PSA Mathematik: Arbeiten mit Termen E1A

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Herausheben[Bearbeiten]

Herausheben ist das Gegenteil von Klammer-Auflösen. Man hat einen Term ohne Klammer und versucht in den Summanden die gemeinsamen Teilterme zu finden, die dann außerhalb der Klammer bleiben. Die restlichen Terme bleiben dann als Summanden in der Klammer:

  • 6x⁷ – 14x² + 10x³=?    Heben Sie heraus!

(das ist allerdings das gleiche Beispiel, wie in Klammer auflösen, nur in die Gegenrichtung).

Die kleinste Hochzahl von x ist 2. Jeder Summand hat daher ein x² drinnen. Außerdem kann man die Zahl in jedem Summand durch 2 teilen. Also jeder Summand hat daher eine 2 drinnen. 2x² ist daher das gemeinsame Element, es bleibt außerhalb der Klammer:

6x⁷ – 14x² + 10x³= 2x² · (3x⁵-7+5x)

Wie haben wir die Teilterme in der Klammer gefunden?

6x⁷ : 2x² = 3x⁵,    14x² : 2x² = 7,    10x³ : 2x² = 5x !


Bei den Hochzahlen wählt man die kleinste Hochzahl. Wenn eine Variable bei einem Summand nicht vorkommt, dann kann man sie nicht herausheben. Bei den Zahlen kann man erst die Primfaktorzerlegung durchführen und dann die gemeinsamen Faktoren herausheben:

  • 45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = ?

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷    =    3·3·5 b⁴y²n⁷ – 2·3·5 y⁵n⁹ – 3·5·5 b⁸y⁸n⁸ + 3·5·7 b y n⁷

Hier haben wir die PFZ gemacht. Überall kommt 3 und 5 zumindest einmal vor, b kommt im zweiten Summand nicht vor (daher kann man b nicht herausheben), die kleinste Hochzahl von y ist 1 (y=y¹) und von n 7. Man kann also „3“, „5“, „y“ und „n⁷“ herausheben:

3·5 y n⁷ · (...?...) = 15yn⁷ · (...?...)

Was bleibt jetzt in der Klammer? Wir dividieren jeden Teilterm (Summand) mit dem herausgehobenen Teilterm (15yn⁷):

45b⁴y²n⁷ : 15yn⁷ = 3b⁴y          30y⁵n⁹ : 15yn⁷ = 2y⁴n²
75b⁸y⁸n⁸ : 15yn⁷ = 5b⁸y⁷n          105 b y n⁷ : 15yn⁷ = 7b

also:

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = 15yn⁷ ( 3b⁴y – 2y⁴n² – 5b⁸y⁷n+ 7b )

Binomische Formeln[Bearbeiten]

Allgemein kann man die binomischen Formeln als eine Art mathematisches Spiel wahrnehmen, dass auf die höhere Mathematik vorbereitet.


Es gibt drei binomische Formeln:

  • Die Plusformel:
(a+b)²   =   a² + 2ab + b²
  • Die Minusformel:
(a-b)²   =   a² -2ab +b²
  • Die Plusminusformel:    
(a+b) (a-b)   =   a² – b²


Warum (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, kann man leicht feststellen, wenn man die Potenz auf ihre Faktoren zerlegt und die Klammern aus multipliziert:

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba +b² = a² + 2ab + b²

Ähnlich kann man die anderen Formeln zeigen:

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba +b² = a² – 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² + ab – ba – b² = a² – b²


Nun die Aufgaben, die mit binomischen Formeln zu tun haben, gehen davon aus, dass man die binomische Formeln schon kann und an der Stelle von a und b andere Terme stehen:

  • Plusformel: (3d+5)²     Hier haben wir statt a 3d und statt b 5.
(a + b)² = + 2 a b +
(3d + 5)²   =  (3d)²  +   2   (3d)   (5)   +   5² 
= 9d² + 30d + 25


  • Minusformel: (c – 4x)² Hier haben wir statt a c und statt b 4x.
(a b)² = 2 a b +
(c 4x)²   =  (c)²  −   2   (c)   (4x)   +   (4x)² 
= 8cx + 16x²


  • Plusminusformel: (5u + 2v) (5u – 2v) Hier haben wir statt a 5u und statt b 2v.
(a + b)² (a b) =
(5u + 2v)²   ⋅  (5u)  −   2v   =   (5u)²   −   (2v)² 
= 25u² 4v²


Besonders wichtig sind die binomischen Formeln bei den Umkehraufgaben:

36x² – 60ax +25a²=?

