Plattenbeulen/ Beulen nach beiden Normen und Modelle/ Untersuchung der Formeln

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Überführung des Eurocodewichtungsfaktors zur DIN[Bearbeiten]

Beim Plattenbeulen sind DIN und Eurocode sehr ähnlich. Beim knickstabähnlichen Verhalten kommen DIN und Eurocode zu unterschiedlichen Ergebnissen. Die Formeln für die Interaktion sind inhaltlich die Gleichen, aber sie sehen völlig anders aus. Die Wichtungsfaktoren ρ oder ξ sind entgegengesetzt definiert. ρ= 1 - ξ.

(DIN 18800-3 Gleichung 24)
Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.13

Um die Gleichungen vergleichen zu können, werden die Eurocodezeichen in DIN-Zeichen konvertiert.

ρc= κpx Interaktion
χc= κk knickstabähnliches Verhalten
ρ= κ Beulen
ξ= ρ Wichtungsfaktor

Diese beiden Gleichungen lassen sich noch nicht in die jeweilige andere umwandeln. Der Grund ist, dass DIN und Eurocode entgegengesetzter Meinung sind, was Beulen und Knicken ist. Was im Wichtungsfaktor in der DIN reines Beulen ist, ist im Eurocode reines Knicken.
Deshalb muss folgendes vorgenommen werden:

ρ:= 1 - ρ

Setzt man in die Eurocodegleichung ein, so erhält man:

κpx= (κ - κk)∙ (1 - ρ)∙(2 - 1 + ρ) + κk zusammenfassen
κpx= (κ - κk)∙ ( 1 - ρ )∙(1 + ρ) + κk Binomische Formel
κpx= (κ - κk)∙ (1² - ρ² ) + κk Klammer auflösen
κpx= κ ∙1 - κ∙ ρ² - κk∙1 + κk∙ρ² + κk zusammenfassen κk entfällt
κpx= κ - κ∙ ρ² + κk∙ρ² κ ausklammern
κpx= κ∙(1 - ρ²) + κk∙ρ² sortieren
κpx= (1 - ρ²)∙κ + ρ²∙κk

Damit kann gezeigt werden, dass DIN und Eurocode auf unterschiedlichem Weg zum gleichen Ziel führen.


Wirksame Breiten[Bearbeiten]

Was das Thema wirksame Breiten angeht, haben DIN 18800 Teil 2 und Eurocode völlig verschiedene Formeln. Beide haben einen Abminderungsfaktor, der die Bruttobreite zu einer wirksamen Breite reduziert. Der Abminderungsfaktor nach der DIN ist:

(DIN 11800-2 Gleichung 81)

Die Gleichung ist laut DIN nur gültig für Schlankheiten > 0,673. Für kleinere Werte ist κ = 1.

Der Abminderungsfaktor nach dem Eurocode ist:

(Eurocode Gleichung 4.2)

Für ein Randspannungsverhältnis ψ= 1 lässt sich die eine Gleichung in die andere überführen. Dazu müssen Zähler und Nenner der DIN-Gleichung mit multipliziert werden und dann ergibt 0,055∙(3 + 1)= 0,22.

Die DIN 18800-2 bietet aber auch eine Formel, in der ψ vorkommt. Sie ist in Tabelle 27 enthalten. Sie lautet:

Für ψ= 1 lässt sich die Formel in Gleichung 81 überführen. Der zweite Summand (0,16 + 0,06∙ψ) ist mit dem Eurocode 0,055∙(3 + ψ) gerundet identisch. Zusätzlich zum Eurocode ist die 1 durch (0,97 + 0,03∙ψ) ersetzt. Dadurch sinkt die mitwirkende Breite gegenüber dem Eurocode, je niedriger das Spannungsverhältnis ψ ist. Bei Biegung tragen daher 6% weniger mit als im Eurocode.

Die Bruttobreiten im Eurocode 1993-1-5 Bild A1 berechnen sich auf diese Weise:

(oben)
(unten)

Oben ist dort, wo die Druckspannung größer ist.

