Ing: Grundlagen der Elektrotechnik/ Druckversion/ Der elektrische Widerstand und das ohmsche Gesetz

Der spezifische Widerstand

Der spezifische Widerstand $\rho$ (griech. rho) ist der Kehrwert des elektrischen Leitwertes $\kappa$ (griech kappa).

$\rho ={\frac {1}{\kappa }}$

Bei allen Leitern ändert sich der spezifische Widerstand mit der Temperatur in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear.

$\rho (T)=\rho (T_{0})\cdot (1+\alpha \cdot (T-T_{0}))$

wobei $\alpha$ der Temperaturkoeffizient, $T$ die Temperatur und $T_{0}$ beliebige Temperatur, z. B. $T_{0}=298{,}15\ \mathrm {K} =25\,^{\circ }\mathrm {C}$, bei der

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:

• Leiter: ρ < 10⁻⁴ Ωcm
• Halbleiter: ρ = 10⁻⁴ Ωcm .. ρ = 10¹² Ωcm
• Isolatoren oder Nichtleiter: ρ > 10¹² Ωcm

 

Der elektrische Widerstand

Der Widerstand von Leitungsdrähten

1. ist proportional zu der Länge eines Leiters: Je länger die Leitung, umso mehr hindert sie den Stromfluss.
2. ist umgekehrt proportional zu dem Querschnitt eines Leiters: Je größer der Querschnitt der Leitung, umso weniger hindert sie den Stromfluss.
3. ist abhängig vom Leitungsmaterial (Kupfer leitet besser als Eisen).

Die Abhängigkeit vom Leitungsmaterial wird beschrieben durch den spezifischen Widerstand.

Der spezifische Widerstand eines Leiters ist eine Materialkonstante, die von der Zusammensetzung des Leiters abhängt; in Formeln wird er mit dem griechischen Buchstaben $\rho \$ (rho) bezeichnet.

Es gibt eine Abhängigkeit des spezifischen Widerstands von der Temperatur, der oft vernachlässigt werden kann.

Die Formel

Der Widerstand eines Leiters ist abhängig von der Länge, dem Querschnitt und dem Material. Diese Abhängigkeit wird in folgender Formel dargestellt:

$R={\frac {\rho \cdot l}{A}}$

R = Widerstand in [Ω]

l = Länge des Leiters in [m]

A = Querschnittsfläche des Leiters

ρ = spezifischer Widerstand des verwendeten Materials

Querschnitt

z. B. bei kreisförmigem Querschnitt $A=\pi \cdot r^{2}$ mit π = 3,14… und r = Radius

Der spezifische Widerstand Rho ρ

Durch Umformen der obigen Formel erhält man

$\rho ={\frac {R\cdot A}{l}}$

Diese Formel kann man verwenden, um aus einer Versuchsanordnung den Wert $\rho$ zu berechnen. Die Maßeinheit ist Ω × m² / m, nach Kürzen Ω × m. Allerdings ist die Angabe eines Leiterquerschnittes in Quadratmetern recht wirklichkeitsfremd, es ergeben sich unhandlich kleine Werte: Für Kupfer z. B. 1,78 × 10^–8 Ohm × Meter.

In der Praxis setzt man den Querschnitt des Leiters in Quadratmillimetern in die Formel ein und erhält Ω × mm² / m, nach Kürzen Ω × m × 10^–6 = Mikro-Ohm × Meter. Damit ergibt sich für Kupfer z. B. 0,0178 Mikro-Ohm × Meter.

In manchen Fällen verwendet man den Begriff der „spezifischen elektrischen Leitfähigkeit“, die als Kehrwert des spezifischen Widerstandes definiert ist.

ρ ist der spezifische Widerstand des verwendeten Materials bei Raumtemperatur (20 °C). Beispiel:

Material	(Ω × mm²) / m
Silber (Ag 100 %):	0,0167
Kupfer (Cu 99,9 %):	0,0178
Wolfram:	0,056
Gold (Au 100 %):	0,0220
Aluminium (Al 99,5 %):	0,0278
Eisen (Fe 100 %):	0,1000
Konstantan:	0,50
Graphit:	8,0
Hartgummi:	1019

Der spezifische Widerstand ist der Kehrwert des elektrischen Leitwertes.

Widerstände werden benutzt:

1. Um einem Bauteil (z. B: einem Transistor) einen begrenzten Strom zuzuführen.
2. Um einen definierten Spannungsabfall zu erhalten. Das wird benutzt, um Ströme zu messen. So wird Strom dadurch gemessen, dass der Spannungsabfall an einem Widerstand von z. B. 0,1 Ohm durch ein Voltmeter gemessen wird.
3. Um einen Strom zu begrenzen.
4. Als Arbeitswiderstand am Ausgang eines Bauteils (z. B. Transistor) damit.

Widerstandsthermometer nutzen die Tatsache, dass sich der spezifische Widerstand eines Leiters mit der Temperatur verändert. Es gibt Widerstandsthermometer zu kaufen, deren Aufnehmer ein dünnes Platindrähtchen ist, das bei 0 °C 100 Ohm hat und bei 200 °C 175,84 Ohm.

Heißleiter haben bei höherer Temperatur einen geringeren Widerstand. Sie werden beispielsweise eingesetzt, um ein Gerät bei Erreichen einer bestimmten Temperatur abzuschalten.

Das Ohmsche Gesetz

Das ohmsche Gesetz (nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm) besagt, dass die Stromstärke I eines elektrischen Stromes durch einen Leiter bei konstanter Temperatur proportional zur angelegten elektrischen Spannung mit dem Wert U ist, also

$I\sim U$

Die Stromstärke I ist bei gegebener Spannung proportional zum Kehrwert des Widerstands R

$I\sim {\frac {1}{R}}$

Klassisch ist die Proportionalitätskonstante die Leitereigenschaft, auch wenn die Gleichung anders interpretiert werden kann. Sie wird als Widerstand R oder Leitwert G notiert, womit sich

$I=G\cdot U$, $I={\frac {U}{R}}$ oder $U=R\cdot I$

ergibt. Als Einheit für [R] wird Ohm mit dem griechischen $\Omega$ als Zeichen benutzt: 1 $\Omega$ = 1 V/A mit V (Volt) und A (Ampere)

Der elektrische Leitwert G ist der reziproke Wert 1/R des elektrischen Widerstandes R und wird in Siemens (Einheit S, nach Werner von Siemens) angegeben.