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Fragen[Bearbeiten]

Verständnisfragen[Bearbeiten]

Verständnisfrage: Hast du den Artikel verstanden?

Ich hoffe mal, die Antwort war Ja.

Normale Fragen[Bearbeiten]

Question: Was ist der Sinn des Lebens?

Die Antwort auf diese Frage lautet natürlich „42“!

Definitionen[Bearbeiten]

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion mit ist stetig an der Stelle , wenn für alle Folgen mit und gilt:

Beispiele[Bearbeiten]

Example (stetige Funktionen)

und sind stetig.

Sätze[Bearbeiten]

Einfacher Satz[Bearbeiten]

Theorem (Bernoullische Ungleichung)

Für alle reellen Zahlen und alle natürlichen Zahlen gilt:

Satz mit Beweis[Bearbeiten]

Theorem

Sei eine beschränkte Funktion und eine Zerlegung des Intervalls . Dann gilt

Proof

Es gilt:

Satz mit anderen Elementen[Bearbeiten]

Theorem (Titel des Satz)

Nisi reprehenderit similique impedit neque assumenda fugit amet ut. Alias quidem voluptas non quaerat autem.

Eum quod et quia quod illum earum hic perspiciatis. Dolor veniam ut et. Consequuntur dolorem et voluptatem repudiandae.

Example (Titel des Satz)

Accusantium iure enim quia praesentium. Quia velit occaecati omnis facere rerum eos iste. Voluptas ratione sit rem et fugit autem ullam illum. Labore a laudantium omnis voluptatem ut inventore. Aliquid quidem et nam tempore repellendus possimus.

Summary of proof (Titel des Satz)

Maiores vero laudantium expedita dolore possimus quia. Veritatis asperiores consectetur enim esse nesciunt saepe laboriosam. Ex sit asperiores aut.

How to get to the proof? (Titel des Satz)

Architecto molestias et quaerat sequi. Qui qui sed et et. Possimus porro et iste et. Voluptatibus unde velit aut commodi. Possimus aspernatur ut labore quasi et molestias dolorem.

Proof (Titel des Satz)

Quia corrupti rerum provident mollitia. Vero doloremque velit voluptatum. Beatae esse et iste occaecati quod corporis numquam. Sunt et perferendis nulla. Qui quisquam tempora commodi voluptate eligendi nobis vel sint. Expedita totam harum numquam ducimus.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Einfache Übungsaufgabe[Bearbeiten]

Exercise (Aufgabe 1+1)

Was ist 1+1?

Übungsaufgabe mit allen Parameter[Bearbeiten]

Exercise (Titel des Satz)

Nisi reprehenderit similique impedit neque assumenda fugit amet ut. Alias quidem voluptas non quaerat autem.

Eum quod et quia quod illum earum hic perspiciatis. Dolor veniam ut et. Consequuntur dolorem et voluptatem repudiandae.

Summary of proof (Titel des Satz)

Maiores vero laudantium expedita dolore possimus quia. Veritatis asperiores consectetur enim esse nesciunt saepe laboriosam. Ex sit asperiores aut.

How to get to the proof? (Titel des Satz)

Architecto molestias et quaerat sequi. Qui qui sed et et. Possimus porro et iste et. Voluptatibus unde velit aut commodi. Possimus aspernatur ut labore quasi et molestias dolorem.

Proof (Titel des Satz)

Quia corrupti rerum provident mollitia. Vero doloremque velit voluptatum. Beatae esse et iste occaecati quod corporis numquam. Sunt et perferendis nulla. Qui quisquam tempora commodi voluptate eligendi nobis vel sint. Expedita totam harum numquam ducimus.

Solution (Titel des Satz)

Quia corrupti rerum provident mollitia. Vero doloremque velit voluptatum. Beatae esse et iste occaecati quod corporis numquam. Sunt et perferendis nulla. Qui quisquam tempora commodi voluptate eligendi nobis vel sint. Expedita totam harum numquam ducimus.

Gruppenaufgabe[Bearbeiten]

Exercise (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Sei definiert durch die Zuordnungsvorschrift:

Beweise folgende Aussagen:

  1. Zeige, dass auf stetig, streng monoton wachsend und injektiv ist.
  2. Zeige, dass surjektiv ist.
  3. Begründe, warum die Umkehrfunktion existiert und bestimme die Zuordnungsvorschrift von explizit. Zeige, dass stetig und streng monoton wachsend ist.

