Beschreibung

Beschreibung01 Quadratur des Kreises E-8.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion mithilfe ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ English: Squaring the circle, approximate construction with help ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
Datum	27. Dezember 2019
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Anmerkung

Die Näherung von ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ beruht auf den Wert

${\displaystyle {\overline {KL}}={\frac {a}{2}}=1-{\frac {{\sqrt {2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)\left(2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}}}\right)}{-11+11{\sqrt {2}}+5{\sqrt {1+2{\sqrt {2}}}}}}\approx r\cdot \ 0{,}886\;226\;932\;777\;110\;[\mathrm {LE} ]}$

Die Verwendung der Quadratwurzel aus 2 = ${\displaystyle |FJ|}$ liefert eine Näherung von ${\displaystyle \pi ,}$ die bereits im Jahr 1913 in der Konstruktion von Jakob de Gelder mit dem Zu Chongzhi-Bruch ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ nahezu erreicht wurde.

• Ergebnis der folgenden Konstruktion

${\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}\;705\;\ldots }}$

• Ergebnis mit Zu Chongzhi-Bruch ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

${\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;920\;\ldots }}$

• Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\ldots }$

Konstruktion

1. Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius ${\displaystyle r}$ um seinen Mittelpunkt ${\displaystyle M.}$
2. Zeichne das Quadrat ${\displaystyle MBCA}$ mit ${\displaystyle r}$ als Seitenlänge und verlängere die Strecke ${\displaystyle {\overline {CB}}}$ über ${\displaystyle B}$ hinaus.
3. Ziehe die Diagonale ${\displaystyle {\overline {MC}},}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle D.}$
4. Zeichne eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ durch ${\displaystyle D}$ bis ${\displaystyle {\overline {AC}},}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle E.}$
5. Ziehe einen Halbkreis um ${\displaystyle D}$ ab ${\displaystyle E}$ im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle F.}$
6. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ in ${\displaystyle G.}$
7. Verbinde ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle C,}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle H.}$
8. Bestimme den Punkt ${\displaystyle J}$ so, dass ${\displaystyle |FJ|={\overline {MC}}={\sqrt {2}}\cdot r.}$
9. Verbinde ${\displaystyle J}$ mit ${\displaystyle H}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle K.}$
10. Zeichne eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ab ${\displaystyle K}$ bis Strecke ${\displaystyle {\overline {MB}},}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle L.}$

Wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {KL}}}$ verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,772453865554221... [LE]
• Soll-Seite des Quadrates a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot 1[LE]}$ = 1,772453850905516... [LE]
• Absoluter Fehler = a - a_s = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates A = a² = ‭3,141592705518100‬... [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates A_s = ${\displaystyle {\pi }\cdot 1[FE]}$ = 3,141592653589793... [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]
• Fazit: Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle \pi }$.
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,5 mm
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5,2 mm²

Annotation

The approximation of ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ is based on value

${\displaystyle {\overline {KL}}={\frac {a}{2}}=1-{\frac {{\sqrt {2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)\left(2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}}}\right)}{-11+11{\sqrt {2}}+5{\sqrt {1+2{\sqrt {2}}}}}}\approx r\cdot \ 0.886\;226\;932\;777\;110\;[\mathrm {ul} ]}$

The use of the square root of 2 = ${\displaystyle |FJ|}$ provides an approximation of ${\displaystyle \pi ,}$ which was almost achieved in 1913 in the construction by Jakob de Gelder with the Zu Chongzhi fraction ${\displaystyle {\frac {355}{113}}.}$

• Result of the following construction

${\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;705\;\ldots }}$

• Result with Zu Chongzhi fraction ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

${\displaystyle 3.141\;592\;{\color {red}\;920\;\ldots }}$

• Circle number ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 3.141\;592\;653\ldots }$

Construction

1. Draw a circle with any radius ${\displaystyle r}$ around its center ${\displaystyle M.}$
2. Draw the square ${\displaystyle MBCA}$ with ${\displaystyle r}$ as the side length and extend the line segment ${\displaystyle {\overline {CB}}}$ beyond ${\displaystyle B.}$
3. Draw the diagonal ${\displaystyle {\overline {MC}},}$ results in intersection point ${\displaystyle D.}$
4. Draw a parallel to ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ through ${\displaystyle D}$ to ${\displaystyle {\overline {AC}},}$ results in intersection ${\displaystyle E.}$
5. Draw a semicircle around ${\displaystyle D}$ clockwise, results in intersection point${\displaystyle F.}$
6. Halve the line segment ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ in ${\displaystyle G.}$
7. Connect ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle C,}$ results in intersection ${\displaystyle H.}$
8. Find the point ${\displaystyle J}$ such that ${\displaystyle |FJ|={\overline {MC}}={\sqrt {2}}\cdot r.}$
9. Connect ${\displaystyle J}$ to ${\displaystyle H,}$ results in intersection point ${\displaystyle K.}$
10. Draw a parallel to ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ from ${\displaystyle K}$ to line segment ${\displaystyle {\overline {MB}},}$ results in intersection ${\displaystyle L.}$

If the line segment ${\displaystyle {\overline {KL}}}$ is doubled, this results in the side length ${\displaystyle a}$ of a square with an area that is almost equal to that of the circle.

Error

In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:

• Constructed side of the square a = 1.772453865554221... [${\displaystyle ul}$]
• Target side of the square a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot 1[ul]}$ = 1.772453850905516... [${\displaystyle ul}$]
• Absolute error = a - a_s = 0.000000014648705... = 1.4648...E-8 [${\displaystyle ul}$]
• Surface of the constructed square A = a² = 3.141592705518100... [unit area, ua]
• Target area of the square A_s = ${\displaystyle {\pi }\cdot 1[ua]}$ = 3.141592653589793... [${\displaystyle ua}$]
• Absolute error = A - A_s = 0.000000051928307... = 5.1928...E-8 [${\displaystyle ua}$]
• Conclusion: seven decimal places are equal to those of ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ respectively six decimal places are equal to those of ${\displaystyle \pi }$.
  • In a circle of radius r = 100 km would be the fault of the page a ≈ 1.5 mm
  • In the case of a circle with the radius r = 10 m would be the error of the surface A ≈ 5.2 mm²

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