Astronomische Berechnungen für Amateure/ Lösungen zu den Übungen/ Kap Zeit

Wahre und mittlere Ortszeit

• In einem siderischen Tag (s. Kap. Kalender, Astronomische Grundlagen) zu 86 164.099 Sekunden dreht sich die Erde per Definition einmal um sich selbst, also um 360°. Dann sind es in einem mittleren Sonnentag zu 86 400 Sekunden x°, wobei gilt: x : 360 = 86 400 : 86 164.099, oder aufgelöst x = 360.986° bzw. knapp 1° mehr als der volle Winkel von 360°.

• In Berlin scheint die Sonne am kürzesten Tag während 7 h 35 m, am längsten dagegen 16 h 45 m. Die Tageslänge verändert sich in Berlin also im Laufe eines halben Jahres um 9 h 10 m, dh. durchschnittlich um 9.1667 h : 182 d = 0.050 h/d = 3 m/d. Für Zürich lauten die gleichen Werte: Sonnenscheindauer am kürzesten Tag 8 h 15 m, am längsten Tag 16 h. Tageslängenänderung also 7 h 45 m, folglich durchschnittlich 0.043 h/d = 2.6 m/d. Dabei haben wir ein halbes Jahr zu rund 182 Tagen angesetzt und eine gleichmässige Änderung der Tageslänge unterstellt.

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Zeitgleichung

• Da ZGL = WOZ – MOZ ist, bedeutet ZGL = +16 m 25 s, dass die WOZ der MOZ vorauseilt; oder anders gesagt: die Sonnenuhr zeigt ca. ¹/4 h früher Mittag (12 h) als die Armbanduhr.

• Wir benutzen den Sternenhimmel 2007, der die Daten für Zürich und Berlin liefert. In Berlin war der späteste Sonnenaufgang am 30.12.2007, in Zürich gar erst am 1.01.2008. Der früheste Sonnenuntergang dagegen fand am 13.12.2007 (Berlin) bzw. 11.12.2007 (Zürich) statt. Der kürzeste Tag dagegen fiel auf den 22.12.2007. Analog im Sommer: frühester Sonnenaufgang am 18.06.2007 (Berlin) bzw. 16.06.2007 (Zürich); spätester Sonnenuntergang am 25.06.2007 (Berlin) bzw. 26.06.2007 (Zürich), wogegen der längste Tag auf den 21.06.2007 fiel. Dieses Phänomen hängt mit der Zeitgleichung zusammen: im Dezember und Januar verspätet sich die wahre Sonne sehr stark gegenüber der mittleren Sonne, nämlich etwa 6 Minuten zwischen Mitte und Ende Dezember. Der Bogen, den die Sonne am Himmel zwischen Aufgang und Höchststand (wahrer Mittag, WOZ = 12 h) beschreibt, ist gleich gross wie der zwischen Höchststand und Untergang. Der Aufgang findet also gleich viel vor Mittag statt wie der Untergang nach Mittag. Wenn sich der Mittag verschiebt, verschieben sich auch Auf- und Untergangszeitpunkt.

Analog im Juni, wo sich die Zeitgleichung zwischen Monatsmitte und Monatsende um etwa 4 Minuten ändert, und zwar ist die wahre Sonne wieder verspätet gegenüber der mittleren. Diese Verspätung bzw. Verschiebung des Mittagszeitpunktes ist auch in dieser Jahreszeit für einige Tage stärker als die Änderung der Tagesbogenlänge der Sonne.

