Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.
La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:
combina tre tipi di azioni:
azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine proporzionale all'errore di inseguimento;
azione integrale: la legge di controllo ha un termine proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
azione derivativa: la legge di controllo ha un termine proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.
Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni , e del regolatore sono positivi o nulli.
La funzione di trasferimento ideale di un regolatore PID è data da:
dove:
è detto tempo integrale:
è detto tempo derivativo:
Realizzazione pratica dei regolatori PID[modifica]
La funzione di trasferimento ideale è impropria per → affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura, cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio evitando di ridurre il margine di fase:
Il parametro non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:
In presenza del regolatore PID , la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa presenta come zeri quelli del regolatore PID e quelli del sistema da controllare :
Inoltre, in caso di un ingresso a gradino l'uscita del blocco derivativo , e di conseguenza il comando , si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo e proporzionale , si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione rimangono i soli zeri del sistema da controllare :
Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.
Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).
I parametri , e del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:
in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.
Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura
Anello chiuso
Anello aperto
Ziegler e Nichols
Ziegler e Nichols
Cohen e Coon
IMC
Regolatore P
Regolatore PI
Regolatore PID
I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.
Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso[modifica]
Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante .
Una volta determinati e , si calcolano i parametri , e del regolatore.
Quando viene raggiunto il valore , il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile[1] → coincide con il margine di guadagno del sistema →
le oscillazioni di periodo hanno pulsazione :
il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.
Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.
È possibile imporre un margine di fase desiderato imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello (non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:[2]
I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare :
dove:
è il guadagno della funzione ;
è la costante di tempo del polo dominante;
è il ritardo temporale della risposta al gradino.
Questi metodi sono applicabili a sistemi:
ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
asintoticamente stabili in catena aperta;
con risposta al gradino monotona.
Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza , si determinano , e tramite il metodo della tangente:
Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto[modifica]
Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.
Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.
Il metodo di controllo a modello interno (IMC) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare con il suo modello approssimato :
dove:
è la differenza tra il sistema da controllare e il suo modello approssimato ;
è l'inverso della parte a fase minima di ;
è un filtro del I ordine:
Il blocco non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →
si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di nel seguente modo:
si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di nel seguente modo:
All'aumentare del parametro del filtro del I ordine , la banda passante diminuisce e i margini di guadagno e di fase aumentano.