.jpg
  • Komma im Divisor verschieben: \ →
  • Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (nicht periodisch)[Bearbeiten]

Was ist, wenn die Division nicht genau aufgeht. wie zum Beispiel in 935:4?
DivEKNP2.jpg In diesem Beispiel ist es klar, dass ein Rest geben wird. Die Division kann man aber doch weiter fortsetzen, wie wir bei Zahlen mit Nachkommastellen schon gelernt haben. In diesem Beispiel können wir 935 als Zahl mit Nachkommastellen schreiben (freilich alle Nullen), wie wir schon gelernt haben: 935=935,00... Dann führen wir die Division in der gewöhnlichen Weise durch (siehe Bild). Allerdings kann man in diesem Fall die Nullen im Dividenden gar nicht schreiben, wie im Bild links unten zu sehen ist. In diesem Fall werden Nullen weiter unten geschrieben, bis der Teilrest irgendwann Null wird. Vorsicht aber: Wenn der Dividend zu Ende ist und die erste Null dazu benutzt wird, muss man ein Komma im Ergebnis schreiben!
DivEKNP1.jpg   DivEKNP3.jpg Diesen Prozess (weiter Nullen schreiben) kann man auch benutzen, wenn der Dividend zwar schon Nachkommastellen hat, der Teilrest am Ende aber doch nicht Null ist. In diesem Fall schreibt man Nullen weiter, selbstverständlich ohne ein zweites Komma im Ergebnis zu schreiben!

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (periodisch)[Bearbeiten]

Bisher war es fast immer in den Beispielen so, dass der Teilrest am Ende Null war. Das war kein Zufall, die Beispiele wurden einfach so gewählt, damit sie verständlicher sind. In der Regel ist der Teilrest keine genaue Zahl. Probieren wir es mit dem folgenden Beispiel:

DivEKP1.jpg Wie wir schon gelernt haben, wenn man das Ende der Zahl erreicht und keine Ziffer mehr hat, kann man doch die Division weiterführen: erst eine Null im Ergebnis schreiben und dann eine Null jedes Mal dazuschreiben, bis irgendwann der Teilrest Null wird. In unserem Fall hier passiert so etwas aber nicht. Wie man sieht, wiederholen sich die Zahlen 2 und 7 immer wieder und, wie man hoffentlich versteht, das wird immer so bleiben. Wir haben hier diese Wiederholung mit verschiedenen Farben dargestellt. Die wiederholte Zifferreihenfolge nennt man Periode. Man sagt, dass das Ergebnis von 938 durch 11 gleich 85 Komma 27 periodisch ist. Man bezeichnet die Periode mit einem Strich über der Zifferreihenfolge (oder mit einem Punkt, wenn es nur eine Ziffer ist). Man schreibt also:
DivEKP2.jpg Man braucht die Division nicht weiterführen. Wann kann man aber genau damit aufhören? Wenn man schon mit Null hinzufügen angefangen hat (passiert hier bei der letzten Ziffer der Zahl 938) und der gleiche Teildividend vorkommt, dann kann man aufhören, wie im Bild hier

Kombinationen[Bearbeiten]

Hier finden wir ein paar weiterführende Beispiele zur Vertiefung der Kenntnissen.

DivEKP3.jpg

Probieren wir erst die Division 3706,1:0,00007. Wenn der Divisor ein Komma hat (wie hier 0,00007), dann muss man das Komma sowohl im Divisor also auch im Dividenden so oft nach rechts verstellen, bis der Divisor keine Nachkommastellen mehr hat. Falls der Dividend dann nicht genügende Nachkommastellen hat, werden sie mit Nullen nachgefüllt. Daher ist 3706,1:0,00007 gleich so viel wie 370610000:7

3706,1:0,00007=370610000:7

Letztere Division führen wir auch im Bild durch. Wir fangen dann mit dem Hauptvorgang (in verkürzter Darstellung) an. Da die erste Stelle des Dividenden (3) kleiner als der Divisor ist, kann man weitere Ziffer des Dividenden benutzen (also 37), weil Nullen am Anfang des Ergebnisses (und nur dort) keine Rolle spielen. Diese zwei Stellen wurden mit Hellblau markiert. Da, wo die rote Stelle und der rote rechts-Pfeil im Bild ist, kann man weitere Nullen einführen, nachdem erst ein Komma im Ergebnis geschrieben wird (roter nach-oben-Pfeil und Komma im Ergebnis). Mit Lila (um dem Teildividenden 30) wird darauf aufmerksam gemacht, dass das Ergebnis doch periodisch ist (also der Teildividend 30 und alle andere Teildividenten, die nach ihm kommen, in der gleichen Reihe immer wiederholt vorkommen). Die Periode, wie im Ergebnis wieder mit Lila notiert, ist die Zifferfolge 428591.

Da man aber die Periode im Ergebnis erst nach dem Komma notiert wird, schreibt man nicht

(falsch), sondern

(richtig).

Im vorherigen Beispiel haben wir eine Division durch 11 gesehen. Da bestand die Periode aus zwei Ziffern (27). Im letzten Beispiel (Division durch 7) bestand die Periode aus sechs Ziffern (914285). Bei einer anderer Division (durch 4), gab es wieder keine Periode. Es kann also eine Periode geben oder nicht, und sie kann lang oder kurz sein. Im folgenden Beispiel (938:23) haben wir die Periode nicht mal angegeben, da sie schon aus 22 Ziffern(!) besteht. Es gibt einen Beweis dafür, dass wenn der Divisor und der Dividend ganze Zahlen sind (oder sein können), immer eine Periode entsteht (also eine wiederholte Reihenfolge von Ziffern nach dem Komma) oder ein Teilrest Null (also die Division kann aufhören). Diese Periode kann sehr lang sein, es gibt sie aber in diesem Fall immer.

Im folgenden Beispiel lernen wir allerdings auch dazu genauer, wie man die Division durchführt, wenn der Divisor größer als 10 ist. Wir haben schon eine solche Division gesehen, aber noch nicht erklärt, wie das funktioniert.

DivEKP6.jpg

Grundsätzlich gibt es hier nichts Neues. Man soll wieder die Grundschritten durchführen:

Ziffer runter (ganz links anfangen)
÷ was runter Steht durch den Divisor dividieren ("wie oft der Divisor in den Teildividenden hineinpasst")
× das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren.

Nun aber werden diese Schritte irgendwo am Rand durchgeführt und jeweils unter dem Teildividenden das Ergebnis der Subtraktion am Ende geschrieben.

Schritt Ziffer runter: Weil die erste Ziffer im Dividend (9) kleiner als der Divisor (23) ist, nehmen wir am Anfang die ersten zwei Ziffer des Dividenden (93)
Schritt ÷ dividieren: 23 passt in 93 viermal hinein (das kann man allerdings bei größeren Zahlen nur raten und ausprobieren). Wie erste Ziffer des Ergebnisses wird daher 4 sein.
Schritt × multiplizieren: Die letzte Ziffer des Ergebnisse (4) wird mit dem Divisor multipliziert: 4×23=92.
Schritt subtrahieren: Das Ergebnis der Multiplikation (92) wird aus dem vorläufigen Teildividenden (93) subtrahiert (93−92=1). Allein das Ergebnis der Subtraktion (hier 1) wird dann unter den Teildividenden geschrieben. Im Bild haben wir allerdings die zwei letzten Schritten am Rand links zusammengefasst (93−4×23=1).

Diese Schritte werden dann wiederholt, bis man irgendwann die Periode entdeckt. Hier haben wir allerdings schon ziemlich bald aufgehört (wie schon erwähnt, ist die Periode in diesem Beispiel sehr lang...).

DivEKP4.jpg
DivEKP9.jpg

Im folgenden Beispiel ist der Divisor wieder größer als 10, wir haben aber hier die Teilschritte des Hauptvorgangs (↓ ÷ × −) nicht am Rand geschrieben. Die Division lautet 4,52:1,3, man soll also erst das Komma verschieben: 4,52:1,3=45,2:13. Letztere Division wird im Bild gezeigt. Wieder muss man mit zwei Ziffern anfangen. Sofort nach der ersten Ziffer im Ergebnis muss man ein Komma schreiben (roter Pfeil). Und wieder gibt es eine Periode (wenn der Teildividend 100 wiederholt wird), die Ziffernfolge 769230. Die Periode besteht hier (wie bei der Division durch 7 am Anfang dieses Teilkapitels) aus sechs Ziffern. Also . Hier ist zu beachten, dass nicht alle Ziffern nach dem Komma die Periode sind! Die Periode fängt in diesem Fall erst nach der ersten Nachkommastelle an.

Wenn allerdings die Division 0,0452:13 durchgeführt wird, muss man im Ergebnis schon mit Null und Komma anfangen (Bild links)! Der Rest des Vorgangs bleibt unverändert. Vorsicht aber: in diesem Fall (wenn Komma schon am Anfang steht), darf man Nullen nicht auslassen! Die Periode allerdings fängt in diesem Fall noch weitere Stellen nach dem Komma an: .

