Aufgabensammlung Mathematik: DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme

$x^{\prime }=\sin(tx),\ x(t_{0})=x_{0},\ t_{0},x_{0}\in \mathbb {R}$

eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz $\mathbb {R}$ besitzt.

(Quelle: Aufgabe 4 vom Übungsblatt 4, Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von Edgardo Stockmeyer Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu)

Beweis

Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall $[a,b]$ mit $t_{0}\in [a,b]$ eine eindeutige Lösung

Sei $f:[a,b]\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :(t,x)\mapsto \sin(tx)$. $f$ ist global Lipschitz-stetig bezüglich $x$, denn die partielle Ableitung $\partial _{x}f$ ist betragsmäßig durch $\max\{|a|,|b|\}$ nach oben beschränkt:

$|\partial _{x}f(x)|=|\partial _{x}(\sin(tx))|=|t\cdot \cos(tx)|=|t|\cdot |\cos(tx)|\leq |t|\leq \max\{|a|,|b|\}$

Wegen $|\partial _{x}f|\leq \max\{|a|,|b|\}$ ist $f$ bezüglich $x$ global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL $x^{\prime }=f(t,x)=\sin(tx)$ eine auf ganz $[a,b]$ definierte, eindeutige Lösung.

Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung

In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall $[a,b]$ mit $t_{0}\in [a,b]$ eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ die Funktion $\lambda _{n}$ die eindeutige Lösung auf dem Intervall $[t_{0}-n,t_{0}+n]$. Wir definieren:

$f_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto {\begin{cases}\lambda _{n}(x)&x\in [t_{0}-n,t_{0}+n]\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

$f_{n}$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f$, da $\lambda _{m}(x)=\lambda _{n}(x)$ für $m\geq n$ und $x\in [t_{0}-n,t_{0}+n]$. Da für jedes $x\in \mathbb {R}$ es eine offene Umgebung um $x$ gibt, auf der $f$ mit einem der Löungsfunktionen $\lambda _{n}$ übereinstimmt, ist $f$ eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.