Solution (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Solution sub-exercise 1:

... Lösung Teilaufgabe 1 ...

Solution sub-exercise 2:

... Lösung Teilaufgabe 2 ...

Solution sub-exercise 3:

... Lösung Teilaufgabe 3 ...

Beweise[Bearbeiten]

Beweis mit Titel[Bearbeiten]

Proof (Eindeutigkeit der Null)

Sei zwei reelle Zahlen mit der Eigenschaft der Null. So gilt .

Beweis ohne Titel[Bearbeiten]

Proof

Sei zwei reelle Zahlen mit der Eigenschaft der Null. So gilt .

Beweiszusammenfassungen[Bearbeiten]

Summary of proof (Satz vom Minimum und Maximum)

Repellat qui molestiae eum occaecati qui dolorum voluptatem et. Cumque perferendis autem sed libero molestiae eum. Itaque quo architecto maiores optio quia sunt quis.

Alternative Beweise[Bearbeiten]

Alternative proof (Eindeutigkeit der Null)

Quia non rerum illum incidunt nostrum porro optio. Illo atque qui animi. Architecto ab minima voluptas consequatur iure itaque non. Blanditiis impedit quia officiis nulla sapiente sed voluptatibus voluptas. Sunt sed et reprehenderit iure.

Lösungen[Bearbeiten]

Solution (Eindeutigkeit der Null)

Voluptatem est et dolorem. Et quod quasi et quod corrupti. Voluptate aut dolor est ut voluptatem mollitia repellat voluptates. Veritatis id nesciunt ut quo. Quia rerum dolorum est.

Lösungsweg[Bearbeiten]

How to get to the proof? (Satz 1+1=2)

Quia non rerum illum incidunt nostrum porro optio. Illo atque qui animi. Architecto ab minima voluptas consequatur iure itaque non. Blanditiis impedit quia officiis nulla sapiente sed voluptatibus voluptas. Sunt sed et reprehenderit iure.

Hinweise[Bearbeiten]

Hint

Veniam vitae est nostrum non dicta voluptatem sit debitis. Eius minima quam qui accusamus illum vitae consectetur quaerat. Omnis incidunt expedita molestiae ut reiciendis.

Warnungen[Bearbeiten]

Warning

Voluptatem est et dolorem. Et quod quasi et quod corrupti. Voluptate aut dolor est ut voluptatem mollitia repellat voluptates. Veritatis id nesciunt ut quo. Quia rerum dolorum est.

Zitate[Bearbeiten]

„Das Symbol bedeutet also zweierlei:

  1. Die Folge der Partialsummen.
  2. Im Falle der Konvergenz den Grenzwert .“

– Otto Forster in „Analysis 1“[1]

Formatierungen in Beweisen[Bearbeiten]

Beweis mit Fallunterscheidung[Bearbeiten]

Theorem (Multiplizität)

Es ist .

Proof (Multiplizität)

Fall 1: und beliebig

Es ist .

Fall 2: beliebig und

Es ist .

Fall 3: und

Es folgt und damit .

Fall 4: und

Es folgt und damit . Wegen ist . Somit haben wir .

Fall 5: und

Es folgt und damit . Wegen ist . Somit haben wir .

Fall 6: und

Es folgt und damit .

Beweis mit Beweisschritten[Bearbeiten]

Theorem (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also

Proof (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)

Proof step:

Für ist .

Proof step:

Nach der Definition des Betrags folgt aus , dass ist. Nun impliziert die beiden Ungleichungen und . Damit folgen aus die beiden Ungleichungen und . Nach Multiplikation von der Ungleichung mit erhalten wir . Damit haben wir die beiden Bedingungen und . Mit der Antisymmetrie der Kleiner-Gleich-Relation („Aus und folgt “) erhalten wir .

Vollständige Induktion[Bearbeiten]

Theorem whose validity shall be proven for the :

1. Base case:

1. inductive step:

2a. inductive hypothesis:

2b. induction theorem:

2b. proof of induction step:

Einbindbare Inhalte[Bearbeiten]

Labeled Section Transclusion[Bearbeiten]

Theorem (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen und für alle ist:

Proof (Geometrische Summenformel)

Es ist

Test Section[Bearbeiten]

This is a test section.

Sonstiges[Bearbeiten]

Smileys[Bearbeiten]

Normal: :)

Traurig: :(

Facepalm: Facepalm