DivEKP5.jpg
DivEKP7.jpg

Bei der Division 330,103:11 (links) finden wir noch ein paar Neuigkeiten. Die Periode besteht zwar wieder aus zwei Ziffern wie in der vorherigen Division durch 11, diesmal sind es aber die Ziffern 36 (und nicht 27). Es gibt in dieser Division einige Nullen dazwischen, die man selbstverständlich NICHT auslassen darf und dazu ein Komma unter diesen Nullen.

Bei der Division 391,204:11 (rechts) stellt man fest, dass die Division durch 11 sogar auch genau ausgehen kann (das stimmt ja für alle Divisoren, die ganzzahlig, also ohne Komma, sind). Wenn der Teilrest Null ist, ist der Vorgang fertig. Wann die Division durch bestimmte Zahlen genau aufgeht, lernt man im Kapitel über Teilbarkeit.

DivEKP8.jpg

Im letzten Beispiel können wir sehen, dass die Periode auch nur eine Ziffer sein kann (hier 6). In diesem Beispiel fängt die Periode wieder erst an der dritten Nachkommastelle an. Man schreibt:

Punktrechnungen mit 10, 100, 1000 und so weiter[Bearbeiten]

  • Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter multipliziert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach rechts (die Zahl wird größer), so oft, wie es Nullen gibt:
3,45 · 10 = 34,5    (Mal 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach rechts verschoben)
54 · 10000 = 54,0000 · 10000 = 540000    (Mal 10000; in 10000 gibt es vier Nullen, Komma wird 4 Mal nach rechts verschoben; Allerdings gibt es kein Komma am Ende der Zahl 54; man schreibt ein Komma am Ende der Zahl und dazu nach dem Komma so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
0,008 · 100 = 0,8    (Mal 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach rechts verschoben)
  • Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter dividiert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach links (die Zahl wird kleiner), so oft, wie es Nullen gibt:
3,45:10 = 0,345    (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 3,4 keine Null, man schreibt also links von der Zahl so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
54:10000 = 0,0054    (Durch 10000; in 10000 gibt es 4 Nullen, Komma wird 4 Mal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 54 kein Komma, man schreibt also links von der Zahl ein Komma und so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
0,008:100 = 0,00008    (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird 1 Mal nach links verschoben; allerdings muss man zuerst am Ende der Kommazahl weitere Nullen schreiben)
900000:100 = 9000,00 = 9000    (Durch 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach links verschoben; da es kein Komma am Ende der Zahl gibt, muss man erst das Komma schreiben)


Textaufgaben[Bearbeiten]

Mit den Grundrechenarten kann man auch Textaufgaben bilden. Bei diesen Aufgaben ist in der Regel die Bedeutung der Wörter nicht so wichtig, wie der Aufbau des Satzes:

  • Dividieren Sie die Differenz von 125 und 20 mit der Summe von 4 und 3.

Schauen wir mal, wie der Satz aufgebaut ist. Erst steht, dass man dividieren muss (also durch machen). Was muss man aber dividieren? Was steht nach dem Wort dividieren? Die Zahlen 125 und 20? NEIN! Nach dem Wort dividieren (durch machen) steht das Wort Differenz! Man muss also erst eine Differenz berechnen! Welche Differenz? Die Differenz von 125 und 20(was nach dem Wort Differenz steht)! Das steht ja auch da! Die Differenz (Minus) von 125 und 20 ist 125−20=105. Diese Differenz muss man durch irgendwas dividieren. Ist das durch 4, durch 3 oder doch was anderes? Doch was anderes! Die Differenz muss man mit der Summe (Plus machen) dividieren. Man muss also erst eine Summe berechnen, die Summe von 4 und 3 (was nach dem Wort Summe steht), 4+3=7. Man soll also die Differenz (105) durch die Summe (7) dividieren:

105:7=15. 15 ist also die Antwort zur Aufgabe!

Vorrang der Rechenarten[Bearbeiten]

Der Haupt(vor)gang[Bearbeiten]

Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

:

  • Wenn man von links nach rechts liest, dann: also Ergebnis 7.
  • Wenn man von rechts nach links liest, dann: also Ergebnis 15.

Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:

In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.

Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?

Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis:

Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation:

und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis:

Es gilt auch:

  • Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis:
  • Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis:

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:

und

Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:

und

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!

Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:

Hier ist das Ergebnis doch

...und hier ist das Ergebnis wieder .


Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:

Klammer vor Punkt vor Strich.

(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)

Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:

Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:

    In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
    und dann die Strichrechnung in Klammer
    Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen
 
    Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:

Hier muss man erst die Punktrechnungen machen


Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:

KvPvS1.jpg
KvPvS2.jpg
KvPvS3.jpg
KvPvS4.jpg
KvPvS5.jpg
KvPvS6.jpg
KvPvS7.jpg
Animation
Alle Schritte kompakt dargestellt:
   



Komplexeres Beispiel[Bearbeiten]

    In der großen Klammer hat die kleine Klammer Vorrang (Klammer vor Punkt vor Strich)
    In der kleinen Klammer erst Punkt und dann Strichrechnung
7   +               Kleine Klammer durch ihr Ergebnis in der großen Klammer ersetzen
   +               In den verbliebenen Klammern erst Punkt- und dann Strichrechnungen
          Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen

(an Plus-Minus Regeln halten!)

KvPvSB01.jpg
KvPvSB02.jpg
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KvPvSB12.jpg
KvPvSB13.jpg

(an Plus-Minus Regeln halten!)

und die entsprechende Animation:

KvPvSB.gif

Bruchrechnungen[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Bruch:       


Es gilt:      (Ein Bruch ist wie eine Division)

Unterschied: Ein Bruch ist eine Zahl. Eine Division ist eine Rechenart zwischen zwei Zahlen.

Echter Bruch: Wenn der Nenner größer als der Zähler ist:

Unechter Bruch: Wenn der Zähler größer als der Nenner ist:

Gleichnamige Brüche: Brüche, die den gleichen Nenner haben (z.B. ,   )

Gemischte Zahlen[Bearbeiten]

Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch:  

Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln[Bearbeiten]

Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, multipliziert man die natürliche Zahl mit dem Nenner des Bruches und addiert das Ergebnis zum Zähler. Das neue Ergebnis ist dann der Zähler des neuen Bruches, der Nenner bleibt der gleiche:

Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln[Bearbeiten]

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler mit dem Nenner (ohne Nachkommastellen). Das Ergebnis der Division ist der „Zahlteil“ der gemischten Zahl, der Rest ist der Zähler des „Bruchteils“, der Nenner bleibt der gleiche:

Bruchgemisch1.jpg     (siehe Division)

Folgendes Beispiel setzt die Anwendung eines Taschenrechners voraus:

Eintausend-achthundert-fünfundneunzig Dreiundzwanzigstel sind so viel wie zweiundachtzig Ganzen und neun Zwanzigstel.

Das Ergebnis der Division 1895:23 mit dem Taschenrechner ist 82 Komma einige Nachkommastellen. Dieses Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird die ganze Zahl in der gemischte Zahl sein. Das Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird dann mit den Nenner (hier 23) multipliziert: 82·23=1886. Dieses Produkt (1886) wird dann vom Zähler (1895) subtrahiert: 1895-1886=9. Diese Differenz (9) stellt den neuen Zähler in der gemischten Zahl dar, der Nenner bleibt unverändert (23).



Erweitern und Kürzen[Bearbeiten]

Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens[Bearbeiten]

 
StrichrechnungBruch 02.jpg
 
7
2
 
 
 
 
StrichrechnungBruch 04.jpg 5
Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches . Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in (waagerecht) sondern auch in (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher des Ganzen. Die dunkle Region () beinhaltet allerdings solche "Quadrate" also . Man folgt daraus, dass ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier ) multipliziert: . Diesen Prozess nennt man erweitern.


StrichrechnungBruch 05.jpg   StrichrechnungBruch 03.jpg   Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in Zeilen und Spalten also insgesamt in kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist solche Teile, also . Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region Spalten davon ist also . In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier ) dividiert: . Diesen Prozess nennt man kürzen.



Strichrechnungen[Bearbeiten]

Wenn man zwei Brüche addiert oder subtrahiert, dann muss man auf den Nenner aufpassen:

Brüche mit gleichem Nenner:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern (blaue Pfeile) und entsprechend für den zweiten Bruch (rote Pfeile)!

Bruchstrich1.jpg

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.


Erklärung der Strichrechnungen[Bearbeiten]

BruchStrichGlNen.svg

Wenn man den gleichen Nenner hat, ist es leicht mit einer Figur zu verstehen, warum die angegebene Regel gilt. Man kann sehen:

wenn zwei Schokoladentafeln in 7 geteilt werden und von einer Schokoladentafel 3 Teile (drei Siebtel) und von der anderen 2 Teile (zwei Siebtel) genommen werden, hat man insgesamt 5 Teile (also fünf Siebtel).


Was ist aber, wenn man nicht den gleichen Nenner hat, wie z.B. mit    ?

Wie kann man das zeigen, dass das Ergebnis    sein soll?

