PSA Mathematik/ Umformen

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
INDEX
zum vorherigen G2-Niveau Thema ZUM VORHERIGEN G2-NIVEAU THEMA ANFANG DES Alle G2-Niveau Themen G2-ABSCHNITTS ZUM NÄCHSTEN G2-NIVEAU THEMA zum nächsten G2-Niveau Thema


Die Gegenrechnungen[Bearbeiten]

Wenn Vassili Saskia drei Äpfel gibt, dann hat er danach noch fünf Äpfel. Wie viele Äpfel hatte er vorher?

Wie kann man diese Aufgabe in der mathematischen Sprache schreiben? Das Gefragte (wie viele Äpfel) kann man mit irgendeinem Symbol als Stellvertreter für die noch unbekannte Zahl schreiben. Zumeist wird als Symbol oder Stellvertreter ein Buchstabe verwendet.
Man legt zum Beispiel fest: Sei x die Anzahl der Äpfel vor der Aktion.
Es ist immer wichtig, präzise festzulegen, was genau mit dem Symbol gemeint ist, sonst ist es nachher schwierig, das Ergebnis der Rechnung zu verstehen.

Wenn Vassili drei Äpfel weggibt, dann hat er weniger Äpfel als zuvor, es geht um eine Subtraktion. Von den x Äpfeln am Anfang sind drei Äpfel zu subtrahieren. Dass dann noch fünf Äpfel bleiben, bedeutet:

x−3=5

Man kann durch Probe feststellen, dass Vassili anfangs acht Äpfel hatte. Es gibt aber in der Mathematik einen geschickteren Weg, die Aufgabe zu lösen. Man benutzt die sogenannte Gegenrechnung. Bei allen Gleichungen gibt es zwei Teile, ein Teil links vom „=“ und ein Teil rechts vom „=“. Bringt man einen Term von einer Seite zur anderen, dann muss man die Gegenrechnung benutzen.

Die Gegenrechnung der Subtraktion ist die Addition und umgekehrt:

Wenn x−3=5 ist, dann kann man die 3 auf die andere Seite bringen und statt minus die Gegenrechnung (plus) benutzen:

x=5+3       also x=8

Bei der Aufgabe c+4452 = 341 bringt man 4452 auf die andere Seite und benutzt die Gegenrechnung von minus. Die Lösung ist daher:

c= 341−4452 also c = −4111

Die Gegenrechnung der Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

3f=114

Zwischen 3 und f steht nichts. In Mathematik besteht die Konvention, wenn zwischen zwei Ausdrucken (zum Beispiel einer Zahl und einem Symbol, einer Klammer und einer Zahl und so weiter) nichts steht, dann ist Multiplikation gemeint (einzige Ausnahme: die gemischten Zahlen). Man soll 3 auf die andere Seite bringen und die Gegenrechnung von mal (also durch) benutzen:

f=114:3 und daher f = 38. Man kann auch einen Bruch statt einer Division benutzen:

Entsprechend ist die Gegenrechnung der Division die Multiplikation:

   also k:5 = 11 und daher k = 11 · 5

k = 55

Was ist aber die Gegenrechnung vom Quadrat?

Die Gegenrechnung von Quadrat ist die sogenannte „Wurzel“:

z² = 81 also z =   und daher z=9

9 ist die Zahl, deren Quadrat 81 ist, daher ist die Wurzel von 81 gleich 9.
Doch Obacht!
Auch -9 ist eine Zahl, deren Quadrat 81 ist.
Die Gegenrechnung ist folglich nicht eindeutig.
Es ist daher notwendig, beide Lösungen zu betrachten und zu beurteilen, was sinnvoll ist.

Selbstverständlich ist die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat.

= 13 also m = 13² und daher m=169


zum vorherigen G2-Niveau Thema ZUM VORHERIGEN G2-NIVEAU THEMA ENDE DES Alle G2-Niveau Themen G2-ABSCHNITTS ZUM NÄCHSTEN G2-NIVEAU THEMA zum nächsten G2-Niveau Thema


zum vorherigen V-Niveau Thema ZUM VORHERIGEN V-NIVEAU THEMA ANFANG DES Alle V-Niveau Themen V-ABSCHNITTS ZUM NÄCHSTEN V-NIVEAU THEMA zum nächsten V-Niveau Thema


Kombinationen[Bearbeiten]

Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der Variable auf eine Seite bringen.
Im Folgenden werden alle Terme mit der Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht. Schauen wir ein Beispiel an:

5x − 7 = 3x + 11

Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).

5x − 7 − 3x = 11

7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):

5x − 3x = 11 + 7

Das Ganze kann man in einem Schritt machen:

5x − 7 = 3x + 11

5x − 3x = 11 +7

2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).

Navigation
Inhaltsverzeichnis
INDEX
AUFGABENHEFT

Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:

x = und daher x = 9


Man kann das ganze auch so erklären:

5x − 7 = 3x + 11

Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)

5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x

2x − 7 = 11

Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.

2x − 7 = 11      | +7

2x − 7 + 7 = 11 + 7

2x = 18

Jetzt bleibt nur die Division:

2x = 18      | :2

x = 18 : 2      (Man kann auch    schreiben)

x = 9

Navigation
Inhaltsverzeichnis
INDEX
AUFGABENHEFT

Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x+7

2x = 18      | :2

x =  

x = 9

Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

− 5y = −10 | : (−5)

y=2

Das Gleichheitszeichen in Umformungen[Bearbeiten]

Die Gegenrechnungen und den ganzen Vorgang beim Umformen nennt man auch Äquivalenzumformungen.

Im Kapitel über die Grundrechenarten haben wir gelernt, dass das Gleichheitszeichen auch in Kettengleichungen benutzt werden kann. Das ist in der Regel nicht der Fall bei Äquivalenzumformungen. Wie wir gesehen haben, wird jeder Schritt nacheinander gemacht und die Gleichung (mit so vielen Gleichheitszeichen wie am Anfang, also hier mit einem Gleichheitszeichen) wieder darunter geschrieben. Jeder Schritt wird an den Rand geschrieben und in jedem Teil der Gleichung (hier rechts und links des Gleichheitszeichens) durchgeführt.

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y

4y + 21 − 15y + −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

Es ist falsch zu schreiben:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

Die beiden Teile sind doch nicht gleich: 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y.
Wenn man die Gleichungen nebeneinander schreiben will, gibt es ein anderes Zeichen dafür, den doppelten Folgepfeil:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y ⇔ 4y − 15y + 6y = 11 − 21

Diese Schreibweise wird allerdings nur in fortgeschrittener Mathematik und nur unter bestimmten Bedingungen benutzt.


zum vorherigen V-Niveau Thema ZUM VORHERIGEN V-NIVEAU THEMA ENDE DES Alle V-Niveau Themen V-ABSCHNITTS ZUM NÄCHSTEN V-NIVEAU THEMA zum nächsten V-Niveau Thema