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Ortszeit und Zonenzeit

• Lublin und Santiago de Compostela haben beide ME(S)Z als Zonenzeit, also die wahre Ortszeit eines Ortes mit λ = +15° (z.B. Görlitz an der deutsch-polnischen Grenze: die Grenze verläuft teilweise genau auf dem 15. Längengrad). Bezogen auf den Zentralmeridian der MEZ-Zone geht eine Sonnenuhr in Lublin also um (15° – 22° 35') / 15 = –7.5833°/15 = –0.5056 h = –30 m 20 s vor, in Santiago um 1.57 h = 1 h 34 m 12 s nach. Somit ist Zonenzeit 11 h 29 m 40 s, wenn in Lublin die Sonnenuhr WOZ = 12 h zeigt; somit 11 h 43 m 55 s (11.02.); 12 h 25 m 59 s (14.05.; MESZ!); 12 h 29 m 40 s (13.06.); 12 h 36 m 10 s (26.07.). In Santiago: 13 h 48 m 27 s (11.02.); 14 h 30 m 31 s (14.05.; MESZ!); 14 h 34 m 12 s (13.06.) und 14 h 40 m 42 s (26.07.).

• Die beiden Orte haben einen Längenunterschied von 21° 11' – (–8° 33') = 29° 44' oder in Zeiteinheiten ausgedrückt 1 h 58 m 56 s. Wenn ZGL = 0, kulminiert die Sonne in Priština um 11 h 35 m 16 s MEZ, in Santiago de Compostela dagegen um 13 h 34 m 12 s MEZ, also um eben diese 1 h 58 m 56 s versetzt. Das gleiche passiert auch mit dem Sonnenaufgang und dem Sonnenuntergang: beide finden in Priština um knapp 2 Stunden früher statt als in Santiago de Compostela. Wichtig für diese Argumentation ist, dass beide Orte auf gleicher geografischer Breite liegen und der Tagbogen der Sonne somit an beiden Orten gleich lang ist.

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Sternzeit

• Das Datum 20.01.1983 0 h UT entspricht JD = 2 445 354.5 und daraus finden wir T = –0.169 486 653. Damit finden wir für θ₀ = –400.079 292 765 h bzw. nach Normierung auf das Intervall [0;24) θ₀ = 7 h 55 m 14.55 s. UT ist gegenüber HST 10 Stunden voraus, es ist also UT = 13 h 12 m 38 s, was in Greenwich θ = 21 h 10 m 02.76 s ergibt. Die geografische Länge entspricht einem Zeitintervall –10.36... h, so dass sich MST = 10 h 48 m 13.2 s ergibt (MST: Mean Sidereal Time, mittlere Sternzeit).

• Das Datum 16.12.1995 0 h UT entspricht JD 2 450 067.5, woraus T = –0.040 451 745. Damit finden wir für θ₀ = –90.388 890 979 h bzw. θ₀ = 5 h 36 m 39.99 s. EST DST ist gegenüber UT um 11 h voraus, es ist also –6 h 22 m 05 s UT bzw. 17 h 37 m 55 s UT am Vortag. Da wir aber die Sternzeit um 0 h UT für den 16.12.1995 berechnet haben, fahren wir mit der negativen Uhrzeit weiter und finden: θ = 23 h 13 m 32.23 s. Die geografische Länge entspricht +9.9377... h, so dass MST = 9 h 09 m 48.09 s. Wenn wir mit dem Vortag rechnen, so finden wir: JD 2 450 066.5, T = –0.040 479 124; θ₀ = 5 h 32 m 43.44 s, um 17 h 35 m 55 s dann θ = 23 h 13 m 32.23 s (dies Mal ist mit der Uhrzeit vom Vortag zu rechnen!). Daraus findet man MST = 9 h 09 m 48.09 s. Die Lösungen sind also im Rahmen der Rechengenauigkeit gleich.

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Atomzeit, Ephemeridenzeit und Dynamische Zeit

• Betrachten wir nur die Schreibweise, dann verwendet die Definition der Ephemeridensekunde 12 Ziffern, die der Atomsekunde „nur“ 10 Ziffern. Die Ephemeridensekunde deutet aber durch die Schreibweise eine Genauigkeit in der Grössenordnung 10^–4 Sekunden an (4. Stelle nach dem Dezimalkomma: 0.1 ms oder 100 μs). Die Atomsekunde dagegen deutet eine Genauigkeit von 10^–9 oder 10^–10 Sekunden an, je nachdem, ob die Null an letzter Stelle genau ist oder gerundet (1 bzw. 0.1 ns). Denn ungefähr so lange dauert eine einzelne Schwingung. Tatsächlich sind wir heute in der Lage, mit Frequenzmessungen eine Genauigkeit in der Zeitmessung von 10^–14 Sekunden zu erzielen (0.01 ps oder 10 fs).

