Wir haben das Integral
einer riemannintegrierbaren Funktion
mit
und
definiert als
Dabei ist
eine Unterteilung,
die Feinheit der Unterteilung und
die Riemannsumme.
Wie können wir das Integral von beliebigen Funktionen bestimmen? Wir betrachten zunächst Funktionen, von denen wir das Integral leicht bestimmen können. Die folgenden Beispiele zeigen solche Funktionen.
Das sind Treppenfunktionen.
Definition (Treppenfunktion)
Eine Funktion
mit
und
heißt Treppenfunktion, falls es ein
gibt und
mit
, so dass es für alle
ein
gibt mit
für alle
für
bzw.
für
.
Wie können wir das Integral
für eine Treppenfunktion
berechnen?
To-Do:
Bild von einer Treppenfunktion mit
Rechtecken
Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in
Rechtecke unterteilen. Das
-te Rechteck hat die Breite
und die Höhe
. Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von
Wir beweisen nun, dass dies dem Integral
entspricht.
Satz
Sei
mit
und
eine Treppenfunktion. Seien
mit
. Weiter sei
für alle
, so dass
für alle
für
bzw.
für
. Dann gilt
Beweis
Sei
eine Unterteilung von
mit
und
für ein
mit
für alle
.