PSA Mathematik: Geometrie der Ebene VA

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Umformen in der Geometrie[Bearbeiten]

Bei manchen Aufgaben muss man die Formel umformen, z.B.:

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Seite und die Fläche!

In der Formelsammlung findet man die Formel für den Umfang eines Quadrats:

u=4a

Hier ist der Umfang gegeben, man braucht die Seite. Zwischen 4 und a steht nichts, also ist mal gemeint. Die Gegenrechnung von mal ist durch und der Umfang ist 12, also:

   Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

  also

a=3 cm

Die Formel für die Fläche, die man auch in der Formelsammlung finden kann ist dann:

  also  

Ähnlichkeit von Figuren[Bearbeiten]

SpitzdreiSpitzdrei

Wenn wir die beiden Bilder oben vergleichen, können wir sagen, dass es das gleiche Dreieck ist, nur von einem anderen Abstand gesehen oder, dass wir doch zwei verschiedene Dreiecke haben, die zwar ähnlich zueinander sind aber doch nicht das gleiche Dreieck, da die Seiten nicht gleich sind. Um auf diesen Unterschied aufmerksam zu machen, wird beim Vergleich zwei geometrischen Figuren nicht das Wort "gleich" (und "nicht gleich") benutzt, sondern die Worten "ähnlich" (und "nicht ähnlich") und "kongruent" (und "nicht kongruent").

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Seitenanzahl haben und alle entsprechenden Winkel gleich zueinander sind. Wenn dazu zumindest eine Seite (und daher auch alle andere) der beiden Figuren gleich ist, dann sagt man, dass die Figuren kongruent sind.

Das Wort "gleich" wird bei geometrischen Figuren nicht benutzt, weil es dann nicht klar ist, ob nur alle Winkel oder doch auch alle Seiten gleich sind.

Bei ähnlichen Figuren gilt, dass das Verhältnis entsprechender Seiten eine Konstante Zahl ist. Wenn wir die Seiten aus dem Bild benutzen, wird es klar, was damit gemeint ist. Nehmen wir die Seite b aus dem Bild links und die entsprechende Seite b' aus dem Bild rechts. Verhältnis in Mathematik bedeutet Bruch. Der Bruch der beiden Seiten ist dann . Werden die beiden Seiten in irgendeiner Weise gemessen, wird dann festgestellt, dass der Bruch ca. 1,5 ist. Es gilt also: .

Wenn wir ein anderes Paar von entsprechenden Seiten nehmen, wird das Verhältnis (der Bruch) wieder 1,5 sein: .

Das Verhältnis (der Bruch) von entprechenden Seiten (z.B. oder ) ist eine konstante Zahl, hier 1,5. Das gilt genauso für das dritte Paar von entsprechenden Seiten: .

Diese Regel gilt nicht nur in Dreiecken sondern in allen geometrischen Figuren, die ähnlich sind. Im folgenden Bild sieht man verschiedene Figuren. Alle Figuren mit der gleichen Farbe sind ähnlich.

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Strahlensatz[Bearbeiten]

Die Ähnlichkeit von Figuren findet Anwendung im sogenannten "Strahlensatz".

Deutsch Strahlensatz eins.svg

Nehmen wir zwei geraden, die einander am Schnittpunkt Z schneiden, wie die Geraden BB' und AA' im Bild links. Diese Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander Geraden AB und A'B' geschnitten. So entstehen zwei ähnliche Dreiecke, ABZ und A'B'Z. Da die Dreiecke ähnlich sind, gilt:

Diese Formel zeigt, was bei der Ähnlichkeit von Figuren behauptet wurde: Das Verhältnis (der Bruch) von entsprechenden Seiten bleibt konstant.

Der Strahlensatz findet zahlreiche Anwendunge in Physik und Mathematik. Hier erwähnen wir "nur" seine Anwendung bei der Vermessung des Abstandes zwischen Mond und Erde und bei der geometrischen Erzeugung einer Dezimalzahl auf einer Zahlgerade.

Eine Bemerkung dazu: Das erste in der Geschichte bekanntes Buch, in dem Geometrie als auf wenigen Sätzen aufgebautes geordnetes Wissen dargestellt wird, ist das Werk "Elemente" von Euklid. In diesem Werk wird erst der Strahlensatz bewiesen und dann auf die Ähnlichkeit von Figuren angewendet.

Satz von Pythagoras[Bearbeiten]

Der Satz von Pythagoras lautet:

In einem rechtwinkeligem Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Der Satz gilt daher nur bei Dreiecken, die einen rechten Winkel haben.

Selbstverständlich versteht man den Satz viel besser, wenn man eine Figur sieht:

Rechtdreieck.png
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Inhaltsverzeichnis
INDEX
AUFGABENHEFT

Die Seiten an der rechten Winkel nennt man Katheten (im Bild mit a und b), die Seite gegenüber Hypotenuse(im Bild mit c).


Obwohl der Satz nach dem griechischen Philosoph Pythagoras genannt wird, wurde er nicht von ihm entdeckt. Der Satz wurde zumindest 1000 Jahre früher benutzt. Es gibt Tontafel aus Babylonien, die sogenannte pythagoräische Tripeln beinhalten. Eine pythagoräische Tripel sind drei Zahlen, die den Satz von Pythagoras erfühlen.


Nehmen wir drei Zahlen: 2, 3 und 4. Sind diese eine pythagoräische Tripel? Die größte Zahl sollte die längste Seite sein, die Hypotenuse, also c. Hier ist es die Zahl 4. Dann wären die Katheten 2 und 3. Die entsprechenden Quadrate der Katheten sind 2²=4 und 3²=9, ihre Summe 4+9=13. Das Quadrat der Hypotenuse wäre 4²=16. Es Gilt 2²+3²≠4² (13 ist nicht gleich 16!). Das bedeutet: Es gibt kein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten 2 und 3 und dessen Hypotenuse 4 Einheiten (z.B. Meter) sind.

2,3 und 4 sind daher keine Pythagoräische Tripel. Wie ist es mit 3, 4 und 5? Sind diese Zahlen eine Pythagoräische Tripel?     3²+4² = 25   aber auch 5² = 25.  Es gilt also: 3²+4²=5².  Das bedeutet nicht nur, dass es ein rechtwinkeliges Dreieck gibt, dessen Katheten 3 und 4 und dessen Hypotenuse 5 Einheiten ist, sondern auch umgekehrt, dass ein Dreieck, dessen Seiten 3, 4 und 5 Einheiten sind, einen rechten Winkel haben muss!


In den Aufgaben muss man aufpassen. Wenn die Katheten angegeben sind und die Hypotenuse gefragt, dann kann man die gegebene Formel benutzen:

  • Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Katheten 6 und 8 cm lang. Berechnen Sie die Hypotenuse!

a²+b² = c²     wobei a=6 und b=8 also

6²+8² = c²   →  36+64=c²  →  100 = c²  →  c=√100=10(cm)


Wenn aber die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind, dann muss man die Formel erst umformen:

  • Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die eine Kathete 21mm und die Hypotenuse 29mm lang. Berechnen Sie die andere Kathete!

a²+b²=c²    |− a²

b² = c²−a²    also    b² = 29²−21² = 400     und

b=√400=20(mm)