Einfach! Man teilt die erste Figur auch in 7 Teilen und die zweite in 5:

Jedes kleines Quadrat in den neuen Figuren ist    des Ganzen. Wir haben in beiden Figuren 5·7=35 kleine Quadrate. Wie man sehen kann, sind die    gleich so viel wie    und die    gleich so viel wie    . Da wir jetzt gleichnamigen Brüchen haben, kann man die Zähler addieren:

Punktrechnungen[Bearbeiten]

Bei einer Multiplikation zwischen zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner (Oben mal Oben, Unten mal Unten):

Bei der Division von zwei Brüchen multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweitens Bruches:

   ( ist der Kehrwert von  )

Hier spielt der Nenner keine Rolle (im Gegenteil zu den Strichrechnungen).

Doppelbrüche[Bearbeiten]

Ein Doppelbruch ist wie die Division zwischen zwei Brüchen. Der Bruch oben wird durch den Bruch unten dividiert, also mit dem Kehrwert des Bruches unten multipliziert:


Arbeiten mit ganzen Zahlen und Brüchen[Bearbeiten]

Die Rechnungen mit ganzen Zahlen und Brüchen sind leicht, wenn man den vorherigen Stoff schon verstanden hat.

Strichrechnungen

Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, reicht das Produkt der ganzen Zahl mit dem Nenner des Bruches als Zähler im Bruch zu schreiben:

Das sollte schon klar sein, da 15:5=3 ist... Um das zu veranschaulichen reicht es 3 ganzen jeweils in 5 geteilt nebeneinander zu stellen. Dann werden genau 3×5=15 Fünftel aufgezählt!

5over5.jpg 5over5.jpg 5over5.jpg

Hat man einmal die ganze Zahl als (gleichnamigen) Bruch, kann man auch eine entsprechende Strichrechnung durchführen, z.B.:

Punktrechnungen

2over5.jpg   2over5.jpg   2over5.jpg   2over5.jpg

Genau so leicht ist die entsprechende Multiplikation. Im ersten Bild werden zwei Fünftel dargestellt und diese werden 4 mal nebeneinander dargestellt. Insgesamt sind es daher 4×2=8 Fünftel.

Um das Produkt einer ganzen Zahl mit einem Bruch zu berechnen, reicht es das Produkt der ganzen Zahl mit dem Zähler des Bruches in einem neuen gleichnamigen Bruch zu schreiben.

Die Division ist dann auch leicht:

Um den Quotient einer ganzen Zahl durch einem Bruch zu berechnen, reicht es das Produkt der ganzen Zahl mit dem Kehrwert des Bruches zu berechnen.

Kombinationen[Bearbeiten]

Bei Kombinationen von Bruchrechnungen muss man auf der Reihenfolge (siehe Vorrang der Rechenarten) aufpassen:


Man muss zuerst die Klammern machen:

  • Erste Klammer

   Hier haben wir nur eine Strichrechnung und zwar mit dem gleichen Nenner.


  • Zweite Klammer

      Hier müssen wir erst die Punktrechnung machen und dann die Strichrechnung.

      Hier soll man erst kürzen.

     



Jetzt kann man in der Rechnung die Ergebnisse für die Klammern einsetzen:

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen[Bearbeiten]

Die Textaufgaben mit Bruchrechnungen werden i.d.R. leicht in die mathematische Sprache umgewandelt:

In einem Staat mit 8,46 Millionen Einwohner trinkt jeder Einwohner durchschnittlich vier Neuntel Liter Milch täglich.
    1. Wie viel Liter werden dann täglich konsumiert?
    2. Der Gewinn für die Eigentümer ist 0,8¢/Liter Milch. Wie viel ist der tägliche Gewinn? Finden Sie ihn gerechtfertigt?
  1. Im einem anderen Staat gibt es 4 Supermarktketten. Zusammen gewinnen die Eigentümer 105000€ täglich. Eigentümer A bekommt zwei Fünftel des Gewinns, Eigentümer B ein Drittel und den Rest teilen die anderen zwei Eigentümer C und D. Wie viel gewinnt täglich jeder Eigentümer? Finden Sie den Gewinn gerechtfertigt?

Aufgabe a lässt sich leicht berechnen:

Da der Gewinn pro Liter 0,8¢ ist, soll man 0,8 mit 3,76 Mil. multiplizieren (dann hat man ¢) und dann durch 100 dividieren (dann hat man €):

Ob dieser Gewinn gerechtfertigt ist, soll jeder für sich entscheiden (die Eigentümer werden ihn sicherlich gerechtfertigt finden, sonst würden sie ihn nicht machen...).

Aufgabe b ist ebenfalls nicht besonders schwer:

Eigentümer A:

Eigentümer B:

Eigentümer C und D teilen den Rest:

Primfaktorzerlegung[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Primzahlen sind die natürlichen Zahlen (Zahlen ohne Komma und Minus), die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. (teilbar: dividieren, ohne dass eine Kommazahl entsteht)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
geht
auch
durch
2 2
3
2
4
3 2
5
2
3
4
6
Prim-
zahl
 ✔   ✔  ✘   ✔   ✘   ✔   ✘   ✘   ✘   ✔   ✘   ✔

Z.B.:

2 ist nur durch 2 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

3 ist nur durch 3 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

4 ist nur durch 4 und 1, aber auch durch 2 teilbar und daher keine Primzahl.

5 ist nur durch 5 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

6 ist nur durch 6 und 1, aber auch durch 2 und 3 teilbar und daher keine Primzahl.

usw.


Was bedeutet in diesen Sätzen "teilbar"? Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division kein Nachkommastellen enthält.

Nehmen wir die Zahl 5.

 

Dividiert man 5 durch jede größere natürlich Zahl (also: 6,7,8…), erhält man als Ergebnis eine Kommazahl kleiner als 1 (also Null-Komma-irgendwas). Beispielsweise:

Teilbar ist die Zahl 5 also nur durch eins (5:1=5) und sich selbst (5:5=1). Da bei unserem Beispiel alle anderen Ergebnisse ein Komma enthalten ist die Zahl 5 eine Primzahl.

Für 6 hingegen ist das nicht der Fall. 6 ist selbstverständlich durch 1 und 6 teilbar, aber eben auch durch 2 (6:2=3) und durch 3 (6:3=2). Daher ist 6 KEINE Primzahl.


Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...

Faktor ist ein Teil einer Multiplikation.

Primfaktorzerlegung (PFZ) bedeutet daher, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken (die dann Faktoren sind; Primzahlen die auch Faktoren sind, nennt man Primfaktoren; wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat man die PFZ).

Vorgangsweise[Bearbeiten]

Nehmen wir die Zahl 7800. Wir versuchen sie durch die Primzahlen der Reihe nach und soweit es jedes Mal geht zu dividieren. Die erste Primzahl ist 2 7800 : 2 = 3900. Geht es weiter durch 2? Ja! 3900 : 2 = 1950. Geht es noch weiter? Ja! 1950:2=975. Weiter durch 2 geht es aber nicht.

Probieren wir dann durch 3. Geht es? Ja! 975:3=325. Geht es weiter durch 3? Nein! (325:3 = 108,33

Probieren wir die nächste Primzahl: 325:5=65. Das geht nochmal: 65:5=13.

Die nächsten Primzahlen sind 7 und 11, da geht es nicht. Es geht wieder durch 13 13:13=1.

Hier sind wir fertig. Wir haben 7800 drei mal durch 2, ein mal durch 3, zwei mal durch 5 und ein mal durch 13 dividiert und dann war das Ergebnis 1. Es gilt daher: 7800:2:2:2:3:5:5:13=1 und umgekehrt (Gegenrechnung) 7800=2·2·2·3·5·5·13.

Schreibweise[Bearbeiten]

Den ganzen Prozess Schritt zum Schritt kann man so darstellen:

7800   
 
 
 
 
 
 
 
7800     2
3900   
 
 
 
 
 
 
7800     2
3900     2
1950   
 
 
 
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     
 
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     5
13     
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     5
13     13
1   

Anwendungen[Bearbeiten]

Brüche kürzen[Bearbeiten]

Wir haben schon das Kürzen von Brüchen gesehen:

Hier sieht man sofort, dass man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 5 teilen kann. Was ist aber, wenn man große Zahlen hat. In diesem Fall ist es besser, die PFZ der Zahlen erst durchzuführen:

 
?
6664     2
3332     2
1666     2
833     7
119     7
17     17
1   
8820     2
4410     2
2205     3
735     3
245     5
49     7
7     7
1   
Man schreibt Zähler und Nenner als
Produkt von Primzahlen und kürzt
den Bruch (also Primzahlen, die oben
und unten vorkommen, werden gestrichen)
 


Strichrechnungen von mehreren Brüchen[Bearbeiten]

Wir haben schon gesehen, wie man zwei Brüche addiert oder subtrahiert. Was ist aber, wenn man mehrere Brüche hat? Man könnte selbstverständlich erst die zwei Brüche machen, das Ergebnis mit dem nächsten Bruch usw., es gibt aber in diesem Fall eine Methode, die schneller ist und die PFZ benutzt: Hier macht man zuerst die PFZ der Nenner:

       Hier macht man zuerst die PFZ der Nenner:

120     2
60     2
30     2
15     3
5     5
1   
36     2
18     2
9     3
3     3
1   
300     2
150     2
75     3
25     5
5     5
1   
120 = 2·2·2·3·5     Hier kommt 2 drei mal vor
36 = 2·2·3·3     Hier kommt 2 zwei mal vor
300 = 2·2·3·5·5     Hier kommt 2 zwei mal vor
 Am häufigsten kommt die 2 drei mal vor
kgV=2·2·2·3·3·5·5     Also müssen wir 2 in kgV drei mal
benutzen. Das gleiche passiert mit 3 und 5.
(kgV bedeutet kleinstes gemeinsames Vielfaches)    

Das kgV wird der neue gemeinsamer Nenner sein. Das bedeutet wir müssen alle drei Brüche erweitern. Im ersten Bruch () ist der Nenner 120 und muss auf 1800 erweitert werden. Mit welcher Zahl muss man 120 multiplizieren um 1800 zu bekommen? Um das zu finden, dividiert man 1800 durch 120 1800:120=15. Mit dieser Zahl (15) muss man den Nenner (120) multiplizieren. Damit aber der Bruch gleich bleibt, muss man auch den Zähler mit 15 multiplizieren. Den gleichen Prozess wiederholt man bei den anderen Brüchen:




Das ist der beste Weg um mehrere ungleichnamige Brüche zu addieren oder subtrahieren.


