Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.
![{\displaystyle (a)'=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad27c65f793729b6db91a8e64c6c2f98b57e089)
![{\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e308728043f480d59a3f9bb7109c8d9cba954f)
![{\displaystyle (f\pm g)'=f'\pm g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5231cc98ef2a528d19bd1c2c0d314f2f5932c5e0)
![{\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6fc029f0b55275e9981da390022e59124924be)
Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion
lautet:
Will man nun also die Funktion
ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:
und
.
Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:
und
Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:
Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:
Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion
lautet:
Will man nun die Funktion
ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:
und
.
Die Ableitungen lauten:
und
Nun setzt man die Ableitungen zusammen:
Vereinfacht ist das:
Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion
lautet:
.
Leitet man nun
ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.
und
Die Ableitungen lauten:
und
Zusammengesetzt:
Vereinfacht:
Für den Differenzenquotienten von f gilt:
(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten
und
zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)
Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für
gilt daher
;
und
.
Man definiert
![{\displaystyle D(z,z_{0}):={\begin{cases}{\frac {u(z)-u(z_{0})}{z-z_{0}}},&{\text{falls }}z\neq z_{0},\\u'(z_{0}),&{\text{falls }}z=z_{0}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8126592f4815a5a7b34251ed86d2e66c1838f67d)
Weil
in
differenzierbar ist, gilt
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}D(z,z_{0})=u'(z_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaec3003d08e33e0658db6ab4517f737f191c46)
das heißt, die Funktion
ist an der Stelle
stetig. Außerdem gilt für alle
:
![{\displaystyle u(z)-u(z_{0})=D(z,z_{0})\cdot (z-z_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95e0c550bfdc40d139e74de2ed586ef5ed3d3dd)
Daraus folgt
![{\displaystyle {\begin{aligned}(u\circ v)'(x_{0})&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u{\big (}v(x){\big )}-u{\big (}v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot {\big (}v(x)-v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}\\&=\lim _{x\to x_{0}}D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&=u'{\big (}v(x_{0}){\big )}\cdot v'(x_{0}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22a6a8bd72848cf05bebe692605957e7595897b)
Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit
. Für die Funktion k mit
gilt nach der Kettenregel:
.
Somit ergibt sich für
mithilfe der Produktregel
.