Einführung in die Tensorrechnung: Lineare Vektorfunktionen - Transformation von Tensorkomponenten

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Dieses Kapitel zeigt, wie die Komponenten eines Tensors vom Rang 2 (also die Elemente seiner 3x3-Matrix) beim Übergang von einem Basissystem zu einem anderen transformiert werden. (Im nächsten Kapitel werden damit Tensoren unabhängig von einem Koordinatensystem dargestellt, analog zur koordinatenunabhängigen Darstellung eines Vektors durch einen Pfeil.) Zur Lösung dieser Aufgabe betrachten wir zunächst eine lineare homogene Vektorfunktion.

Lineare Vektorfunktionen

Eine Vektorfunktion ist eine Funktion, bei der die unabhängige Variable v und die abhängige Variable w Vektoren sind:

(4.1)

${\boldsymbol {w}}=f\left({\boldsymbol {v}}\right)\,.$

Bei einer linearen homogenen Vektorfunktion sind die Komponenten von w lineare und homogene Funktionen der Komponenten von v:

(4.2)

${\begin{matrix}w_{1}=\mu _{11}\,v_{1}+\mu _{12}\,v_{2}+\mu _{13}\,v_{3},\\w_{2}=\mu _{21}\,v_{1}+\mu _{22}\,v_{2}+\mu _{23}\,v_{3},\\w_{3}=\mu _{31}\,v_{1}+\mu _{32}\,v_{2}+\mu _{33}\,v_{3}.\end{matrix}}$

Die Koeffizienten μ_ik sind reelle Zahlen.

Solche Funktionen haben die wichtige Eigenschaft der »Distributivität zur Addition«:

(4.3)

$f({\boldsymbol {v}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2})=f({\boldsymbol {v}}_{1})+f({\boldsymbol {v}}_{2});$

ferner gilt

(4.4)

$f({k{\boldsymbol {v}}})=k\,f({\boldsymbol {v}}).$

Übung 4.1: Bestätigen Sie die Gleichungen (4.3) und (4.4).

Die Koeffizienten μ₁₁ ... μ₃₃ des Gleichungssystems (4.2) bilden eine 3x3-Matrix:

(4.5)

${\boldsymbol {M}}=\left(\mu _{ik}\right)={\begin{pmatrix}{\mu _{11}}&{\mu _{12}}&{\mu _{13}}\\{\mu _{21}}&{\mu _{22}}&{\mu _{23}}\\{\mu _{31}}&{\mu _{32}}&{\mu _{33}}\end{pmatrix}}\,,$

mit der man die Funktionsgleichungen (4.2) auch so schreiben kann:

(4.6)

$\left({w_{i}}\right)=\left({\mu _{ik}}\right)\left({v_{i}}\right)={\boldsymbol {M}}\left(v_{i}\right).$

Übung 4.2: Bestätigen Sie diese Gleichung.

Aus Gleichung (4.6) folgt (siehe Gleichung (1.18)), dass der Vektor w das Nachprodukt der Matrix M und des Vektors v ist:

(4.7)

${\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {Mv}}.$

Fassen wir die Matrix (μ_ik) als die Koeffizientenmatrix (F) eines Operators F für das benutzte Basissystem auf, dann ist

(4.8)

${\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {Fv}}.$

Dies ist eine – was v und w betrifft – koordinatenfreie Gleichung der Funktion. Folglich ist auch der Operator F von der benutzten Basis unabhängig. Da der Operator auch sonst alle Kriterien eines Tensors erfüllt, ist F ein Tensor. Eine lineare Vektorfunktion kann somit als Tensoroperation aufgefasst werden, durch die v auf w abgebildet wird.

 

Übung 4.3: Zeigen Sie, dass der Operator F die Bedingungen der Gleichungen (2.2) und (2.3) erfüllt.

 

 

Transformation der Komponenten eines Tensors vom Rang 2

Ein Tensor vom Rang 2 ist nach Definition ein basisunabhängiger Operator mit bestimmten Eigenschaften, der bezüglich eines Basissystems durch eine 3x3-Matrix dargestellt werden kann. Die Elemente dieser Matrix (also die Tensorkomponenten) sind – genau wie die Komponenten eines Vektors – vom benutzten Basissystem abhängig.

Es soll nun gezeigt werden, wie sich die Komponenten des Tensors mit der Matrix (T) beim Wechsel des Basissystems transformieren. Dazu betrachten wir eine lineare Vektorfunktion

(4.9)

${\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {Tv}}.$

Wenn wir eine bestimmte Basis B benützen, ist

(4.10)

$\left({w_{i}}\right)=\left({\boldsymbol {T}}\right)\left({v_{i}}\right),$

wobei

• (w_i) die Komponentenmatrix des Vektors w zur Basis B,

• (v_i) die Komponentenmatrix des Vektors v zur Basis B und

• (T) die Matrix des Tensors T zur Basis B ist.

Bei Benutzung einer anderen Basis B' sei

• die Komponentenmatrix des Vektors w gleich (w'_i),

• die Komponentenmatrix des Vektors v gleich (v'_i), und

• die Matrix des Tensors T gleich (T)'.

Dann ist

(4.11)

$\left({w'_{i}}\right)=\left({\boldsymbol {T}}\right)'\left({v'_{i}}\right),$

wobei die durch ihre Matrizen dargestellten Vektoren w und v in beiden Gleichungen jeweils dieselben sind. Anders ausgedrückt: Durch den Tensor T wird unabhängig von der benutzten Basis ein bestimmter Vektor v immer auf denselben Vektor w abgebildet.

Die Komponenten der Vektoren v und w im System B' sind nach dem Gleichungssystem (3.12)

(4.12)

${\begin{matrix}v'_{1}=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\,,\\v'_{2}=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+b_{3}v_{3}\,,\\v'_{3}=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\,.\end{matrix}}$

und

(4.13)

${\begin{matrix}w'_{1}=a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}\,,\\w'_{2}=b_{1}w_{1}+b_{2}w_{2}+b_{3}w_{3}\,,\\w'_{3}=c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}\,.\end{matrix}}$

Für die inversen Transformationen gilt dann

(4.14)

${\begin{matrix}v_{1}=a_{1}\,v'_{1}+b_{1}\,v'_{2}+c_{1}\,v'_{3}\,,\\v_{2}=a_{2}\,v'_{1}+b_{2}\,v'_{2}+c_{2}\,v'_{3}\,,\\v_{3}=a_{3}\,v'_{1}+b_{3}\,v'_{2}+c_{3}v'_{3}\,.\end{matrix}}$

usw.

Bezeichnen wir die Komponenten des Tensors T im System B' mit μ'_ik, dann lautet das Gleichungssystem der Vektorfunktion im neuen System analog zu Gleichung (4.2)

(4.15)

${\begin{matrix}w'_{1}=\mu '_{11}\,v'_{1}+\mu '_{12}\,v'_{2}+\mu '_{13}\,v'_{3},\\w'_{2}=\mu '_{21}v'_{1}+\mu '_{22}\,v'_{2}+\mu '_{23}v'_{3},\\w'_{3}=\mu '_{31}v'_{1}+\mu '_{32}\,v'_{2}+\mu '_{33}v'_{3},\end{matrix}}$

Wir bestimmen nun die Koeffizienten dieses Systems so, dass im System B' ein bestimmter Vektor v auf den denselben Vektor w abgebildet wird wie im System B.

