Punktmengentopologie/ Inneres, Äußeres und Rand, der Abschluss

Definition (Inneres, Äußeres und Rand):

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$ eine Teilmenge. Ein Punkt $x\in X$ ist

• innerer Punkt von $A$ genau dann, wenn der Nachbarschaftsfilter $\phi _{x}$ von $x$ eine gänzlich in $A$ enthaltene Menge enthält
• äußerer Punkt von $A$ genau dann, wenn der Nachbarschaftsfilter von $x$ eine gänzlich von $A$ disjunkte Menge enthält
• Randpunkt von $A$ genau dann, wenn jede Menge von $\phi _{x}$ sowohl Punkte aus $A$ als auch aus $A^{c}$ enthält

Definition (Abschluss):

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$. Der Abschluss von $A$, geschrieben ${\overline {A}}$, ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen, die $A$ enthalten.

Satz (Der Abschluss ist die Vereinigung von inneren und Randpunkten):

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$. Dann ist ${\overline {A}}$ die Vereinigung aller inneren und Randpunkte von $A$.

Beweis: Zunächst bemerken wir, dass die Menge aller äußeren Punkte offen und von $A$ disjunkt ist. Natürlich kann sich kein äußerer Punkt in $A$ befinden, weil sonst $x\in A$ ja in jeder Menge des Nachbarschaftsfilters enthalten wäre. Ferner wählen wir für jeden äußeren Punkt $x$ die Menge $U_{x}$ als die Vereinigung (um hier das Auswahlaxiom zu vermeiden) aller offenen Umgebungen von $x$, die von $A$ disjunkt sind. Dann gilt, dass die Menge der äußeren Punkte identisch ist mit der Menge

$\bigcup _{x{\text{ äußerer Punkt}}}U_{x}$

ist, da ja jedes Element dieser Menge auch äußerer Punkt ist, weil ein $y\in U_{x}$ mit $U_{x}$ selbst eine von $A$ disjunkte Umgebung besitzt. Da die Einteilung in innere, äußere und Randpunkte eine Partitionierung ist, enthält die Vereinigung von inneren und Randpunkten also den Abschluss von $A$.

Umgekehrt sei $B\supseteq A$ abgeschlossen. Dann sind alle Punkte in $X\setminus B$ äußere Punkte von $A$, mit der Umgebung $X\setminus B$. Also ist die Vereinigung von inneren und Randpunkten im Abschluss von $A$ enthalten. $\Box$