Hier ist gefragt, den Term als Quadrat eines sogenannten Binoms oder als Produkt von Faktoren (in Klammern) zu schreiben. Man kann sofort beobachten, dass es drei Summanden gibt, drei Teilterme: 36x², 60ax, 25a². Dadurch kann man sofort die Plusminus Formel ausschließen (da gibt es nur zwei Terme: a²-b²). Da es am mittleren Term ein Minus gibt, findet man sofort, dass es um die Minusform geht. Die quadratischen Terme sind 36x² und 25a². Wenn man sich ein bisschen mit den Quadratzahlen auskennt, weiß man, dass 36 das Quadrat von 6 und 25 das Quadrat von 5 ist. Also kann 36x² nur das Quadrat von 6x und 25a² von 5a sein. Der mittlere Term sollte dann 2·6x·5a sein, was auch tatsächlich stimmt ( 2·6x·5a=60ax). Daher gilt:

36x² – 60ax +25a² = (6x – 5a)²


Noch ein Beispiel:

121d² – 4t²

Das kann nur die Plusminusform sein, weil sie die einzige ist, die nur zwei Teilterme hat. Daher:

121d² – 4t² = (11d + 2t) (11d – 2t)

Bemerkung: die ersten sogenannten Quadratzahlen sind:

1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²), 36 (=6²), 49 (=7²), 64 (=8²), 81 (=9²), 100 (=10²), 121 (=11²), 144 (=12²).

Das pascalsche Dreieck: Binompotenzen mit höherer Hochzahl[Bearbeiten]

Im Kapitel über die binomische Formeln wurde impliziert, dass jeder Term mit zwei Summanden „Binom“ genannt wird. Beispiele:

ist dann kein Binom mehr (drei Summanden).  (Hier wird der erweiterte Begriff von Summand benutzt: a+b-c ist die Summe der drei Terme „a“, „b“ und „−c“)

Wir haben bisher nur Binompotenzen mit 2 als Hochzahl gesehen. Es gibt Binompotenzen höheren Grades, also mit einer höheren Hochzahl aus dem Bereich der natürlichen Zahlen:

Bei der Erklärung der binomischer Formeln haben wir das Auflösen von Klammern benutzt. Bei wäre so was schon komplizierter, bei höheren Hochzahl schon ziemlich kompliziert. Um diese Ausdrücke ohne Klammer zu schreiben (Ausmultiplizieren), gibt es einen viel einfacheren Weg, das pascalsche_Dreieck.

Das pascalsche Dreieck

Mit Hilfe dieses Dreiecks, kann man die sogenannten Koeffizienten der entstehenden Summanden leicht berechnen. In der Animation kann man eine Erklärung des Aufbaus des Dreiecks sehen:

PascalTriangleAnimated2.gif

Das ganze Dreieck ist ein (gleichschenkliches) Zahlendreieck. Die Basis erweitert sich ständig, die Schenkel bestehen aus lauter Einser. Die erste zwei Zeilen sind ein gleichschenkliches Zahlendreieck mit 1 an jedem Eckpunkt.

PascalAnfang.png

Für die nächste Zeile schreibt man an den Rändern 1 und für die innere Zahlen addiert man immer jeweils zwei nebenstehenden Zahlen der vorherigen Zeile. Für die dritte Zeile hier schreibt man an den Rändern 1 und in der Mitte addiert man die zwei Einser von oben (Ergebnis 2):

Die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks

Die vierte und die fünfte Zeile (und alle weitere Zeilen) entstehen in der gleichen Weise:

Die ersten vier Zeilen des Pascalschen Dreiecks
Die ersten fünf Zeilen des Pascalschen Dreiecks

Wie kann man jetzt ausmultiplizieren?

Man schriebt eine Summe mit 4 Summanden (einen mehr als die Hochzahl des Binoms, hier ein mehr als 3). Jeder Summand besteht aus dem Produkt von a und b mit einer absteigende Hochzahl für a und eine aufsteigende Hochzahl für b. Die erste Hochzahl für a ist die Hochzahl des Binoms (hier 3 absteigend), für b ist sie Null (aufsteigend bis 3):

Wir benutzen dann die vierte Zeile des Dreiecks. Sie hat so viele Zahlen, wie die Anzahl der Summanden (4):

Diese Zahlen werden die Koeffizienten der Summanden sein:

Wenn im Binom Plus steht (a+b), dann steht Plus zwischen allen Summanden. Wenn im Binom Minus steht (a-b), dann alternieren sich plus und minus in der Summe. Berücksichtigen wir auch folgende Tatsachen: und , dann ergibt sich:

und

zusammengefasst:

Für kann man dann genau in der gleichen Weise das Binom leicht ausmultiplizieren. Hier hat man fünf Summanden, also muss die fünfte Zeile des pascalschen Dreiecks benutzt werden (1 4 6 4 1):

Wenn also das Binom (3d−2c)3) ausmultipliziert werden soll, dann wird der Ausdruck für (a−b)3 und an der Stelle von a → 3d benutzt (und an der Stelle von b → 2c).

also

Bruchterme kürzen[Bearbeiten]

Die Kenntnisse dieses Kapitels kann man benutzen, um Bruchterme zu kürzen. Zuerst vereinfacht man die Terme sowohl oben (im Zähler) als auch unten (im Nenner), dann hebt man heraus, was man herausheben kann (oben und unten) und am Ende schaut man nach, ob eine binomische Formel vorhanden ist (wieder oben und unten, im Zähler und im Nenner). Am Ende, wenn man Produkte im Zähler und im Nenner hat, kann man kürzen, wenn es möglich ist: Nehmen wir beispielsweise folgenden Bruchterm:

  • Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler;  ist so viel wie ): 

  • Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen. Das geht hier nur unten; der Term im Klammer   ist nach der Minus binomische Formel gleich . Daher ergibt sich der Bruch: 

  • Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann: 

Das Ergebnis ist daher: