Riemannsche Geometrie/ Definitionen

Definition (Riemannsche Metrik):

Es sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Eine Riemannsche Metrik ist eine Familie von Skalarprodukten

$g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$, wobei $p\in M$ reicht,

sodass $p\mapsto g_{p}$ ein glattes Tensorfeld auf $M$ ist.

Definition (Riemannsche Mannigfaltigkeit):

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Paar $(M,g)$, wobei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist und $g$ eine Riemannsche Metrik darauf.

Definition (Kovariante Ableitung):

Es sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $\nabla$ eine Verbindung darauf und $\gamma :[a,b]\to M$ eine glatte Kurve. Eine kovariante Ableitung entlang von $\gamma$ ist eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung

${\frac {D}{dt}}:{\mathcal {X}}_{\gamma }(M)\to {\mathcal {X}}_{\gamma }(M)$,

welche zusätzlich zur $\mathbb {R}$-Linearität die folgenden beiden Axiome erfüllt:

1. ${\frac {D}{dt}}X(t)=\nabla _{\gamma '(t)}X(t)$
2. ${\frac {D}{dt}}(fX)(t)=(Xf)(t)X(t)+f(t){\frac {D}{dt}}X(t)$ (Leibnizregel)

Motivation

Die Begriffswelt der Geometrie hat sich von anschaulichen Gegenständen hin zu abstrakten Verallgemeinerungen entwickelt. Daher ein paar Bemerkungen aus der Physik-Ecke, um die Sache nicht sofort wegzuklicken.

Gekrümmte Objekte wie Kugeln oder (nicht allzu raue) Kartoffelflächen sind Modelle für (differenzierbare) Mannigfaltigkeiten. Das sind Mengen M, die lokal wie ein offenes Stück eines Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ aussehen. Um jeden Punkt $p\in M$ herum gibt es eine Karte, bijektive Abbildung zwischen M und einer Umgebung in $\mathbb {R} ^{n}$. Problem: Wie bei Kugelkoordinaten reicht eine Karte nicht. Der Nord- und Südpol und ein Sprung im Winkel nach einer Runde um den Äquator zerstören das wohlige Gefühl. Es gibt also einen Atlas aus (vielen) Karten, die sich überlappen. Im Schnittgebiet ist jeweils die Umrechnung von einem Koordinatensystem zum nächsten ein Diffeomorphismus, eine bijektive glatte Abbildung zwischen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$. Dazu kommt noch, dass die Diffeomorphismen kompatibel sein müssen, wenn drei Karten sich überlappen.

An jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit M haftet die Menge aller Tangenten-Richtungen am Punkt p. Das ist ein Vektorraum derselben Dimension wie M und isomorph zum $\mathbb {R} ^{n}$. Die Menge heißt $T_{p}M$. Die Vereinigung aller Tangentialräume heißt $TM$ und kann wieder als eine Mannigfaltigkeit gesehen werden, von der doppelten Dimension 2n. Ein Vektor $X\in T_{p}M$ wird synonym als eine Richtungsableitung interpretiert. Eine reelle Funktion $f:M\to \mathbb {R}$ bekommt mit Xf(p) eine Ableitung in Richtung X zugewiesen. In Koordinaten auf einer Karte $(x^{1}...x^{n}):Xf=\sum _{i}X^{i}\partial _{i}f(p)$. Xf ist die beste lineare Approximation für die Veränderung von f längs einer Kurve, die auf der Mannigfaltigkeit in Richtung X läuft.

Die Sache wird heikel, wenn statt reeller Funktionen vektorwertige (allgemein tensorwertige, wenn nicht sogar spinorwertige) Funktionen auf der Mannigfaltigkeit studiert werden. Zum Beispiel Vektorfelder, also Abbildungen $Z:M\to TM$ so dass $Z(p)\in T_{p}M\;\forall p\in M$. Dann ist die Matrix aller partiellen Ableitungen, in Karten-Koordinaten $\{\partial _{i}Z^{k}\}$ nämlich kein geometrisches Objekt mehr! Bei Kartenwechsel schleichen sich greuliche Terme ein. Will man eine linear angenäherte Verschiebung von Vektoren so definieren, dass sie überall gleich berechnet werden kann, dann kommen neuartige kovariante Ableitungen ins Spiel mit Rechenregel $D_{i}Z^{k}=\partial _{i}Z^{k}+\Gamma _{ij}^{k}Z^{j}$ ; also eine lineare Verdrehung der Vektorkoordinaten wird zugefügt. Man muss eine neue Struktur auf der Mannigfaltigkeit einführen, die affiner Zusammenhang genannt wird. Sie liefert in Koordinaten die nötigen Gamma-Symbole, wird aber möglichst abstrakt, koordinatenfrei, axiomatisiert. Daher die Definition 3.

Es war eine Priorität, auf krummen Objekten auch Längen und Winkel messen zu können, zumindest lokal in jeder platten Umgebung. Dazu wird jeder Tangentialraum mit einer bilinearen Funktion, dem Skalarprodukt, ausgestattet, welchen natürlich glatt (beliebig differenzierbar) von Punkt zu Punkt variiert. So eine Struktur ist das Paradebeispiel eines Tensors. Er wird bei Koordinatenwechsel sauber mit Faktoren aus der Jacobi-Matrix transformiert und macht keine Zicken wie die naiven partiellen Ableitungen. Ein massiver Vorteil des metrischen Tensorfeldes wird es sein, dass damit automatisch eine genau passende kovariante Ableitung entsteht.

Ein Leitmotiv der Geometrie ist es, die Strukturen, so gut es geht, unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem zu beschreiben. Nachteile von koordinatenfreien Definitionen sind manchmal die nötigen technischen Verrenkungen. Nachteile von koordinaten-behafteten Definitionen sind die hässlichen Wälder von Indizes und die Notwendigkeit, die Koordinaten-Unabhängigkeit beweisen zu müssen.

Die Ideen von Riemann und Nachfolgern, die sorgsam die Koordinaten zu einen technischen Vehikel heruntergestuft haben, waren später auch entscheidend in der Physik. Die Allgemeine Relativitätstheorie hat sich darauf berufen und wurde erdacht mit dem Axiom, dass alle Koordinatensysteme gleich schlecht oder gut sind.