Einführung in die Tensorrechnung: Kontravariante und kovariante örtliche Basissysteme

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Kontravariante und kovariante örtliche Basissysteme

Nun richten wir in O zwei verschiedene Koordinatensysteme ein:

1. ein kartesisches XYZ-System mit den Basisvektoren i, j, k,

2. ein schiefwinkliges UVW-System mit den Basisvektoren e₁, e₂ und e₃, die keine Einheitsvektoren sein müssen. Ein beliebiger Punkt P hat dann bezüglich des kartesischen Systems die Koordinaten x, y, z, bezüglich des schiefwinkligen Systems die Koordinaten u, v, w. Wieder gilt, dass je zwei Achsen der beiden Systeme eine Koordinatenebene bestimmen.

Man kann nun Transformationsgleichungen aufstellen, aus denen die Koordinaten, die der Punkt P im XYZ-System hat, aus denen berechnet werden können, die er im UVW-System hat und umgekehrt. Dabei ergeben sich zwei Systeme von je drei Gleichungen:

Dann sind u, v und w lineare homogene Funktionen von x, y und z und umgekehrt:

(7.1)

${\begin{matrix}u=u(x,y,z)&x=x(u,v,w)\\v=v(x,y,z)&y=y(u,v,w)\\w=w(x,y,z)&z=z(u,v,w)\end{matrix}}$

Diese Transformationsgleichungen sind linear und homogen.

»Linear« bedeutet, dass in den Funktionsgleichungen die Koordinaten nur in der 1. Potenz auftreten. »Homogen« bedeutet in diesem Zusammenhang, dass in den Gleichungen keine konstanten (additiven) Glieder auftreten.

Übungen:

7.1 Zeigen Sie, dass die Gleichungen homogen sein müssen.

7.2 Berechnen Sie die Funktionen x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). Anleitung: Dies ist relativ einfach, weil das XYZ-System rechtwinklig ist und daher x, y, z die senkrechten Projektionen des Ortsvektors r von P auf die drei kartesischen Achsen sind. Führen Sie dazu die Richtungskosinus der drei schiefwinkligen Achsen ein: α_i, β_i und γ_i, wobei i = 1, 2, 3 ist und projizieren Sie den Vektor

${\boldsymbol {r}}={\overrightarrow {OP}}=u\,{\boldsymbol {e}}_{1}+v\,{\boldsymbol {e}}_{2}+w\,{\boldsymbol {e}}_{3}$

auf die kartesischen Achsen. Überzeugen Sie sich, dass die Gleichungen linear sind.

Danach ist es prinzipiell möglich – wenn auch etwas mühsam – die Umkehrfunktionen u = u(x, y z) usw. zu finden. Wie wäre das anzustellen?

Der Ortsvektor r eines Punktes P im kartesischen XYZ-System mit den Basisvektoren i, j, k ist

${\boldsymbol {r}}=x\,{\boldsymbol {i}}+y\,{\boldsymbol {j}}+z\,{\boldsymbol {k}}.$

Die partiellen Ableitungen von r nach x, y und z sind dann

${\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial x}}={\boldsymbol {i}},\quad {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial y}}={\boldsymbol {j}},\quad {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial z}}={\boldsymbol {k}}.$

Im schiefwinkligen UVW-System ist der Ortsvektor r von P:

${\boldsymbol {r}}=u\,{\boldsymbol {e}}_{1}+v\,{\boldsymbol {e}}_{2}+w\,{\boldsymbol {e}}_{3},$

und seine partiellen Ableitungen sind

(7.2)

${\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial u}}={\boldsymbol {e}}_{1},\quad {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial v}}={\boldsymbol {e}}_{2},\quad {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial w}}={\boldsymbol {e}}_{3}.$

Wenn wir nun in P ein lokales Koordinatensystem einführen, dessen Achsen zu den Basisvektoren des schiefwinkligen Systems parallel sind, dann heißt dieses System »ein zum UVW-System (mit den Achsen e_i ) kontravariantes System«. Es ist daran zu erkennen, dass seine Achsen zu denen des Basissystems in O parallel sind. Ein solches wird durch eingeklammerte und hochgestellte Indices bezeichnet. Für die Achsen des kontravarianten Systems in P gilt also:

${\boldsymbol {e}}^{\left(i\right)}={\boldsymbol {e}}_{i}\quad i=1,\,2,\,3.$

Durch Bildung der partiellen Ableitungen können die Basisvektoren des kontravarianten Systems auf das XYZ-System bezogen werden, wobei auch für die partiellen Ableitungen der Basisvektoren des kontravarianten Systems die Gleichungen (8.2) gelten.

${\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial u}}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial u}}={\frac {\partial x}{\partial u}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\boldsymbol {k}},$

$\mathbf {e} ^{\left(2\right)}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial v}}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial v}}={\frac {\partial x}{\partial v}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial y}{\partial v}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial z}{\partial v}}{\boldsymbol {k}},$

${\boldsymbol {e}}^{\left(3\right)}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial w}}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial w}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial w}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial w}}={\frac {\partial x}{\partial w}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial y}{\partial w}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial z}{\partial w}}{\boldsymbol {k}}.$

 

Übung 7.3: Woher kann man die für diese Darstellung benötigten partiellen Ableitungen von x, y, z nach u, v, w bekommen?

