Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Weg zur Schrödinger-Gleichung

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Herleitung der Schrödinger-Gleichung

Nach Louis de Broglie kann man auch Teilchen – wie Elektronen – Welleneigenschaften zuschreiben, wobei die Wellenlänge über $\lambda =h/p$ mit dem Impuls in Beziehung steht. Ausgehend von dieser Annahme kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung folgendermaßen aus der Wellengleichung hergeleitet werden (Herleitung der Wellengleichung siehe Anhang 1). Dies ist die Wellengleichung:

$s(x;t)={\widehat {s}}\cdot \sin {\left(2\pi \left({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right)}$

Dabei beschreibt $s(x;t)$ die Auslenkung eines Teilchens des Wellenträgers am Ort $x$ zum Zeitpunkt $t$. Es soll betrachtet werden, was geschieht, wenn man diese Funktion zweimal partiell nach dem Ort ableitet (das heißt, die Zeit $t$ wird als Konstante angenommen):

$s(x;t)={\widehat {s}}\cdot \sin {\left(2\pi \left({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right)}={\widehat {s}}\cdot \sin {\left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)}$ ${\frac {\partial }{\partial x}}s(x;t)={\widehat {s}}\cdot \left(-{\frac {2\pi }{\lambda }}\right)\cdot \cos {\left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)}$ ${\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}x}}s(x;t)=-{\widehat {s}}\cdot \left(-{\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\sin {\left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)}=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\cdot {\widehat {s}}\cdot \sin {\left(2\pi \left({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right)}=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\cdot s(x;t)$

Offensichtlich erhält man eine Differentialgleichung. Dies war bisher stets (auch) für „normale“ Wellen gültig. Für de Broglie-Wellen gilt nun nach de Broglies Annahme:

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {m^{2}v^{2}}}}={\frac {h}{\sqrt {2{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}}}}={\frac {h}{\sqrt {2mW_{kin}}}}={\frac {h}{\sqrt {2m(W-W_{pot})}}}$

Der letzte Schritt lässt sich vollziehen, da die Gesamtenergie $W$ eines Elektrons in potentielle und kinetische Energie aufgeteilt ist: $W=W_{kin}+W_{pot}$.

Dieser Ausdruck für $\lambda$ soll nun in die Differentialgleichung eingesetzt werden. Da durch das Hinzuziehen des Postulats von de Broglie die Grenze zur Quantenmechanik überschritten wurde, schreibt man im Folgenden $\Psi$ statt $s$; da an dieser Stelle ausschließlich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung behandelt werden soll, sei $t$ eine Konstante:

$\Psi ''(x)=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\cdot \Psi (x)=-{\frac {4\pi ^{2}}{\frac {h^{2}}{2m(W-W_{pot})}}}\cdot \Psi (x)=-{\frac {4\pi ^{2}}{h^{2}}}\cdot 2m(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)=-{\frac {8m\pi ^{2}}{h^{2}}}(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)$

Dies ist nun die berühmte (zeitunabhängie) Schrödinger-Gleichung; offensichtlich ist es eine Differentialgleichung, deren Lösung $\Psi (x)$-Funktionen darstellen. Häufig wir die Schrödinger-Gleichung auch mit dem reduzierten Planck’schen Wirkungsquantum $\hbar =h/(2\pi )\Leftrightarrow h=2\hbar \pi$ angegeben:

$\Psi ''(x)=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)$

Für weitere Schreibweise siehe Anhang 2.

Bedeutung der Lösungsfunktion

Die Schrödinger-Gleichung enthält die potentielle Energie $W_{pot}$. Daher ist die Funktion $\Psi (x)$, die die Schrödinger-Gleichung löst, abhängig von der betrachteten Potentialfunktion $W_{pot}(x)$, auf die die Schrödinger-Gleichung angewendet wird.

Beispielhafte Lösungsfunktion $\Psi (x)$

Wendet man die Schrödinger-Gleichung also auf eine bestimmte Potentialfunktion $W_{pot}(x)$ an, findet man eine Lösungsfunktion $\Psi (x)$. Angenommen, diese Lösungsfunktion stellt sich heraus als jene, die (jetzt beispielhaft und willkürlich) in der Abbildung dargestellt ist (rot). Welche Bedeutung hat dies?

Max Born lieferte als erster die noch heute akzeptierte Interpretation der Lösungsfunktionen. Danach hat die Funktion $\Psi (x)$ selbst überhaupt keine physikalische Bedeutung; erst deren Quadrat $|\Psi (x)|^{2}$ ist messbar; es ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsdichte. An einem exakten Ort $x_{1}$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons null, und nicht etwa $|\Psi (x_{1})|^{2}$; ein bestimmter Ort $x_{1}$ ist schließlich unendlich klein und daher befindet sich das Elektron nie exakt dort. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron anzutreffen, kann nur für einen Bereich $[x_{1};x_{2}]$ angegeben werden. Es entspricht der Fläche unter dem Graphen von $|\Psi (x)|^{2}$ bzw. dem Integral:

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}|\Psi (x)|^{2}\,dx$

Schrödinger hat – teilweise mathematisch daraus folgende – Bedingungen an die Lösung gestellt. Zunächst leuchtet ein, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo anzutreffen, $1$ sein muss:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x)|^{2}\,dx=1$

Ferner muss die Funktion $\Psi (x)$ stetig, sowie stetig differenzierbar sein, was aus der Schrödinger-Gleichung mathematisch folgt.

Lösung der Differentialgleichung

Es gilt, wie vorher schon hergeleitet wurde, die Schrödinger-Gleichung:

$\Psi ''(x)=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)$

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung kann angegeben werden als:

$\Psi (x)=c_{1}e^{i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}+c_{2}e^{-i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}$

Dabei ist $i$ die imaginäre Einheit mit $i^{2}=-1$. Sei zur Vereinfachung:

$k:={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}$

So ergibt sich:

$\Psi (x)=c_{1}e^{ikx}+c_{2}e^{-ikx}$

Dass diese Funktion die Schrödinger-Gleichung tatsächlich löst, zeigt zweimaliges Ableiten:

$\Psi '(x)=ik\cdot c_{1}e^{ikx}-ik\cdot c_{2}e^{-ikx}$ $\Psi ''(x)=i^{2}k^{2}\cdot c_{1}e^{ikx}+i^{2}k^{2}\cdot c_{2}e^{-ikx}=i^{2}k^{2}\cdot (c_{1}e^{ikx}+c_{2}e^{-ikx})=-k^{2}\cdot (c_{1}e^{ikx}+c_{2}e^{-ikx})=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)$

Bevor diese Lösung nun auf bestimmte Potentialverläufe angewendet werden soll, soll noch eine wichtige qualitative Eigenschaft dieser Funktion erörtert werden. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt die Euler’sche Formel $e^{\pm i\varphi }=\cos \varphi \pm i\sin \varphi$ (Herleitung siehe Anhang 3). Daraus folgt für $\Psi$:

$\Psi (x)=c_{1}e^{ikx}+c_{2}e^{-ikx}=c_{1}(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{2}(\cos(kx)-i\sin(kx))=c_{1}\cos(kx)+c_{1}i\sin(kx)+c_{2}\cos(kx)-c_{2}i\sin(kx)$ $=(c_{1}+c_{2})\cos(kx)+(c_{1}-c_{2})i\sin(kx)=d_{1}\cos(kx)+d_{2}i\sin(kx)$

Dabei wurden die Konstanten $(c_{1}+c_{2})$ sowie $(c_{1}-c_{2})$ zur Einfachheit durch zwei neue Konstanten $d_{1}$ und $d_{2}$ ersetzt. Wesentlich ist: Die Funktion $\Psi (x)$ verhält sich offensichtlich wie eine trigonometrische Funktion, sie oszilliert!

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