Teilbarkeit[Bearbeiten]

Bei der PFZ haben wir immer probiert, eine Zahl durch einer Primzahl zu teilen. Kann man wissen, ob das geht, ohne die Division zu machen? Für viele Primzahlen geht das. Die einfachsten Regel sind für 2, 3 und 5:

Durch 2[Bearbeiten]

Wenn eine Zahl in 0, 2, 4, 6, 8 endet (gerade Zahl), dann ist sie durch 2 teilbar:

2004 und 33338 sind durch 2 teilbar: 2004 endet in 4, 33338 in 8.

2005 oder 486863 sind nicht durch 2 teilbar: 2005 endet in 5 und 486863 in 3.

Durch 5[Bearbeiten]

Wenn eine Zahl in 0 oder 5 endet, dann ist sie durch 5 teilbar:

409 und 85923 sind nicht durch 5 teilbar (sie enden in 9 bzw. in 3).

490 und 89235 hingegen sind durch 5 teilbar (sie enden in 0 bzw. in 5)

Durch 3 (oder 9)[Bearbeiten]

Wenn die Summe der Ziffer[1] einer Zahl durch 3 (bzw. 9) teilbar ist, dass ist die Zahl auch durch 3 (bzw. 9) teilbar:

135 ist durch 3 teilbar: 1+3+5=9 (9:3=3, die Summe der Ziffer 9 ist durch 3 teilbar, also auch die Zahl 135). Sie ist auch durch 9 teilbar (9 ist durch 9 teilbar)

3564825 ist durch 3 teilbar: 3+5+6+4+8+2+5=33, 33:3=11. 33 ist durch 3 teilbar, daher auch 3564825. 33 ist aber nicht durch 9 teilbar, also 3564825 auch nicht.

3564824 ist nicht durch 3 oder 9 teilbar: 3+5+6+4+8+2+4=32, 32 ist nicht durch 3 oder 9 teilbar.

35644825 ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar: 3+5+6+4+4+8+2+4=32, 32 ist durch 3 und 9 teilbar.

Durch 7[Bearbeiten]

Um zu verstehen, wie man herausfindet, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, machen wir ein Beispiel. Nehmen wir die Zahl 4445. Man teilt sie in Teilen am Ende anfangend und jedes mal zwei Ziffer nehmend: 44 | 45. Wenn die Summe vom doppelten des rechten teils und vom linken Teil durch 7 teilbar ist, dann ist auch die ganze Zahl: 2·44+45=133. Wenn man nicht sofort sehen kann, ob 133 durch 7 teilbar ist, kann man den Vorgang wiederholen: 133 in zwei Teilen → 1 | 33 2·1+33=35. 35 ist durch 7 teilbar, daher auch 133 und 4445. Bei größeren Zahlen muss man den Vorgang wiederholen. Probieren wir es mit einer größeren Zahl: 437381 43 | 73 | 81 2·43+73=159 2·159+81=399 → 3 | 99 3·2+99= 105 → 1 | 05 1·2+05=7 7 ist offenbar durch 7 teilbar also auch 105 und 399 und 437381! Man muss sagen: diese Regel kann doch länger dauern, als die eigentliche Division zu machen...

Durch 11[Bearbeiten]

Für die Teilbarkeit durch 11 gibt es eine Regel: wenn die Differenz der alternierenden Summe der Ziffer einer Zahl 0 oder durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 11 teilbar. Beispiel: 981607. Man nimmt die Summe der ersten, der dritten und der fünften (alternierend) Ziffer 9+1+0= 10 und die Summe der zweiten, der vierten und der sechsten (alternierend) Ziffer 8+6+7=21. Die Differenz der beiden Summen ist 21-10=11, was durch 11 teilbar ist. Daher ist auch 981607 durch 11 teilbar!


Schlussrechnung[Bearbeiten]

Direkte Proportionalität[Bearbeiten]

Fangen wir direkt mit einem Beispiel an.

  • 5 Tische kosten 315€. Wie viel kosten 2 Tische?

Hier spricht man von einer sogenannten direkte Proportionalität. Weniger Tische werden weniger Geld kosten. Das Beispiel besteht aus zwei Sätze:

was gegeben ist: „5 Tische kosten 315€“. Diese Daten schreibt man auf ein Zeile nebeneinander. Man schreibt also am Anfang:
5 Tische ... 315€
was gefragt ist: „Wie viel kosten 2 Tische?“ Hier ist der Preis der Tische in € gefragt. Man schreibt eine zweite Zeile unter die erste: Dabei schreiben wir das Gefragte (Preis der Tische) als x und die Anzahl der Tische unter der Anzahl Tische von der ersten Zeile:
5 Tische ... 315€
2 Tische ... x


Man fängt mit der gefragten Größe an (hier €), also mit der Zahl, die an der gleichen
Spalte mit x steht, und multipliziert diese Zahl mit der Zahl schräg gegenüber.

315·2=630.

Das Ergebnis dividiert man mit der verbliebenden Zahl (hier 5).

630:5=126

Jetzt kommt die Frage: 126 was? Was haben wir hier gerechnet? Sicherlich nicht Frösche und auch nicht Äpfel. Wie kann man herausfinden, was hier gerechnet wurde? Eine Möglichkeit ist es, die folgende Frage zu stellen: „Wieviel kosten 2 Tische?“ Kosten sind gefragt, also €. Das Ergebnis ist daher der Wert in €. Ein anderer Weg ist es darauf zu schauen, wo x steht: Es steht unterhalb von „315€“. Wir haben gesagt, dass in jeder Spalte die Sachen (in Mathematik „Einheiten“ genannt) übereinstimmen müssen. Unterhalb von € müssen € stehen. Daher sollte die Einheit von x auch € sein. Somit ist die Antwort:

„Zwei Tische kosten 126€.“

Der ganze Prozess noch einmal Schritt für Schritt:

Schluss1.jpg
Schluss2.jpg
Schluss3.jpg
Schluss4.jpg
Schluss5.jpg
Schluss6.jpg
Schluss7.jpg
Schluss8.jpg

und die entsprechende Animation:

Schluss.gif

Noch ein Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 0,0175 Liter?
b) Wie viel Liter sind 3850kg?


Hier gibt es zwei Fragen, das gegebene ist aber in beiden Fällen das gleiche, nämlich der erste Satz.

a) Für die erste Frage schreiben wir das gegebene an einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen unter gleichem):

     

Die Zahl, die an der gleichen
Spalte mit x steht, mal die Zahl schräg
gegenüber und durch die andere Zahl
:
  

Noch einmal stellt sich die Frage: 0,735 was? Was haben wir hier gerechnet? Wieso haben wir kg geschrieben? Die Frage war „Wie viel wiegen 0,0175 Liter?“ Also muss die Einheit vom Ergebnis kg sein. Wenn wir die Schlussrechnung betrachten, sehen wir ebenfalls, dass x unterhalb von „14,7 kg“ steht. In einer Spalte müssen die Einheiten übereinstimmen, unterhalb von kg müssen gleichfalls kg stehen. Somit ist die Antwort:

„0,0175 Liter des Stoffes wiegen 0,735kg.“


b) Für die zweite Frage schreiben wir wieder das gegebene in einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen (Einheiten) unter gleiche):

     

Ob man die Liter links oder rechts schreibt oder das gegebene oben oder unten, spielt keiner Rolle. Wichtig ist: das Gegebene in einer Zeil und gleiche Sachen (Einheiten) in der gleichen Spalte!

     

In diesen Aufgaben ist es wichtig zu verstehen: Man braucht nicht wissen, was die Wörter bedeuten! Man soll einfach die Struktur der Sätze der Aufgabe verstehen!


Indirekte Proportionalität[Bearbeiten]

In der direkten Proportionalität haben wir gesehen, wie man vorgeht, wenn zwei Größen gleichzeitig größer oder kleiner werden. Wenn man mehr von einer Ware kaufen will, dann muss man auch mehr bezahlen. Wenn man weniger kaufen will, dann zahlt man auch weniger. Wenn man mehr kg von einem Stoff hat, dann hat man auch mehr Liter des Stoffes. Es gibt aber auch Fälle, bei denen die Erhöhung einer Größe die Verminderung einer anderen bedeutet:

  • 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Das ist also KEINE direkte sondern eine indirekte Proportionalität.

