PSA Mathematik/ Mittelwerte

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Einführung[Bearbeiten]

In der Mathematik, besonders im Bereich der Statistik, gibt es viele sogenannten Mittelwerte. Was ist ein Mittelwert? Wenn man viele Werte (viele Zahlen, die irgendwas messen) hat, dann gibt es eine Zahl, die sich irgendwie in der Mitte dieser Werte befindet. Das ist ein Mittelwert. Es gibt aber verschiedene „Mitten“, also verschiedene Wege um diese Mitte zu berechnen, je nachdem wie das Problem ist. Drei von diesen Wegen werden wir hier lernen, den Durchschnitt, den Median und den Modalwert.

Durchschnitt[Bearbeiten]

Fangen wir mit einem Beispiel an:

  • Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie?

Um diese Frage zu beantworten, soll man erst die ganze Ernte berechnen, also die Teilernten addieren. Dann wird die ganze Ernte auf die Anzahl der Familien geteilt. So wird jede Familie gleich so viele Kirschen bekommen. Das Ergebnis nennt man Durchschnitt.

  (das sind kg)

Jede Familie bekommt dann ca. 57,86 kg.


Den Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) mehrerer Werte berechnet man, indem man ihre Summe durch ihre Anzahl (wie viele Werte wir haben) dividiert:

Median[Bearbeiten]

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Ein Beispiel!

  • Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 48, 52, 54, 65, 65, 76

(ALLE Werte schreiben, also zwei oder mehr mal schreiben, wenn der Wert mehrmals vorkommt; jeden Wert muss man schreiben, so oft wie er vorkommt)


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AUFGABENHEFT

Der Wert in der Mitte ist 54. Es gibt 3 Werte links und 3 Werte rechts. Also 54 ist genau in der Mitte. Daher ist 54kg der Median!



Was ist aber, wenn die Anzahl der Werte eine gerade Zahl ist, wenn wir z.B. 12 Werte haben (12 ist eine gerade Zahl) und nicht 7 wie vorher (7 ist eine ungerade Zahl). Wenn man 7 Werte hat (oder irgendeine andere ungerade Zahl) dann gibt es genau eine Zahl in der Mitte. Bei gerader Anzahl der Werte gibt es doch 2 Zahlen in der Mitte. In diesem Fall wird als Median der Wert definiert, der genau zwischen den beiden Zahlen in der Mitte steht, also der Durchschnitt der beide Zahlen. Schauen wir ein Beispiel an!

  • Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 45, 45, 48, 52, 52, 65, 65, 65, 69, 76, 78

(ALLE Werte schreiben, also jeden Wert schreiben, so oft wie er vorkommt)

Hier gibt es zwei Werte in der Mitte, 52 und 65. Der Median ist genau in der Mitte also die beide Werte addieren und durch 2 dividieren:

Modus[Bearbeiten]

Der Modus (auch Modalwert genannt) von mehreren Werten ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Ein Beispiel!

  • Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 63kg, 48kg, 76kg, 52kg, 63kg, 45kg. Wie viel ist der Modalwert?

Hier kommt 63 zwei mal vor, alle andere Werte kommen nur einmal vor. Daher ist 63kg der Modus.



Was ist aber, wenn mehrere Werte öfters vorkommen? Noch ein Beispiel!

  • Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg.

Hier kommt 45 drei mal vor, 65 drei mal vor, 52 zwei mal vor und die restlichen Werte nur ein mal vor. 45 und 65 kommen am öftesten vor. Daher sind sie beide Modalwerte. 52 hingegen kommt nicht so oft vor wie 45 und 65 (also „nur“ zwei mal), daher ist 52 kein Modalwert. Es gilt also:

Modalwerte (Modi): 45kg und 65kg


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Vergleichen von Mittelwerten[Bearbeiten]

Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man über eine eher gleichmäßiger Verteilung sprechen. Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. (Vorausgesetzt, dass alle Werte positiv sind)

Um zu verstehen, was das bedeuten soll, schauen wir folgende vier Säulendiagramme an:

Im EU Raum wird meistens Deutsch als Muttersprache gesprochen (ca. 90 Millionen). Der Median steht zwischen Ungarisch und Griechisch und ist in diesem Fall ca. 13 Millionen. Wenn jede Sprache von der gleichen Anzahl von Personen gesprochen wurde (Durchschnitt), wären es 31 Millionen Menschen pro Sprache. Der Durchschnitt (31 Millionen) liegt hier ca. 2,4 mal über den Median (13 M.).

In Indien wird vor allem Hindi gesprochen (500 Millionen). Der Median liegt zwischen Assemesisch und Panjabi mit ca. 24 Millionen. Der Durchschnitt ist in diesem Fall ca. 53 Millionen und ist ca. 2,2 mal so viel wie der Median.

Auf der ganzen Welt kommt Chinesisch als die meist gesprochene Muttersprache vor (900 Millionen) Median ist hier das Deutsch mit ca. 94 Millionen. Der Durchschnitt der hier dargestellten Sprachen ist 172 Millionen pro Sprache und ist damit ca. 1,8 mal so viel wie der Median.

In der zufälligen Verteilung in einer Schule ist Türkisch die meist gesprochene Sprache (63 Schül.). Der Median liegt zwischen Französisch und Arabisch (49,5 Schül.). Der Durchschnitt ist 44,5 Schül. und ist damit sogar kleiner als der Median (ca. 0,9 mal so viel).

Wenn die verschieden Diagramme verglichen werden, wird festgestellt, dass ungleichmäßige Diagramme (wo es weniger großen Werte gibt und viele kleinere) eine größeren Durchschnitt als der Median haben. Je ungleichmäßiger das Diagramm, desto größer der Unterschied zwischen Durchschnitt und Median. Das ist also mit dem ersten Satz dieses Kapitels gemeint: Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man über eine eher gleichmäßiger Verteilung sprechen. Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Allerdings, wenn es negative Werte gibt, die die größeren Werte ausgleichen, gilt diese Regel nicht mehr.

Ein gutes Beispiel solcher Unterschiede ist die Vermögensverteilung in Europa und in der Welt. In Europa ist die Ungleichmäßigkeit in Deutschland und Österreich ziemlich ausgeprägt, wie ein Studium der europäischen Zentralbank gezeigt hat.

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