In der DIN 18800-2 sind die mitwirkenden Breiten in dieser Formel enthalten:

b´= ρ∙b∙k

Entfernt man ρ, so erhält man b´= b∙k. k ist aus der Tabelle zu entnehmen.

(oben)
(unten)

Für ψ= 1 liefern DIN und Eurocode 0,5. Außerdem gilt trivialer Weise in beiden Normen:

b= binf + bsup

Für ψ= 0 unterscheiden sich beide Normen in 0,02. Beim Eurocode kann ψ nicht unter 0 sinken, da nur druckbeanspruchte Querschnittsteile abgemindert werden. In dem Lehrbuch wird dies auch für die DIN übernommen.

In der DIN gehören zu den Steifen die wirksamen Breiten. Im Eurocode sind es die Bruttobreiten. Damit liegt die DIN auf der unsicheren Seite, da die Steifenfläche später in den Nenner eingeht.


Negative wirksame Breiten in der DIN[Bearbeiten]

Die DIN 18800 Teil 2 enthält umfangreiche Formeln für die wirksame Breite. Die DIN 18800 Teil 3 enthält eine einfache Gleichung dafür. Mit dieser Gleichung (4) ist es für die wirksamen Breiten möglich auf negative Werte zu kommen.

Die Gleichung lautet:

(DIN 18800-3 Gleichung 4)

Die vorhandene Breite bik steht im Nenner. Wird bik klein, so wird der Nenner groß. Eins minus eine große Zahl ergibt eine negative Zahl. Wie lassen sich die negativen Zahlen erklären? Die DIN macht zur Formel keine Einschränkungen, außer dass die wirksame Breite nicht größer sein darf, als die vorhandene. Diese Bedingung wird bei negativen Breiten nicht verletzt.

Dazu wird die Gleichung nach Herrn Habermanns [9] Skript hergeleitet.

[kN/cm²]

σxpi= kσx∙σe Es wird eine gleichmäßige Druckspannung angenommen. Dadurch ist kσx= 4.

σxpi= 4∙σe
einsetzen
wird durch λpa ersetzt.
λa wird ausgeklammert.
ik= κx∙ bik
λp wird eingesetzt.
bik kürzen und zusammenfassen.

Schaut man sich die Gleichung in der DIN an, so sieht man, dass die vorhandene Breite einmal im Nenner steht. Eine kleine Breite im Nenner bewirkt, dass der Quotient groß wird. Dieser negative Summand kann so groß werden, sodass er den anderen Summanden 1 übersteigt. Dadurch kommt eine negative Zahl heraus. Die Ursache liegt im Term κx.

Die Gleichung ist im Diagramm angegeben. Auf der x-Achse ist die Schlankheitaufgetragen und auf der y-Achse κk. Im rechten Diagramm ist aufgetragen, wie es sich auswirkt, wenn die wirksame Breite auf die vorhandene Breite beschränkt wird. Das Problem negativer Breiten ist nicht gelöst.

ohne Begrenzung des Abminderungsfaktors
mit Begrenzung des Abminderungsfaktors


Jetzt kommt die Lösung. Die Gleichung ist erst ab 0,6732 gültig.

ik= κx∙ bik

bei < 0,6732 ist κx= 1 und somit b´ik=bik Die 0,6732 ist die Lösung einer quadratischen Gleichung

λp > λa∙ 0,6732
λa und λp werden durch ihre Formeln ersetzt.

Nach dem Zusammenfassen muss die vorhandene Breite diese Mindestgröße haben:

Ist die Mindestgröße unterschritten, so ist die volle Breite anzusetzen.

Die Formel für die Mindestbreite wird in den Rechenbeispielen nicht verwendet. Stattdessen wird eine Formel aus der DIN 18800-2 verwendet, weil diese das Randspannungsverhältnis berücksichtigt.


Herleitung der λ-Berechnungsformeln[Bearbeiten]

Im Eurocode gibt es eine handliche Formel zur Berechnung der Schlankheit, während man in der DIN einen Formelapparat auswerten muss. Dies ist in der DIN jedoch nicht notwendig, sodass der Formelapparat zu einer Formel zusammengefasst werden kann.

Zuerst werden die Gleichungen des Eurocodes hergeleitet.
Allgemein gilt:

mit und
= E und π kürzen

Dann entsteht diese bekannte Formel:

[N/mm²] σe wird in eingesetzt.


Die Formelzeichen bedeuten folgendes
fyk= charakteristische Streckgrenze des Stahls
b = Länge des Bleches
t = Dicke des Bleches
kσ = Beulwert
= Beulschlankheit aus Biegung
= Schubbeulschlankheit


Im Eurocode gibt es ε

fyk wird in eingesetzt.
Die Wurzel wird gezogen.

Der Term gilt für Schubspannung. Für Normalspannung muss er weggelassen werden. Damit entstehen diese Gleichungen in dem Eurocode:

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

Um diese Gleichungen auch in der DIN benutzen zu können, muss die richtige Streckgrenze eingearbeitet werden. ε wird als Hilfsgröße eingeführt.

Damit gilt:

für Normalkraft (Hergeleitete Formel 1)
für Querkraft (Hergeleitete Formel 2)

Diese hergeleiteten Formeln werden in den Rechenbeispielen verwendet, da die Sache mit dem richtigem σe und dem zugehörigem Formelapparat sehr umständlich ist.


Wirkungsweise von η und Flanschbonus[Bearbeiten]

Beim Schubbeulen mobilisiert der Eurocode deutlich mehr Tragfähigkeit als die DIN. Bei gedrungenen Querschnitten gibt es den Faktor η, der die Tragfähigkeit um bis zu 20% steigert. η ist auch im Abminderungsfaktor enthalten. Zusätzlich trägt ein nicht vollständig ausgelasteter Flansch mit.

Es gelten:

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.1)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)

Vergleicht man die beiden Terme und so stellt man fest, dass sie sich nur durch χ und η unterschieden. Für w < 0,833/η gilt: χw= η Das bedeutet, dass gedrungene Stege 20% mehr Tragfähigkeit haben. Bringt der Flansch noch Tragfähigkeit hinzu, so steigert sie sich nicht, da die Spannung begrenzt. Ist > 0,833/η, so kann der Flansch einen Teil der durch χw verlorenen Tragfähigkeit wiederherstellen.


Einfluss der Schlankheit auf die wirksame Breite[Bearbeiten]

Der Einfluss der Schlankheit lässt sich direkt aus der Formel ablesen

beff= hw∙ ρ (wirksame Breite = Breite mal Abminderungsfaktor)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)

Dies ist eine gebrochenrationale Funktion des Typs

mit - 0,22< a < 0

Im Diagramm ist die Kurvenschar dieser Funktion abgebildet von ψ=1 bis ψ= - 3.

BeulenDiaSchlankheit.png

Abminderungsfaktor in Abhängigkeit von der Schlankheit. Kurvenscharparameter ist ψ.

Die Schlankheit ist ebenfalls vom Randspannungsverhältnis ψ abhängig. Allerdings können die anderen Parameter, von denen die Schlankheit abhängig ist, so gewählt werden, dass die Schlankheit unabhängig von ψ ist. Für ψ = - 3 ist ρ umgekehrt proportional zur Schlankheit.

Die Formel in der DIN unterscheidet sich nur im Randspannungsverhältnis.

(DIN 18800-2 Tabelle 27)

Dies ist eine gebrochenrationale Funktion des Typs:

Das Thema Randspannungsverhältnis wird später noch genauer untersucht.

ψ wirkt auf zweifache Weise günstig.
Zum einen mindert es die Schlankheit und zum anderen erhöht es den Abminderungsfaktor ρ und somit die wirksame Breite.
Der Einfluss der Stegdicke und ε auf die wirksame Breite wird nicht gesondert untersucht, da die Schlankheit umgekehrt proportional zur Stegdicke und ε ist.


Einfluss der Steghöhe auf die wirksame Breite[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird hergeleitet, wie viel wirksame Breite von einem Beulfeld übrig bleibt.

Eurocode[Bearbeiten]

Im Eurocode gelten diese Formeln:

beff= hw∙ ρ
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
kσ= f(ψ) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)

Daraus soll eine Funktion der wirksamen Breite in Anhängigkeit von der Steghöhe werden.

beff= f(hw)
Die Gleichung wird umgeformt
wird eingesetzt
beff= hw∙ ρ
(Hergeleitete Formel 3)

Für einen unendlich hohen Steg ergibt sich die maximal wirksame Breite.

hw gegen ∞
Hyperbel f(x)= a-b/x Kampfbeiwert Text

Für reine Druckspannung ψ=1 vereinfacht sich die Formel auf:

Für reine Biegung ψ= - 1 entsteht diese Formel:

Beide Gleichungen sind eine Funktion (Hyperbel) des Typs

DIN[Bearbeiten]

In der DIN gelten diese Formeln:

(DIN 18800-2 Tabelle 27)
(Hergeleitete Formel 1)

Daraus soll eine Funktion der wirksamen Breite in Anhängigkeit von der Steghöhe werden.

beff= f(hw) Zuerst wird ρ umgeformt
wird eingesetzt
(Hergeleitete Formel 4)

Für einen unendlich hohen Steg ergibt sich die maximal wirksame Breite.

hw gegen ∞


Für reine Druckspannung ψ=1 vereinfacht sich die Formel auf

Diese Gleichung stimmt mit dem Eurocode exakt überein. Die Zahlen sehen etwas anders aus, weil ε anders definiert ist.
Eurocode ε= DIN ε=

Für reine Biegung ψ= - 1 entsteht diese Gleichung

Der Typ ist der gleiche, nur die Konstanten sind anders.


Einfluss des Randspannungsverhältnis ψ auf die wirksame Breite[Bearbeiten]

Es werden die langen hergeleiteten Formeln aus dem vorherigen Abschnitt verwendet. Der Beulwert kσ ist vom Randspannungsverhältnis abhängig. kσ ist von - 3 bis 1 definiert.

kσ= f(ψ) und besteht aus 3 Teilen.
kσ= 8,2/(ψ + 1,05) für 1> ψ > 0 Typ:Hyperbel
kσ= 7,81 - 6,29∙ψ + 9,78∙ψ² für 0> ψ > - 1 Typ:Parabel
kσ= 5,98 - 11,96∙ψ + 5,98∙ψ² für - 1> ψ > - 3 Typ:Parabel
kσ= 5,98∙ (1 - ψ)² für - 1> ψ > - 3 alternative Schreibweise

So sehen die 3 Funktionen aus.

BeulenDiaRandspannung.png Beulwertfunktionen in Abhängigkeit vom Randspannungsverhältnis.

Flickt man alle 3 Funktionen zusammen, so erhält man kσ in Abhängigkeit des Randspannungsverhältnisses.

BeulenDiaRandspannung2.png Beulwert in Abhängigkeit vom Randspannungsverhältnis

Kurvendiskussion
Die Funktion hat keine Nullstelle, keine Extrempunke, keine Wendepunkte, keine Polstellen und keine Asymptote und ist monoton fallend und ist immer größer als 4. Ein Wurzelziehen ist daher problemlos möglich.

Die wirksame Breite nach dem Eurocode

Hergeleitete Formel 3
Summanden der Funktion f(ψ)= a ∙f(ψ)0,5 – (ψ + b)∙ f(ψ)x zweiheitliche Formel

kσ kann nur als f(ψ) in die Funktion eingesetzt werden. Der Term (3 + ψ) wird Null bei ψ= - 3, sonst ist er immer positiv. Die wirksame Breite lässt sich daher nicht einfach auf einen elementaren Funktionstyp zurückführen. Die Funktion hat den Typ:

Die Funktion besteht aus 2 Summanden. Der negative Summand besitzt ein lineares Glied, das eine Nullstelle besitzt. Er wird bei kleinen Schlankheiten groß. Wird eine zu kleine Schlankheit gewählt, so wird die Summe negativ.

Für - 1 > ψ > - 3 vereinfacht sich das Ganze zu:

Hier gibt es ein Problem:
(1 - ψ)²= (ψ - 1)²
Welche Wurzel ist die richtige?

Aus dem Diagramm von wird die Steigung abgelesen und diese muss mit dem Ergebnis der Wurzel übereinstimmen. Die Steigung ist negativ.

kσ= 2,4454∙(1 - ψ)

Dieser Term kann nun in die große Gleichung eingesetzt werden.

Damit ist eine kubische Funktion mit dominierendem Linearsummand entstanden. Der lineare Summand dominiert umso mehr, je schlanker das Beulfeld ist.

f(ψ)= a∙(1 - ψ) - b∙(3 + ψ)∙(1 - ψ)²

Der kubische Anteil besitzt 3 Nullstellen und zwar bei ψ= - 3; ψ= 1 und ψ= 1. Die doppelte Nullstelle bedeutet, dass der kubische Anteil dort keine Steigung hat, also ein Minimum.

Und so sieht die Funktion im Diagramm aus. Schlanke Beulfelder haben natürlich weniger mitwirkende Breite. Dieser Effekt wurde wegdividiert, um die unterschiedlichen Kurvenformen betonen zu können. Die wirksame Breite ist fast proportional zur Stegdicke (Proportionalität liegt vor, wenn beide Linien übereinander liegen).

BeulenDiaRandspannung3.png Einfluss des Randspannungsverhältnisses auf die wirksame Breite für ψ < -1

Zusammenfassend lässt sich sagen:
Je niedriger das Randspannungsverhältnis ist, desto mehr Breite wirkt mit. Bei sehr schlanken Stegen besteht dort fast ein linearer Zusammenhang. Bei einem Randspannungsverhältnis von ψ= - 3 (aber nicht bei ψ=1) ist die wirksame Breite proportional zur Stegdicke, für andere Stegdicken nur fast proportional.

Und so sieht das vollständige Diagramm aus. BeulenDiaRandEuro.png Einfluss von ψ auf die wirksame Breite nach dem Eurocode für alle ψ

Die wirksame Breite ist in Meter angegeben. Es wurden die Parameter aus dem ersten Rechenbeispiel verwendet: hw= 2,3m; tw= 7mm und ε=1. Für den Vergleich mit dickem Steg wurden 20mm statt 7mm verwendet. Die Formel liefert für dicke Stege wirksame Breiten, die größer sind, als die vorhandene. In diesem Fall ist die Bedingung für die Schlankheit in der Formel für ρ verletzt, sodass die wirksame Breite auf die vorhandene Breite gesetzt wurde (horizontale blaue Linie im Diagramm). Die Vergleichs-Linie für den dicken Steg wurde mit 7/20 multipliziert, sodass man sehen kann, dass die mitwirkende Breite nicht vollständig proportional zur die Stegdicke ist. Ein halb so dicker Steg trägt etwas mehr als die Hälfte.

Vergleich mit der DIN

Hergeleitete Formel 4

Die Formel der DIN unterscheidet sich nur wenig vom Eurocode. Es kommt ein Faktor (0,97 + 0,03ψ) hinzu. Der Faktor (0,16 + 0,06ψ) kann negative Werte im Definitionsbereich erreichen. Für ψ < - 1 besteht zwischen der wirksamen Breite und dem Randspannungsverhältnis weiterhin ein kubischer Zusammenhang.

Die wirksame Breite in Abhängigkeit vom Randspannungsverhältnis. BeulenDiaRandDIN.png Einfluss von ψ auf die wirksame Breite nach der DIN für alle ψ Es gibt kaum Unterschiede zum Eurocode.

Welche Norm bringt mehr wirksame Breiten?
Der Eurocode bringt immer mehr wirksame Breiten als die DIN. Bei schlanken Beulfeldern mit sehr niedrigem Randspannungsverhältnis sind die wirksamen Breiten sogar bis zu 13 % breiter. In der DIN 18800-3 gibt es eine andere Formel. Sie enthält zusätzlich den Faktor c. c= MIN(1,25;1,25 - ψ) Damit erlaubt die DIN gegenüber dem Eurocode um bis zu 25% höhere Spannungen.

BeulenDiaEuroDIN.png Verhältnis der wirksamen Breite nach Eurocode und DIN


Vergleich der Abminderungsfaktoren für Schubbeulen[Bearbeiten]

Nach dem Eurocode gilt:

und für (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)

und nach der DIN gilt:

(DIN 18800-3 Tabelle 1)

Auf der x-Achse ist die Schlankheit aufgetragen und auf der y-Achse der Abminderungsfaktor. BeulenDiaSchubbeulen.png Abminderungsfaktor für Schubbeulen nach beiden Normen in Abhängigkeit von der Schlankheit

Der Eurocode liegt für große und kleine Schlankheiten immer über der DIN. Für unendlich große Schlankheiten liefert der Eurocode 1,631 Fache Werte.

Für kleine Werte ist der Abminderungsfaktor 1,2 , also größer als 1. Das liegt an η.


Einfluss der Steghöhe hw auf die Stegtragfähigkeit[Bearbeiten]

Eurocode
Nach dem Eurocode errechnet sich die Stegtragfähigkeit mit dieser Formel:

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)

Mit und für

Daraus soll eine Funktion der Stegtragfähigkeit in Abhängigkeit von der Höhe werden.

Vbw,Rd= f(hw)

Zuerst muss der Definitionsbereich eingegrenzt werden:

nach hw umstellen

hw > 1,08∙37,421∙t∙ε∙kτ
hw > 40,4∙t∙ε∙kτ

Es wird folgende Annahme getroffen:

a ~ hw

Dadurch ist der Schubbeulwert gleich.

Nun zur Herleitung der Funktion.

χ wurde eingesetzt und dann wird umgeformt.
wird eingesetzt und Konstanten zusammengefasst.

Das ist eine gebrochenrationale Funktion (genauer Hyperbel) des Typs:

Funktion f(x)= x/(a∙x+b) Kampfbeiwertformel

Solche Funktionen haben eine Nullstelle im Ursprung und eine Polstelle. Die Polstelle liegt aber nicht im Definitionsbereich. Die Funktion ließe sich noch auf diesen Typ vereinfachen.

Dieser Typ darf nicht mit f(x)= a - bx verwechselt werden. Allerdings hat man dann viele Konstanten doppelt drin.


DIN
Nach der DIN errechnet sich die Stegtragfähigkeit mit dieser Formel:

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)
Mit und : (Hergeleitete Formel 2)

Zuerst muss der Definitionsbereich eingegrenzt werden:

nach hw umstellen

Es wird folgende Annahme getroffen: a ~ hw Dadurch ist der Schubbeulwert gleich.

Nun zur Herleitung der Funktion.

χ wurde eingesetzt und dann wird umgeformt.
wird eingesetzt und Konstanten zusammengefasst.
umformen
Die Zahlen werden zusammengefasst.

Hier geschieht etwas sehr Seltsames: hw kürzt sich heraus


Das ist eine konstante Funktion des Typs: f(x)= c

Das bedeutet, dass in der DIN die Querkrafttragfähigkeit eines Steges unabhängig von der Höhe ist. Bei einem Knickstab verringert sich die Tragfähigkeit quadratisch in Abhängigkeit von der Höhe.

Zahlenbeispiel
Es werden die Parameter aus dem ersten Rechenbeispiel gewählt:

tw= 0,007m
Stahl = S235
kτ= 7,856

Eurocode

hw > 40,4∙t∙ε∙(kτ)0,5
hw > 40,4∙0,007∙1∙ 2,8028
hw > 0,7926m
[MN]

Der Grenzwert ist

DIN

hw > 31,09∙t∙ε∙(kτ)0,5
hw > 31,09∙0,007∙1∙ 2,8028
hw > 0,60997m
Vbw,Rd= 17,949∙ fyk∙ t²∙ ε∙ (kτ)0,5
Vbw,Rd= 17,949∙240∙0,007²∙1∙2,8028/1,1
Vbw,Rd= 0,538MN

Dies lässt sich in einem Diagramm zusammenfassen. Auf der x-Achse ist die Steghöhe hw in Meter aufgetragen und auf der y-Achse die Stegtragfähigkeit in MN. BeulenDiaSteg.png Schubtragfähigkeit in Abhängigkeit von der Steghöhe
Nach dem Eurocode gilt: Je höher der Steg, desto mehr kann er tragen, obwohl er nicht dicker wird. Gegenüber der DIN trägt der Steg nach dem Eurocode bis zu 77% mehr.


Schneller Schubbeulnachweis nach der DIN
Dadurch, dass sich hw heraus gekürzt hat, ist es nach der DIN möglich mit nur einer einzigen Formel sofort den Schubbeulnachweis zu führen.

(Hergeleitete Formel 5)

Für überschlägliche Berechnungen ist er sehr gut geeignet, da er immer auf der sicheren Seite liegt und unempfindlich gegen irrsinnige Werte ist. Der Nachweis ersetzt nicht den einfachen Querkraftnachweis.


Einfluss des Quersteifenabstandes a auf die Stegtragfähigkeit[Bearbeiten]

Der Quersteifenabstand hat nur Einfluss auf den Schubbeulwert.

kτ= 4 + 5,34∙(hw/a)² für hw /a>1

Für den anderen Fall sind die 4 und 5,34 zu vertauschen.

Funktion f(x)= (ax² + b)0,5 /x Berechnung des Schadens

Für beide Fälle ist dies eine Funktion des Typs

Dieser Typ lässt sich auch umschreiben zu

Nach der DIN gilt

Vbw,Rd= 17,949∙ fyd∙ t²∙ ε∙ kτ
kτ geht mit der Wurzel ein.

Damit entsteht dieser Funktionstyp

Das ist eine Hyperbel dividiert durch x.

mögliche Hyperbelformen

Erläuterung: Begriff Hyperbel Eine Hyperbel lässt sich mit 3 verschiedenen Funktionstypen beschreiben.

(häufigster Typ)

Durch Drehen und Verschieben des Koordinatensystems lässt sich die eine Formel in die andere überführen.

Für die Anzahl der Quersteifen bedeutet das Folgendes: Baut man statt keiner Quersteifen wenig Quersteifen ein, so verändert sich der Beulwert fast nicht. Fügt man zu vielen Quersteifen weitere hinzu, so ist die Stegtragfähigkeit nahezu proportional zur Quersteifenanzahl und die Schlankheit ist fast proportional zum Steifenabstand.

Für den Eurocode sieht das deutlich komplizierter aus. Der Schubbeulwert geht in die Schlankheit ein. Für den Abminderungsfaktor gibt es mehrere Formeln. Daraus lässt sich kein Funktionstyp herleiten.

Daher wird jetzt die Stegtragfähigkeit in Abhängigkeit vom Steifenabstand a für beide Normen im Diagramm aufgetragen. BeulenKKTDiaSteifenabstand.png Schubtragfähigkeit in Abhängigkeit vom Steifenabstand Kampfkraftformel für dreiheitliche Flotten

Der Steg ist 2,3m hoch, 7mm dick und besteht aus S235.

Bei kurzem Steifenabstand dominiert deutlich die Charakteristik des Abminderungsfaktors. Bei sehr großem Steifenabstand zeigt sich bei der DIN das Annähern an die Asymptote der Hyperbel/X. Der Eurocode zeigt ebenfalls dieses Verhalten.



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: Allgemeiner Lösungsweg ; EuroB ;DINS ;Euros ;DINB ;Untersuchung der Formeln