Wie bei der direkten Proportionalität schreibt man hier auch die gegebenen Größen nebeneinander und gleiche Größen untereinander.

In diesem Fall multipliziert man mit der Zahl gerade gegenüber (und NICHT schräg gegenüber, wie in der direkten Proportionalität) und dividiert dann durch die andere Zahl:

        (die die Arbeiter in diesem Fall brauchen).

Um zu unterscheiden, ob man eine direkte oder indirekte Proportionalität hat, muss man schon die Sprache und die Zusammenhänge gut verstehen können!

Vergleich direkter und indirekter Proportionalität[Bearbeiten]

Wie wir in den vorherigen Absätzen gesehen haben, muss man sowohl bei der direkten als auch bei der indirekten Proportionalität die Daten, die (in der Regel in einem Satz) in Verbindung gebracht werden, in einer Zeile nebeneinander schreiben (hier bei der direkten Proportionalität 3,5 Liter und 14,7 kg und bei der indirekten 3 Arbeiter und 15 Stunden) und dafür sorgen, dass in jeder Spalte die gleichen Einheiten geschrieben werden.

                                           


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AUFGABENHEFT

Bei beiden Vorgängen fängt man dann mit der Zahl an, die nur an der gleichen Spalte mit x steht (hier 14,7 kg in der direkten und 15 Stunden in der indirekten Proporionalität). Der Unterschied ist: bei der direkten Proportionalität geht man dann schräg, bei der indirekten gerade gegenüber, und multiplitiert mit dieser Zahl (hier 0,0175 Liter in der direkten und 3 Arbeiter in der indirekten Proporionalität). Am Ende dividiert man in beiden Fällen mit der übriggebliebenen Zahl (hier 3,5 Liter in der direkten und 5 Arbeiter in der indirekten Proporionalität).

                                           

Wie kann man verstehen, ob eine direkte oder eine indirekte Proportionalität vorliegt?

Nehmen wir den folgenden Bruch b:  ,  wobei z der Zähler und n der Nenner ist. Wenn z=20 und n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: . Wenn jetzt der Zähler z größer wird (z.B. z=30), dann wird der ganze Bruch b auch größer:  . Wenn der Zählerz kleiner wird (z.B. z=10), dann wird der ganze Bruch auch kleiner:  . Je größer der Zähler, desto größer der Bruch. Je kleiner der Zähler, desto kleiner der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man direkte Proportionalität.

Wenn jetzt der Nenner größer wird (z.B. n=10), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also kleiner:

Wenn der Zähler z=20 und und der Nenner n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: . Wird der Nenner n größer, z.B. 10, dann wird der Bruch b kleiner:  . Wenn der Nenner kleiner wird (z.B. n=2), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also größer:  . Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch. Je kleiner der Nenner, desto größer der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man indirekte Proportionalität.

Wenn zwei Größen (z.B. Volumen und grob gesagt Gewicht[2]) gleichzeitig wachsen oder gleichzeitig weniger werden, dann liegt eine direkte Proportionalität vor (z.B. wenn man mehr Wasser hat, ist sowohl das Volumen als auch das Gewicht mehr). Wenn der Wachstum einer Größe zur Verminderung einer anderen führt, dann liegt eine indirekte Proportionalität vor (z.B. mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, um die gleiche Arbeit zu erledigen). So kann man verstehen, ob man direkte oder indirekte Proportionalität benutzen soll. Beim nächsten Kapitel allerdings (Prozentrechnung) kommt nur die direkte Proportionalität vor!

Prozentrechnung[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Das Wort „Prozent“ kommt aus dem lateinischen und bedeutet pro Hundert. Ein Prozent IST ein Hundertstel.

In diesem Sinn ist z.B.:

Bei Aufgaben, die mit Prozentrechnung zu tun haben, ist der Wert am Anfang immer 100%.

100% ist gleich 1, also das „Ganze“:

100%=1

Diesen Anfangswert nennt man Grundwert. Es gibt dazu auch den Prozentwert (oder Prozentanteil) und den Prozentsatz. Um zu verstehen, was die Begriffe bedeuten, nehmen wir folgendes Beispiel:

Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Wir wollen einen Teil von den 55 Personen in Prozent (in Hundertstel) berechnen. Dieser Teil sind die 11 Personen. Die 11 Personen sind der Prozentanteil oder Prozentwert.

Das Ganze (100%, Anfangswert) sind die 55 Personen. Der Grundwert ist "55 Personen".

Herauszufinden welcher Wert der Grundwert ist, ist in der Prozentrechnung eine entscheidende Aufgabe. Um den Grundwert im Satz zu erkennen, schaut man in der Regel, welches Wort im Genitiv steht. Wenn man sagt "des Gewichts", "der Bevölkerung", "von 55 Personen", dann sind diese Ausdrücke der Grundwert (100%). Der andere Wert ist der Prozentanteil.

Es kann aber sein, dass kein Wort in der Aufgabe im Genitiv steht, sondern, dass eine zeitliche Reihenfolge vorkommt. Wenn nichts anderes angegeben wird, ist der Wert in der früheren Zeit der Wert am Anfang, der Grundwert (100%). Beispielsweise, wenn ein Baum wächst, ist der Wert am zeitlichen Anfang der Grundwert, der Prozentwert kann dann variieren, je nachdem was gefragt ist: Er kann die Höhe am Ende sein oder der Höhenunterschied.

Wenn beides vorkommt (zeitliche Folge und Genitiv), dann ist der Genitiv der Grundwert. Im Beispiel mit dem Baum kann gefragt werden, wie viel Prozent der Höhe am Ende die Höhe am Anfang ist. In diesem Fall ist die Höhe am Ende der Anfangswert (Genitiv ist "stärker" als die zeitliche Reihenfolge).

Der Prozentsatz beschreibt, wie viele Hundertstel des Ganzen der Prozentanteil ist. In unserem Beispiel:

Grundaufgaben[Bearbeiten]

Nicht vergessen: Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%

  • Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist der Prozentsatz eines Teils von 55 Personen gefragt. 55 Personen sind 100%. (Nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das so auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

      .

  • Wie viele Personen sind 11% von 55 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist ein Prozentsatz von 55 Personen gefragt, also haben wir am Anfang 55 Personen, die dann 100% sind! (Also nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

      .

  • Wie viel % von 23 kg sind 5329kg?

Hier steht nach „von“ 23 kg, also sind 23kg 100%

      .

  • Wie viel ist 0,3% von 0,26 Liter?

      .


  • Von wie vielen Personen sind 55 Personen 11%?

Hier steht nach dem Wort „von“ eine Frage. Das Gefragte schreibt man in der Mathematik mit x. Daher ist x 100%. Das Gefragte ist 100%.

      .


Vertiefende Aufgaben[Bearbeiten]

Prozentrechnung bei Wachstum oder Zerfall[Bearbeiten]

In diesem Absatz werden wir uns mit Aufgaben beschäftigen, bei denen irgendeine Größe mehr oder weniger wird.

  • Das Gehalt eines Beamten war 1800€ und wurde um 2,5% gekürzt. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt gekürzt?

Es gibt zumindest zwei Wege, um diese Aufgabe zu lösen. Wir werden hier nur den Weg lernen, der für die Umkehraufgaben (die wir im nächsten Absatz lernen werden) notwendig ist.

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Das Gehalt am Anfang war 1800€, daher sind 1800€ (der Wert am Anfang) 100%. Das Gehalt wurde gekürzt, also wurde es um 2,5% weniger. Daher bleibt dann 100%-2,5%=97,5% des Gehaltes. Wir wollen wissen, wie viel Geld in € diesen 97,5% ist:

      

Das Gehalt wurde daher um 1800€-1755€= 45€ gekürzt. Diese 45€ sind 2,5% des Gehalts (also 2,5% von 1800€).

Wenn die einzige Frage ist, wie viel das Gehalt gekürzt wurde, dann soll 2,5% bei der Schlussrechnung benutzt werden:

Es ist dann auch möglich, in dieser Weise das Gehalt am Ende zu berechnen: 1800€-45€= 1755€. Diesen Weg kann man aber in den Umkehraufgaben (nächster Absatz) nicht mehr benutzen.

  • Ein Baum ist 5,6m groß und wächst in einem Jahr auf 6m. Um wie viel % ist er gewachsen?

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Der Baum war am Anfang 5,6m, daher sind 5,6m (der Wert am Anfang) 100%. Er ist auf 6m gewachsen, also um 6m-5,6m= 0,4m größer geworden. Wir wollen wissen, wie viel % (von 5,6m) diese 0,4m sind:


      .

Umkehraufgaben[Bearbeiten]

  • Man hat in seinem Haus ein neues Zimmer aufgebaut. Die Fläche des Hauses ist dadurch um 15% auf 112,7m² gewachsen. Berechnen Sie die ursprüngliche Fläche!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier wissen wir nicht, wie groß das Haus am Anfang war, das ist doch gefragt! Das gefragte schreibt man in Mathematik mit x. 100% ist also x. Das Haus ist um 15% gewachsen, also die Fläche am Ende (112,7m²) ist 100%+15%=115%. Daher sind 112,7m² 115%.

