Der Raum beschränkter Funktionen
Seien
und
beliebige metrische Räume, wobei
ein vollständiger Raum ist. Sei
die Menge aller beschränkter Funktionen von
nach
. Dabei ist eine Funktion
genau dann beschränkt, wenn das Bild
beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn
ist. Es ist also
![{\displaystyle B(D,Z):=\left\{f:D\rightarrow Z\,:\,\sup \limits _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f(y))\right\}<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75edeb40703eb8ced046c66608cbf3b45726ceec)
In diesem Projekt werden wir beweisen, dass
unter der Metrik
ein vollständiger Raum ist.
B(D,Z) ist ein metrischer Raum
Zeige, dass die Abbildung
eine Metrik ist, dass also
ausgestattet mit
ein metrischer Raum ist.
Beweis
Behauptung 1: ![{\displaystyle d_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29801e978497acaf4c784c3c8c84058d30c33d9)
erfüllt die Axiome einer Metrik
Folgende drei Behauptungen beweisen, dass
eine Metrik ist:
Behauptung 1.1: Es ist
![{\displaystyle f=g\Leftrightarrow d_{B}(f,g)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e139c498066728cc98dbeca098598e2f01d3fbec)
Es ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f=g\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in D:f(x)=g(x)\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in D:d_{Z}(f(x),g(x))=0\\\Leftrightarrow \ &\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}=0\\\Leftrightarrow \ &d_{B}(f,g)=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eea18e27af67e155101b460f60811911b35aeb4)
Behauptung 1.2: Es ist
![{\displaystyle d_{B}(f,g)=d_{B}(g,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e60073ac5c7dca42c81ebec304294df4359acc8)
Es ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{B}(f,g)&=\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}\\&=\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(g(x),f(x))\right\}\\&=d_{B}(g,f)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b98bdbbc95eb725f0da65b0bbea476669e3bee2)
Behauptung 1.3: Es ist
![{\displaystyle d_{B}(f,g)\leq d_{B}(f,h)+d_{B}(h,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e83d1309fffe7dc329526939a7b5ff55b3be719)
Es ist
Nun muss noch gezeigt werden, dass
immer wohldefiniert ist, dass also
niemals unendlich werden kann.
Behauptung 2: ![{\displaystyle \forall f,g\in B(D,Z):d_{B}(f,g)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87cad74f29094a0559712d07f663ae92426ecb)
Seien
beliebig.
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{B}(f,g)&=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ {\text{W}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{hle ein }}{\tilde {x}}\in D{\text{ beliebig und wende Dreiecksungleichung an}}\right.\\[5px]&\leq \sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))+d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))+d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}\\[5px]&\leq \sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))\right\}+\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))\right\}+\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ {\begin{array}{l}\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))\right\}<\infty {\text{, weil }}f{\text{ beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt ist}}\\[3px]\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))\right\}<\infty {\text{, weil }}d_{Z}{\text{ eine Metrik ist}}\\[3px]\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}<\infty {\text{, weil }}g{\text{ beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt ist}}\end{array}}\right.\\[5px]&<\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2789b21552e453ba3e687824cc8cd21643ac1cbb)
B(D,Z) ist vollständig
Zeige, dass
unter der Metrik
vollständig ist.
Beweis
Sei
eine Cauchyfolge von Funktionen in
.
Behauptung 1: ![{\displaystyle \forall x\in D:(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }{\text{ ist eine Cauchyfolge}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f24b8bd9aa9b2b5d06b3c60bcb3045774e015e3)
Für alle
existiert dann ein
, so dass
für alle
ist. Damit ist auch für alle
die Ungleichung
für alle
erfüllt. Dies beweist, dass für alle
die Folge der Funktionswerte
eine Cauchyfolge ist.
Behauptung 1 zeigt, dass
punktweise konvergiert (weil
ein vollständiger Raum ist). Sei
die Funktion, gegen die
punktweise konvergiert, also
.
Behauptung 2: ![{\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9440ca0531eb110dac2efd8d6b851e2f2d7e66f)
konvergiert auch unter der Metrik
![{\displaystyle d_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29801e978497acaf4c784c3c8c84058d30c33d9)
gegen
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Sei
. Wähle
so, dass
für alle
ist. Für ein beliebiges
ist dann
für alle
. Für dieses
und
gilt dann
Damit ist auch
für alle
, was beweist, dass
gegen
unter der Metrik
konvergiert.
Momentan ist noch nicht klar, ob
auch wirklich ein Element von
ist, also dass
eine beschränkte Funktion ist.
Behauptung 3: ![{\displaystyle f\in B(D,Z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f56c7069d5c4e12f622abe287cc635f9acd0f33)
Weil
, existiert ein
, so dass
. Es ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f(y))\right\}&\leq \sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f_{N}(x))+d_{Z}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Z}(f_{N}(y),f(y))\right\}\\&\leq \underbrace {\underbrace {\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f_{N}(x))\right\}} _{<\,1\,<\,\infty }+\underbrace {\sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f_{N}(x),f_{N}(y))\right\}} _{<\,\infty \ (f_{N}{\text{ ist beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt}})}+\underbrace {\sup _{y\in D}\left\{d_{Z}(f_{N}(y),f(y))\right\}} _{<\,1\,<\,\infty }} _{<\,\infty }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c552509a0654d7413bf0a33273ec07ebcd21ebc)
Damit ist
.
Behauptungen 1-3 beweisen, dass
vollständig ist.