 

Als nächstes führen wir in P ein System mit den Basisvektoren e_(i) ein, die auf den Koordinatenebenen des UVW-Systems senkrecht stehen sollen. Ein solches System heißt »kovariant«.

Wir finden seine Basisvektoren, indem wir berücksichtigen, dass die VW-Ebene auch als die Ebene beschrieben werden kann, in der u = konst. ist. Ein darauf senkrechter Vektor ist der Vektor grad u.

 

Übungen:

7.4 Rekapitulieren Sie, wie der Vektor grad u definiert ist und welche Eigenschaften er hat. Zeigen Sie, dass er für unsere Zwecke auch die richtige Richtung besitzt, also von der positiven Seite der VW-Ebene ausgeht.

7.5 Machen Sie sich an einer Skizze eines zweidimensionalen schiefwinkligen Koordinatensystems klar, dass die Richtung des stärksten Anstiegs der Koordinate u nicht etwa parallel zur U-Achse verläuft, sondern senkrecht zur V-Achse.

Diesen Vektor grad u führen wir als kovarianten Basisvektor e₍₁₎ ein und analog zwei weitere Basisvektoren e₍₂₎ und e₍₃₎:

Im XYZ-System können diese Vektoren so beschrieben werden (Definition des Gradienten):

${\boldsymbol {e}}_{\left(1\right)}=\operatorname {grad} \,\,u={\frac {\partial u}{\partial x}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\boldsymbol {k}},$

${\boldsymbol {e}}_{\left(2\right)}=\operatorname {grad} \,\,v={\frac {\partial v}{\partial x}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\boldsymbol {k}},$

${\boldsymbol {e}}_{\left(3\right)}=\operatorname {grad} \,w={\frac {\partial w}{\partial x}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}{\boldsymbol {k}}.$

Durch Bildung der entsprechenden Skalarprodukte können wir nun bestätigen, dass das kontravariante und das kovariante System nach obiger Definition reziproke Systeme sind, obwohl sie nicht notwendig aus Einheitsvektoren bestehen:

Es ist nämlich

${\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\left(1\right)}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial u}}\right)\cdot \operatorname {grad} \,\,u=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)$

$=\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)={\frac {\partial u}{\partial u}}=1\,,$

und

${\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\left(2\right)}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial u}}\right)\cdot \operatorname {grad} \,v=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)$

$=\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)={\frac {\partial v}{\partial u}}=0\,,$

usw.

 

Übung 7.6: Die partielle Ableitung von u nach u ist offensichtlich gleich 1, aber warum ist die partielle Ableitung von v nach u (und die analogen Ableitungen) gleich 0?

Ein beliebiger Vektor V kann nun in jedem der beiden reziproken Systeme dargestellt werden. Seine kontravariante Darstellung wird geschrieben:

${\boldsymbol {V}}=V^{1}{\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}+V^{2}{\boldsymbol {e}}^{\left(2\right)}+V^{3}{\boldsymbol {e}}^{\left(3\right)}\,,$

seine kovariante Darstellung dagegen ist

${\boldsymbol {V}}=V_{1}{\boldsymbol {e}}_{\left(1\right)}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{\left(2\right)}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{\left(3\right)}.$

Die Indizes der Vektorkomponenten im kontravarianten Systems werden dabei der Einfachheit halber nicht in Klammern gesetzt; eine Verwechslung mit Hochzahlen (Exponenten) kann wohl ausgeschlossen werden.

Da der Vektor vom Koordinatensystem und der Form seiner Darstellung unabhängig ist, gilt natürlich

${\boldsymbol {V}}=V^{1}{\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}+V^{2}{\boldsymbol {e}}^{\left(2\right)}+V^{3}{\boldsymbol {e}}^{\left(3\right)}=V_{1}{\boldsymbol {e}}_{\left(1\right)}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{\left(2\right)}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{\left(3\right)}.$

Zur Berechnung des Betrages von V bilden wir das Skalarprodukt V·V. Dabei benutzen wir für den ersten Faktor die kontravariante und für den zweiten Faktor die kovariante Darstellung des Vektors und berücksichtigen beim Multiplizieren, dass die beiden Faktoren zwar identisch sind, weil sie beide denselben Vektor V darstellen, ihre Darstellungsformen aber sind reziprok. Dabei erhalten wir ein interessantes Ergebnis:

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}=V^{2}=\left(V^{1}{\boldsymbol {e}}^{\left(1\right)}+V^{2}{\boldsymbol {e}}^{\left(2\right)}+V^{3}{\boldsymbol {e}}^{\left(3\right)}\right)\cdot \left(V_{1}{\boldsymbol {e}}_{\left(1\right)}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{\left(2\right)}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{\left(3\right)}\right)\\\\=V^{1}V_{1}+V^{2}V_{2}+V^{3}V_{3}.\end{matrix}}$

In abgekürzter Schreibweise:

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}=\sum _{i}V^{i}V_{i}=\sum _{i}V_{i}V^{i}=V^{2}.$

Die Regel zur Berechnung eines Skalarproduktes kann also auch auf reziproke Komponenten angewendet werden.

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