Schreiben wir diese Information auf, wie wir das gelernt haben:

      .


  • Ein Tisch wurde um 10% geschnitten. Die neue Länge ist 2,7m. Berechnen Sie die ursprüngliche Länge!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Er ist aber nicht gegeben. Daher ist x 100%. Der Tisch wurde um 10% geschnitten, war am Anfang 100%, daher bleibt noch 100%-10%=90%. 2,7m (der Wert am Ende) sind daher 90%. Schreiben wir das Ganze auf:

      .


Erklärung der Prozent- und Schlussrechnung[Bearbeiten]

Wie schon betont, bedeutet "ein Prozent" das gleiche wie ein Hundertstel. Ein Hundertstel ist ein Bruch.Für die Erklärung der Prozentrechnung kann man daher die Bruchrechnung benutzen, genauer gesagt das Erweitern von Brüchen.

Wenn wir wissen wollen, wie viel Prozent von 5kg 3kg sind, können wir mit der Darstellung von 5kg anfangen:

Funf1.svg

Drei kg kann man dann als Bruchteil von diesen 5kg darstellen, wie im folgenden Bild:

Funf2.svg

Wenn jemand das Ganze senkrecht auf 20 teilt, ist jeder kleiner Teil ein Hundertstel. Im Bild kann man schon sehen, dass die drei fünftel solche kleine Teile sind, also 60 Hundertstel, also 60%:

Funf3.svg

Wenn wir jetzt mit Brüchen arbeiten, können wir durch die Bilder leicht verstehen, dass wir den Bruch mit der Zahl 20 erweitert haben:

Wie sind wir auf die Zahl 20 gekommen? Wir haben einfach 100 durch 5 dividiert, also durch die Zahl, die den Wert des Ganzen darstellt. Wieso ist 5 das Ganze? Wir haben schon in den Definitionen gesagt, dass das Ganze nach dem Wort "von" steht, also hier die 5 kg. So wie wir die Prozentrechnung gelernt haben, bedeutet das, dass man mit der Zahl quer gegenüber multiplizieren muss und durch die andere Zahl dividieren:

         

3 kg sind daher 60% (also 60 Hundertstel) von 5 kg.

Schauen wir jetzt ein Beispiel mit Zahlen, die nicht so "rund" sind:

Wie viel Prozent von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

Hier ist das Ganze die 17 Äpfel, also was nach dem Wort "von" (also in Genitiv) steht. Welcher Anteil von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

Diesen Bruch müssen wir so erweitern, damit im Nenner am Ende 100 steht:

Der Nenner hier wird tatsächlich 100 sein (es gilt: ). Somit haben wir:

da hundertstel genau Prozent bedeutet.

Wir haben in diesem Fall tatsächlich die Prozentrechnung mit Hilfe der Schlussrechnung durchgeführt, so wie wir das gelernt haben:

        

230 Äpfel sind daher ca. 1352,94% von 17 Äpfel.


Was ist, wenn man 17% von 35 Stunden berechnen will?

17% bedeutet 17 Hundertstel. Wir müssen 35 Mal die 17 Hundertstel nehmen. Anders gesagt teilen wir die 35 Stunden in Hundert Teile und nehmen 17 davon:

17% von 35 Stunden sind daher 5,95 Stunden.

Das ist wieder genauso, wie wir den Prozess mit Schlussrechnung gelernt haben:

        

Ähnlich denkt man bei der Schlussrechnung (genauer: bei der direkten Proportionalität). Nehmen wir folgendes Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 175 Liter?
b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Für die erste Frage denkt man erst, wie viel ein Liter wiegt. Man soll also 14,7 kg durch 3,5 dividieren, um zu finden, wie viel jedes Liter wiegt. Das ist als ob man eine Schokolade hätte und wissen wollte, wie viel jedes Teil wiegt.

4,2 kg wiegt jedes Liter des Stoffes.

175 Liter wiegen dann 735 kg:

Als Schlussrechnung:

        



In der zweiten Frage muss man erst finden, wie viel Volumen ein kg hat:

Ca. 0,238 Liter ist jedes kg des Stoffes.

Das Volumen von 3850 kg ist dann ca. 917 Liter:


Nochmal als Schlussrechnung:

        



Bei der indirekten Prportionalität muss man ein bisschen anderes denken:

  • 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Wie wir schon im entsprechenden Kapitel erklärt haben, ist das keine direkte sondern eine indirekte Proportionalität. Man muss in diesem Fall herausfinden, wie viel Zeit ein Arbeiter braucht. Ein Arbeiter wird die Arbeit von allen anderen erledigen müssen und jede der 3 Arbeiter braucht 15 Stunden. Einer Arbeiter braucht daher 45 Stunden:

Wenn jetzt diese Arbeit auf 5 Arbeiter aufgeteilt wird, wird jeder ein fünftel der Arbeit erledigen müssen. Wenn alle zusammen arbeiten, dann wird die Arbeit 9 Stunden dauern:

In diesem Fall muss man also direkt gegenüber multiplizieren, wie wir das gelernt haben:

      

Kombinationsaufgaben[Bearbeiten]

  • Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% länger (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Der Wert ganz am Anfang (100%) ist hier gegeben (5 Stunden). Das wurde um 70% geschnitten, es bleiben also 100-70=30%. Schreiben wir diese Information auf:

        Stunden.

Der Film war dann den Produzenten doch zu kurz. Diesen geschnittenen Film (also die 1,5 Stunden) haben sie dann um 20% verlängern. Diese 1,5 Stunden sind daher der neue Anfangswert, also 100%! Der Wert am Ende ist daher 100+20=120% von 1,5 Stunden (vom geschnittenen Film):

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AUFGABENHEFT


        Stunden.

  • Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

Das hier ist eine Kombination von zwei Umkehraufgaben. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Sie ist um 15% länger als die erste geschnittene Version. In diesem Fall haben wir am Anfang die geschnittene Version, diese ist also 100% und wurde um 15% auf 1,61 Stunden verlängert. 1,61 Stunden sind daher 115%, der Wert am Anfang (100%) ist noch unbekannt:

        Stunden.

Der Schnitt ist 1,4 Stunden nachdem er geschnitten wurde. Die Dauer am Anfang (100%), vor dem Schnitt, ist noch unbekannt. 80% wurden geschnitten, also 100-80=20% sind nach dem Schnitt geblieben. Nach dem Schnitt (80%) war der Film 1,4 Stunden:

        Stunden.

Das Filmmaterial am Anfang (die ursprüngliche Dauer) war daher 7 Stunden!


Für Fortgeschrittene[Bearbeiten]

Es gibt einen viel schnelleren Weg um Aufgaben mit Prozentrechnung zu lösen. Nehmen wir die zwei Aufgaben aus dem letzten Kapitel.

  • Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Die Dauer nach dem Schnitt ist 100%-70%=30%. Wie am Anfang des Kapitels über Prozentrechnung erwähnt, 30% ist 0,3 ().

Wenn der Anfangswert gegeben ist, muss man mit dem Prozentsatz (als Zahl, also nicht 30, was %, also Hundertstel, ist, sondern 0,3) multiplizieren:

5·0,3=1,5 (Stunden).


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AUFGABENHEFT

Den nächsten Schritt kann man genauso machen. Nach 20% Erhöhung (aufpassen: des geschnittenen Films) haben wir .

1,5·1,2=1,8 (Stunden).

Das ganze kann man sogar in einem Schritt berechnen:

5·0,3·1,2=1,8 (Stunden).


Betrachten wir noch einmal den ersten Schritt. Wir wollen wissen, wie viele Stunden 30% von 5 Stunden sind. 30% bedeutet . Man soll daher die 5 Stunden in 100 teilen und 30 Teile davon nehmen:

(Stunden)

Der Anfangswert (Grundwert) wird daher mit 0,3 multipliziert.

Das kann man auch feststellen, wenn man die Schlussrechnung wie bisher gelernt durchführt:

      .


Aber 1,5 in der letzten Rechnung ist so viel wie 5·0,3, wie man in der ersten Rechnung sehen kann. Daher kann man in der letzten Berechnung schreiben:

Die Schlussrechnungen können durch eine einfache und schnelle Multiplikation ersetzt werden!


In der Umkehraufgabe soll man die Gegenrechnung der Multiplikation benutzen, also die Division.

  • Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Schon fertig!

Man kann auch so denken:

x⋅0,2⋅1,15=1,61         |:1,15:0,2

x=1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Wenn der Wert am Ende (der Prozentanteil) gegeben ist, muss man durch den Prozentsatz (als Zahl) dividieren.


Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt[Bearbeiten]

Umsatzsteuer (USt.)[Bearbeiten]

Denken wir an eine Flasche Wasser. Der Produzent verkauft sie dem Supermarkt für einen Preis von, sagen wir mal, 2€ und der Supermarkt will dazu 1,2€ gewinnen. Um wie viel Geld wird dann das Produkt verkauft? Man könnte denken: 2+1,2=3,2€. Das ist aber doch nicht alles. Der Staat verlangt für jedes verkauftes Gut und für jede verkaufte Leistung Steuer. Diese Steuer nennt man Umsatzsteuer (USt.). Die USt. ist in Deutschland für Grundgüter 7% und für den Rest 19%, in Österreich 10% für Grundgüter und 20% für den Rest. In anderen Staaten gibt es andere Steuersätze (5%, 13% usw.). Diese Steuer wird vom Einkäufer bezahlt und ist daher Teil des Preises. Die Flasche Wasser wird daher nicht für 3,2€ verkauft, sondern um 10% mehr (ein Getränk ist ein grundlegendes Gut, also ist die USt. 10%).

      .

       
Nettoverkaufspreis (NVP) (100%) USt.
Bruttoverkaufspreis (BVP)


Die Ware wird also um 3,52€ verkauft. Diesen Preis nennt man Bruttoverkaufspreis (BVP). Die 3,2€ (den Preis ohne Steuer) nennt man Nettoverkaufspreis (NVP). Die USt. in dieser Aufgabe ist 10% des Nettoverkaufspreises:

      .

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

BVP=NVP + USt.
      (in diesem Beispiel: 3,52=3,2+0,32 und 110%=100%+10%)

Rabatt[3][Bearbeiten]

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AUFGABENHEFT

Aus verschiedenen Gründen (z.B. wenn eine Ware nicht so leicht verkauft wird oder am Ende einer Saison) kann ein Verkäufer eine Ware billiger als für den gewöhnlichen Preis verkaufen. Das nennt man Rabatt (oder Skonto). Im vorherigen Beispiel kann der Supermarkt die Flasche Getränk um 6% billiger verkaufen. Der Preis vor dem Rabatt ist in diesem Fall 3,52€ (Wert am Anfang, 100%). Nach dem Rabatt bleibt noch 100-6=94%:

      .

       
Preis vor Rabatt (PVR) (100%)
Preis nach Rabatt (PNR) Rabatt (R)

Der Rabatt in diesem Fall ist 6% des Preises vor dem Rabatt:

      .

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

PNR=PVR-R
      (in diesem Beispiel: 3,31=3,52-0,21 und 94%=100%−6%)
  1. Ziffer sind sozusagen die Buchstaben einer Zahl
  2. in der Physik soll man Masse sagen
  3. Hier wird der Rabatt auf den Listenpreis für den Endkunden berechnet, der die USt. enthält. Anfangswert wird daher bei den folgenden Berechnungen der Bruttoverkaufspreis sein. In der Schulmathematik wird i.d.R. Rabatt genau so definiert. Das ist allerdings nicht immer der Fall bei der kaufmännischen Mathematik.

Kombination[Bearbeiten]

Gegebener Anfangswert[Bearbeiten]

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AUFGABENHEFT


  • Der Nettoverkaufspreis einer Ware ist 65€. Berechnen Sie den Verkaufspreis nach einem 12% Rabatt, wenn die USt. 12% ist.

Die Aufgabe kann man in zwei Schritten lösen. Erst den Bruttoverkaufspreis berechnen (Der Bruttoverkaufspreis, also der Preis nach USt. ist 12% mehr also 100+12=112%):

        Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Dann kann man den Preis nach dem Rabatt berechnen. Der Preis nach dem Rabatt wird 12% weniger sein, also 100%-12%=88%.

        Das ist der Preis nach dem Rabatt (PNR).

VORSICHT:

Wenn man Brutto- (BVP) und Nettoverkaufspreis (NVP) vergleicht (und USt. berechnet) ist nicht der Brutto- sondern der Nettoverkaufspreis der Grundwert (100%)

Wenn man aber Bruttoverkaufspreis (BVP) und Preis nach Rabatt (PNR) vergleicht, ist der Bruttoverkaufspreis doch der Grundwert (100%):

Bemerkung: Erhöhen und Reduzieren um den gleichen Prozentsatz[Bearbeiten]

Wie man in der letzten Aufgabe feststellen kann, wenn man den Preis um 12% erhöht und dann wieder um 12% vermindert, ist der Preis am Ende nicht gleich dem Preis am Anfang! Warum passiert das? Weil wir zwei unterschiedlichen Anfangswerte haben! Erst haben wir den Nettoverkaufspreis als Anfangswert (100%) und den Bruttoverkaufspreis als Endwert (112%). Dann ist aber der Bruttoverkaufspreis der Anfangswert (100% und nicht mehr 112%) und der Endwert der Preis nach dem Rabatt (88%).

Das ganze kann man auch wieder in einem Schritt berechnen:

65€·1,12·0,88≈64,06€ !

Man muss also immer aufpassen, welcher der Anfangswert ist!

Gegebener Endwert[Bearbeiten]

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AUFGABENHEFT


  • Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist.

Der Preis nach dem Rabatt (56,1€) ist 100%-15%=85%. Vor dem Rabatt (100%) ist er daher:

Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Der Bruttoverkaufspreis nach 10% USt. ist 66€. Das ist also 110%. Der Nettoverkaufspreis (Anfangswert) ist 100% und gesucht!

Das ist der Nettoverkaufspreis.

Das ganze kann man selbstverständlich auch in einem Schritt berechnen:

56,1€:0,85:1,1=60€

Warum gibt es Steuer?[Bearbeiten]

Der Staat verlangt für jede verkaufte Ware und für jede erbrachte Leistung Steuer. Mit diesem Steuergeld werden (im Idealfall) die verschiedenen Leistungen, die der Staat anbietet, finanziert (z.B. Schule, Polizei, Armee, Krankenhäuser).

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Die Symbole: Guthaben G0 (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G1 (Geld am Ende des ersten Jahres).

Der Begriff Zinsen hat mit den Bankinstitutionen zu tun, der Begriff KESt. mit dem Staat. Eine Bank ist eine Institution, die Geschäfte mit Geld macht. Als Privatkunde kann jede Person ihr Geld in einer Bank anlegen. Das Geld befindet sich dann auf einem sogenannten Konto. Die Bank gibt dem Kunden Zinsen, die nach einem jährlichen Prozentsatz, den sogenannten Zinssatz berechnet wird. Der Grundwert für den Zinssatz ist das Guthaben am Anfang G0. Die Zinsen werden durch die Staat versteuert. Diese Steuer, Kapitalertragssteuer (KESt.) genannt, ist im deutschsprachigem Raum ca. 25% der Zinsen und dieser Prozentsatz wird im Folgenden immer benutzt.

Es gibt verschiedene Gründe, warum die Bank jedes Jahr den Kunden Zinsen gibt. Einerseits verliert das Geld durch die Inflation (Erhöhung der Preise) an seinen Wert, andererseits erzielen die Banken durch Investitionen und Kredite einen Gewinn, der ein Vielfaches der Zinsen ist.

Wie schon erwähnt, die Zinsen werden versteuert, daher bleiben im Ḱonto nicht die ganzen Zinsen, die die Bank gibt, sonder ein Teil davon, die sogenannten effektiven Zinsen. Da die Steuer 25% ist, sind die effektiven Zinsen der Rest 75% der Zinsen, die die Bank gibt (75% ist das 0,75-fache oder der Zinsen.

Guthaben am Anfang G0 ist das Geld, das ein Privatkunde in ein Bankkonto anlegt.

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden gibt, sozusagen als Belohnung für sein Vertrauen an der Bank (und als Teil des Gewinns, den die Bank mit diesem Geld macht).

Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. In diesem Fall ist das Guthaben am Anfang (für das erste Jahr G0) der Grundwert (also 100%).

Kapitalertragssteuer KESt. ist eine Steuer auf die Zinsen. Sie wird vom Staat genommen, um Funktionen des Staates zu finanzieren. in diesem Buch wird sie immer 25% sein. Der Grundwert allerdings ist in diesem Fall nicht das Guthaben am Anfang, sondern die Zinsen Z, die die Bank dem Kunden gibt.

Effektive Zinsen eZ ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, ist das Guthaben nach einem Jahr G1 die Summe des Guthabens am Anfang G0 und der effektiven Zinsen.

Effektiver Zinssatz eZs ist ein Prozentsatz. Er ist 75% (also das 0,75-fache oder ) des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, wird das Guthaben nach einem Jahr G1 um so viel mehr Prozent als das Guthaben am Anfang G0, wie der effektive Zinssatz.


G1 = G0 + eZ Z = G0 · Zs : 100 KESt.= Z ⋅ eZs= Zs ⋅ = Zs ⋅
eZ = Z – KESt. eZ = G0 · eZS : 100 G1 = G0 · eZ= Z ⋅ = Z ⋅

Zinsen[Bearbeiten]

Wenn man Geld auf einem Konto hat, bekommt man jedes Jahr Zinsen. Die Bank benutzt das Geld vom Konto, um es zu investieren. Teil des Gewinns aus den Investitionen bekommt der Kontoinhaber als Zinsen (zu diesem Thema lernen wir mehr im Kapitel über Wachstum).


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AUFGABENHEFT

Die Zinsen werden nach einem Jahreszinssatz berechnet. Wenn man z.B. 4000€ im Konto (Anfangswert: 100%) hat und der Zinssatz 0,5%, dann bekommt man am Ende des Jahres:

        Zinsen.