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Welche Zeit ist die richtige?

• Es ist der Unterschied zwischen Winkelgeschwindigkeit und Winkel selber (analog Geschwindigkeit und Strecke), der nicht beachtet wird: wenn die Winkelgeschwindigkeit ω um ein weniges abnimmt, dann benötigt die Erde entsprechend ein weniges länger,um einen Winkel von 360° zu überstreichen – gemäss $t\;=\;{\frac {360\circ }{\omega }}$. Dies geschieht jeden Tag, und so summieren sich die Überschüsse, bis sie eine Sekunde erreichen. Das wäre selbst dann der Fall, wenn die Erde in Zukunft nicht mehr weiter abgebremst würde.

Als Analogie folgender Vergleich: auf einer Rundstrecke von 1 km Länge fahren zwei Radfahrer ein Rennen. Der eine Fahrer fährt die Strecke mit 40 km/h und benötigt also für eine Runde 1:30 Minuten. In einem Tag dreht er somit 1440 : 1.5 = 960 Runden. Der zweite Fahrer habe eine Geschwindigkeit, die um 50 cm/h geringer sei als diejenige des ersten, dh. 39.95 km/h. Er benötigt für eine Runde 1.5019 Minuten oder 1:30.11 Minuten, also 0.11 Sekunden mehr als der erste. Nach 960 Runden, wenn er die gleiche Strecke zurück gelegt hat wie der erste, hat er dafür nicht wie dieser 24 Stunden gebraucht, sondern 24:01:48.15 h – obschon er also pro Runde nur etwas mehr als 1/10 Sekunde verliert, summiert sich dieser Verlust im Laufe von 24 Stunden auf fast 2 Minuten. Genauso ist es mit der Erde: die 2 ms Verlängerung pro Tag summieren sich nach rund 500 Tagen zu 1 Sekunde.

• Ist ΔT > 0, dann ist TT > UT, die dynamische Zeit ist UT voraus; ist ΔT < 0, dann ist TT < UT, die dynamische Zeit ist hinter UT. 1870 ging die dynamische Zeit UT noch um gut 1 s voraus, 1872 hinkte sie fast 1 s hinterher. Zwischen 1871 und 1902 eilte UT voraus, sonst war immer TT die vorauseilende Zeit.

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Standardepoche

• Laut Festlegung der IAU (International Astronomical Union) unterscheiden sich julianische Epochen um ein ganzzahliges Vielfaches eines julianischen Jahres zu 365.25 Tagen. Somit ist J1950 = J2000 – 50 ∙ 365.25 = 2 451 545.0 TDB – 18 262.5 = 2 433 282.5 TDB, entspricht 1. Januar 1950 0 h TDB. 1950 betrug ΔT = 29.15 s, folglich 31. Dezember 1949 23 h 59 m 30.85 s. Analog ist J2050 = 2 469 807.5 bzw. 1. Januar 2050 0 h TDB mit ΔT ≈ 172 s, entspricht also voraussichtlich dem Datum 31. Dezember 2049 23 h 57 m 08 s. Analog liegen zwischen zwei Bessel-Epochen eine ganze Anzahl tropischer Jahre zu 365.242 199 Tagen, folglich ist B2000 = B1950 + 50 ∙ 365.242 199 = 2 433 282.423 + 18 262.110 = 2 451 544.533, was dem Datum 1. Januar 2000 0 h 47 m 27 s UT entspricht.

• Beide Epochen müssen auf die gleiche Zeitskala bezogen sein. J2000 ist 1 m 4.2 s bzw. 0.000 743 Tage vor 12 h UT. Damit ist die Zeitdifferenz (2 451 545.0 – 0.000 743) – 2 433 282.423 = 18 262.576 Tage. Wie man sieht, sind die Unterschiede der Abstände der verschiedenen Epochen zueinander gering.

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Nachweis: