Aufgabensammlung Mathematik: Irrationalitätsbeweis

Irrationalitätsbeweis

Zeige, dass für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ die folgende Aussageform $A(n)$ allgemeingültig ist:

$A(n):{\sqrt[{2^{n}}]{2}}$ ist irrational.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

${\sqrt[{2^{n}}]{2}}$ ist irrational.

1. Induktionsanfang:

Für $n=1$ ist die Aussage korrekt, da ${\sqrt[{2^{1}}]{2}}={\sqrt {2}}$ bekanntlich irrational ist.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

${\sqrt[{2^{n}}]{2}}$ ist irrational.

2b. Induktionsbehauptung:

${\sqrt[{2^{n+1}}]{2}}$ ist irrational.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Widerspruchsbeweis: Angenommen ${\sqrt[{2^{n+1}}]{2}}=2^{\frac {1}{2^{n+1}}}$ ist nicht irrational, sondern rational. Dann folgt, dass $2^{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {p}{q}}$ für teilerfremde, geeignete $p,q\in \mathbb {Z}$ ist.

Quadrieren führt auf $\left(2^{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)^{2}=2^{\frac {1}{2^{n}}}={\sqrt[{2^{n}}]{2}}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$ , d.h. ${\sqrt[{2^{n}}]{2}}$ ist rational. Dies steht aber gerade im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Ergo ist ${\sqrt[{2^{n+1}}]{2}}$ irrational.