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr[Bearbeiten]

Wenn man ein Bankkonto hat, bekommt man von der Bank jedes Jahr Zinsen. Diese werden vom Staat versteuert. Diese Steuer nennt man Kapitalertragssteuer (KESt.). Der Zinssatz für die Berechnung der Steuer ist ungefähr auch 25%. Das bedeutet im vorherigen Beispiel, dass ein Teil (25%) von den 20€ dem Staat (und nicht dem Kontoinhaber) gegeben wird. Wie viel Geld gelangt dann auf das Konto? In dieser Frage sind die Zinsen (und nicht das Geld am Anfang) der Grundwert (also 100%):

        KESt.

Daher bleiben auf dem Konto nicht 20€ mehr am Ende des Jahres sondern:

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        effektive Zinsen.

(nicht vergessen: ,  also 3/4 der Zinsen bleibt im Konto und 1/4 geht zum Staat als Steuer KESt.)

Diese Zinsen, die auf dem Konto bleiben, nennt man effektive Zinsen, den entsprechenden Zinssatz, effektiven Zinssatz. Man kann die effektiven Zinsen offenbar auch einfacher berechnen: eZ = Z – KESt.=20€−5€=15€

Das bedeutet dann, dass das Geld am Ende des Jahres (Guthaben G1):

G1=4000€+15€=4015€ ist.

Man kann dann als Formel schreiben:

Die Symbole: Guthaben G0 (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G1 (Geld am Ende des ersten Jahres).

G1 = G0 + eZ Z = G0 · Zs : 100 KESt.= Z ⋅ eZs= Zs ⋅ = Zs ⋅
eZ = Z – KESt. eZ = G0 · eZS : 100 G1 = G0 · eZ= Z ⋅ = Z ⋅


Effektiver Zinssatz[Bearbeiten]

Da der Zinssatz Zs und der effektiver Zinssatz eZs Prozentsätze sind, ist es oft verwirrend, wenn man den effektiven Zinssatz als Prozentanteil des Zinssatzes berechnet. Daher fangen wir mit einem Beispiel an, in dem die effektiven Zinsen berechnet werden.

In einem Konto ist das Guthaben am Anfang 4000€, der Zinssatz 5%. Berechnen sie die effektiven Zinsen!

Berechnen wir erst die Zinsen. In diesem Fall ist das Guthaben der Grundwert (Wert am Anfang, 100%).

      .

Wenn die effektiven Zinsen berechnet werden, sind sie 75% der Zinsen (hier ist der Grundwert 100% die Zinsen und nicht das Guthaben am Anfang):

      .

Wie viel % von 2000 € können diese 75 € sein?

      

Hier ist der Grundwert das Guthaben am Anfang. Da der Grundwert (100%) hier das Guthaben G0 ist (4000€), ist dieser Prozentsatz (3,75%) ein Anteil des Guthabens G0. 150€ sind die effektiven Zinsen, daher ist 3,75% der effektiver Zinssatz, also der Prozentsatz des Guthabens, der am Ende im Konto dazu bleibt. Die effektiven Zinsen sind 75% der Zinsen. Man könnte dann vielleicht denken, dass die effektiven Zinsen mit der folgenden Schlussrechnung zu berechnen wären:

      FALSCH!!

Wir wissen schon, dass die effektiven Zinsen 150€ sind. Das Ergebnis ist eindeutig falsch. Wie so? Wir haben in der Schlussrechnung schon € in der linken Spalte, Prozentsätze (%) in der rechten und das gegebene in einer Ziele. Es sollte doch richtig funktionieren. Was ist hier schief gegangen?

Die Antwort ist, dass die Prozentsätze sich auf einen unterschiedlichen Grundwert beziehen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens, die effektiven Zinsen 75% der Zinsen. In der rechten Spalte stehen nicht gleichen Sachen!

FALSCH!!

Was können wir machen, damit die Schlussrechnung doch stimmt? Einfach Prozentanteile benutzen, die sich auf den gleichen Grundwert beziehen. Eine Möglichkeit ist das Guthaben G0 als Grundwert zu benutzen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens und die effektiven Zinsen 3,75% (wie wir schon gesehen haben).

RICHTIG!!

Eine andere Möglichkeit ist, die Zinsen als Grundwert zu benutzen. Wie viel Prozent sind die Zinsen, wenn sie mit sich selbst verglichen werden? 100% selbstverständlich. Die Zinsen sind 100% der Zinsen. Wenn man eine Sache mit sich selbst vergleicht, hat man die ganze Sache, also 1, also 100%. Die effektiven Zinsen hingegen sind 75% der Zinsen:

RICHTIG!!


Jetzt ist es leichter zu erklären, wie der effektiver Zinssatz eZs direkt berechnet werden kann, wenn der Zinssatz gegeben ist. In der folgenden Schlussrechnung stehen überall Prozentanteile. An jeder Spalte werden aber die gleichen Grundwerte benutzt, daher stimmt die ganze Rechnung:

RICHTIG!!


Wurde der effektiver Zinssatz einmal so berechnet, kann man die effektiven Zinsen sofort berechnen, ohne erst die Zinsen berechnen zu müssen:

      .

Sogar das Guthaben nach einem Jahr kann sofort und ohne weitere Zwischenschritte berechnet werden. Das Guthaben am Anfang ist 100% und wird um 3,75% mehr. Daher ist das Guthaben nach einem Jahr 103,75% des Guthabens am Anfang(100+3,75=103,75):

      .

In all den letzten vier Schlussrechnungen und auch in einigen davor, wird auch der Weg für Fortgeschritten, also ohne Schlussrechnung, gezeigt (der zweite Teil der Gleichung in der Berechnung in Klammer).

Dieser hier gezeigte Weg, das Guthaben nach einem Jahr zu berechnen, ist bei den Umkehraufgaben unvermeidlich, wie im entsprechenden Kapitel gezeigt wird. Wenn der effektiver Zinssatz nicht gegeben ist, dann soll er erst berechnet werden, wie in diesem Abschnitt schon gezeigt.


Wenn in einer Aufgabe der Zinssatz gefragt und der effektiver Zinssatz gegeben ist, wird genau die gleiche Schlussrechnung, wie für den effektiven Zinssatz, (angepasst) benutzt:

RICHTIG!!


Mit diesem Wissen können auch Formeln erzeugt werden, die allerdings nicht notwendig und eher verwirrend sind, wenn man sich mit der Prozentrechnung gut auskennt (was allerdings bei solchen Aufgaben notwendig und daher unvermeidlich ist)

      .


      .


      .

usw.

Zinsen Umkehraufgaben[Bearbeiten]

Wir haben schon gelernt, wie man Umkehraufgaben löst. Wichtig ist immer den richtigen Wert als Grundwert zu benutzen. In den Umkehraufgaben ist er i.d.R. unbekannt.

In einem Konto ist das Guthaben nach einem Jahr G1 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Berechnen Sie das Guthaben am Anfang, die Zinsen Z1, die effektiven Zinsen eZ1 und die Kapitalertragssteuer KESt.1 in diesem Jahr.

In dieser Aufgabe ist es notwendig, erst den effektiven Zinssatz zu berechnen.

       (des Guthabens am Anfang).

Das Guthaben wird daher jedes Jahr nicht um 0,6% mehr (was die Bank gibt), sondern 0,45% mehr (was nach der Versteuerung und den Abzug der KESt. übrig bleibt). Daher ist das Guthaben am Ende des ersten Jahres 100%+0,45%=100,45% (100% am Anfang plus 0,45% eZs). Das Guthaben G0 am Anfang (Grundwert 100%) ist in diesem Fall gefragt:

      .

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung des Guthabens nach einem Jahr G1 gelernt haben, können wir ganz leicht die effektiven Zinsen berechnen:

()

Mit Hilfe der Schlussrechnung können wir dann die ganzen Zinsen berechnen (was die Bank gibt):

      .

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung der effektiven Zinsen eZ1 gelernt haben, können wir ganz leicht die KEST. berechnen:

Es gibt viele Wege die Umkehraufgaben zu lösen. Allerdings ist es absolut notwendig in diesen Aufgaben erst den effektiven Zinssatz zu berechnen (wenn er nicht schon gegeben ist!). Eine andere Schlussrechnung für die Berechnung der Zinsen sehen wir im Folgenden. Der Leser sollte daran denken, warum diese Berechnung stimmt (einfach daran denken, wie viel % jeder Wert ist!):

      .

Und noch ein Kommentar: Bei einer Aufgabe muss man nicht die Fragen so wie sie in der Aufgabe stehen nacheinander beantworten. Man sollte an die Zwischenschritte denken. Hier haben wir beispielsweise erst den effektiven Zinssatz berechnet (was zwar nicht gefragt wird, für die Lösung aber absolut notwendig ist). Allerdings haben wir erst die effektiven Zinsen und dann die ganzen Zinsen berechnet (obwohl in die umgekehrte Reihenfolge gefragt wird...).

Wachstums- und Zerfallsprozessen[Bearbeiten]

Allgemein[Bearbeiten]

Wachstum: Bevölkerung[Bearbeiten]

  • China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn der Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre:

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):