Wenn wir in (4.2) die erste Zeile mit a₁ multiplizieren, die zweite Zeile mit a₂, die dritte Zeile mit a₃ und dann die drei Ergebnisse addieren, dann erhalten wir auf der linken Seite

(4.16)

$a_{1}\,w_{1}+a_{2}\,w_{2}+a_{3}\,w_{3}.$

Diese Summe aber ist nach (4.13) gleich w' ₁. Für die Summe auf der rechten Seite findet man (nach Ausmultiplizieren und Umordnen)

(4.17)

${\begin{matrix}\left({a_{1}\,\mu _{11}+a_{2}\,\mu _{21}+a_{3}\,\mu _{31}}\right)v_{1}+\left({a_{1}\,\mu _{12}+a_{2}\,\mu _{22}+a_{3}\,\mu _{32}}\right)v_{2}\\+\left({a_{1}\,\mu _{13}+a_{2}\,\mu _{23}+a_{1}\,\mu _{33}}\right)v_{3}.\end{matrix}}$

Also gilt

(4.18)

${\begin{matrix}w'_{1}=\left({a_{1}\,\mu _{11}+a_{2}\,\mu _{21}+a_{3}\,\mu _{31}}\right)v_{1}+\left({a_{1}\,\mu _{12}+a_{2}\,\mu _{22}+a_{3}\,\mu _{32}}\right)v_{2}\\+\left({a_{1}\,\mu _{13}+a_{2}\,\mu _{23}+a_{1}\,\mu _{33}}\right)v_{3}.\end{matrix}}$

Nun ersetzen wir mittels (4.10) die Komponenten v_i (i = 1, 2, 3) durch v' _i. Der erste Summand wird dann

(4.19)

$(a_{1}\,\mu _{11}+a_{2}\,\mu _{21}+a_{3}\,\mu _{31})\left({a_{1}\,v'_{1}+b_{1}\,v'_{2}+c_{1}\,v'_{3}}\right)$

Der zweite Summand ist

(4.20)

$(a_{1}\,\mu _{12}+a_{2}\,\mu _{22}+a_{3}\,\mu _{32})\left({a_{2}\,v'_{1}+b_{2}\,v'_{2}+c_{2}\,v'_{3}}\right)\,,$

und der dritte

(4.21)

$(a_{1}\,\mu _{13}+a_{2}\,\mu _{23}+a_{3}\,\mu _{33})\left({a_{3}\,v'_{1}+b_{3}\,v'_{2}+c_{3}\,v'_{3}}\right)$

Führt man die drei Multiplikationen aus, addiert die Ergebnisse und bildet neue Produkte durch Ausklammern von v' ₁ bzw. v' ₂ bzw. v' ₃ (»Umordnen nach v' ₁ ...«), so erhält man für den Koeffizienten von v' ₁ den Ausdruck

(4.22)

${\begin{matrix}a_{1}^{2}\,\mu _{11}+a_{1}\,a_{2}\,\mu _{21}+a_{1}\,a_{3}\,\mu _{31}+a_{1}\,a_{2}\,\mu _{12}+a_{2}^{2}\,\mu _{22}\\+a_{2}\,a_{3}\,\mu _{32}+a_{1}\,a_{3}\,\mu _{13}+a_{2}\,a_{3}\,\mu _{23}+a_{3}^{2}\,\mu _{33}\\=\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,a_{k}\,\mu _{ik}\,.}}\\\end{matrix}}$

Analog findet man den Koeffizienten von v' ₂:

(4.23)

$\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,b_{k}\,\mu _{ik}}}$

und den von v' ₃

(4.24)

$\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,c_{k\,}\mu _{ik}}}\,.$

Diese Terme müssen identisch sein mit den entsprechenden Koeffizienten in Gleichung (4.10), 1. Zeile, also muss sein

(4.25)

$\mu '_{11}=\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,a_{k}\,\mu _{ik}\,,\quad \mu '_{12}=}}\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,b_{k}\,\mu _{ik}}}\,,\quad \mu '_{13}=\sum _{k=1}^{3}{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\,c_{k\,}\mu _{ik}}}\,,$

usw.

Die Komponenten der neuen Matrix sind also lineare homogene Funktionen der Komponenten der ursprünglichen Matrix. Die Koeffizienten der μ_ik in diesen Gleichungen sind Produkte aus je zwei Komponenten der Matrix der Basistransformation.

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