Lineare Algebra: Vektorrechnung: Geraden

Geraden

Geradengleichung

Vektorform der Geradengleichung

Zu irgendeinem Punkt P auf einer Geraden (im Dreidimensionalen), zu dem der Ortsvektor x zeigt, gelangt man, wenn man ein bestimmtes Vielfaches des Richtungsvektors u, also etwa k u, nimmt. k wird auch Parameter genannt. Dieser Richtungsvektor u ist am Stützvektor a angehängt. (s.Abb.). Damit ist also

x = a + k u

die Gleichung der Geraden in Vektorform.

• BEISPIEL

x = (1; 1; 2) + k (1; 2; 1,5) ist die Gleichung der in der Abbildung skizzierten Geraden. Für k = 6 z.B.erhält man

x = (1; 1; 2) + 6 (1; 2; 1,5) = (1; 1; 2) + (6; 12; 9) = (7; 13; 11)

d.h. der Punkt P (7 |13 |11) ist ein Punkt der Geraden.

Gerade durch zwei Punkte

Sind A (Ortsvektor: a = (a₁, a₂, a₃ ) und B (Ortsvektor: b = (b₁, b₂, b₃ ) zwei Punkte, die den Richtungsvektor u vorgeben, so ist a + u = b oder u = b - a und damit wird die Geradengleichung

x = a + k ( b - a ).

• BEISPIEL

Seien A mit (3; 5; 6) und B mit (-4; 2; 0) zwei vorgegebene Punkte, dann ist

x = a + k ( b - a )

= (3; 5; 6) + k ( -7; -3; -6 )

die Gleichung der Geraden durch A und B.

Parallele Geraden

Zwei Geraden verlaufen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

• BEISPIEL

x₁ = (3; 5; 6) + k (-7; -3; -6) und

x₂ = (-2; 1; 0) + m (14; 6; 12) = (-2; 1; 0) - m' (-7; -3; -6) sind parallele Geraden.

(-7;-3;-6) = k(14;6;12) k=-0,5 k ist const. --> Geraden sind parallel oder identisch

Normalenvektor

Ein zu einer Geraden senkrecht stehender Vektor n heißt Normalenvektor. Für ein solches n gilt

n u = 0.

• BEISPIEL

Sei u' = (-7; -3; -6) ein Richtungsvektor einer Geraden. Dann ist zunächst: n₁u₁ + n₂u₂ + n₃u₃ = 0. Wählt man beliebig n₁ = 4, n₂ = 2/3, dann ist 4 (-7) + 2/3 (-3) + n₃ (-6) = 0, woraus n₃ = -5 folgt. Also ist n = (4; 2/3; -5) ein Normalenvektor für die vorgegebene Gerade.

Die Normalenform der Geradengleichung

Statt eine Gerade über einen Stützvektor a und einen Richtungsvektor vorzugeben, kann man diese auch über a und einen Normalenvektor n bestimmen. Denn alle Punkte P der Geraden sind dann dadurch festgelegt, daß sie senkrecht zu n liegen.
Ist x ein zum Geradenpunkt P zeigender Ortsvektor, so folgt aus

x = a + k u

u = 1/k (x - a).

Für zu u senkrechtstehende Vektoren n gilt u n = 0, d.h. es ist

n 1/k (x - a) = 0

oder nach Durchmultiplizieren mit k

n (x - a) = 0.

Dies ist die Normalenform der Geradengleichung.

• BEISPIEL

Nach dem vorigen Beispiel ist (4; 2/3; -5) (x - (3; 5; 6) ) = 0 die Normalenform der durch A (3 |5 |6) und B (-4 |2 |0 ) gehenden Geraden.

Die HESSE-Normalform der Geradengleichung

Diese Form erhält man, wenn in der vorigen Normalform der Vektor n durch n_o ersetzt wird. Dabei ist n_o der "auf die Länge 1 normierte" Vektor n:

n_o = n / ||n||.

• BEISPIEL

Ist n = (3; 0; 4), so ist n_o = 1/5 (3; 0; 4).

Abstand Punkt-Gerade

Nach Definition des Skalarproduktes ist AQ · n_o = AQ · n_o cos φ. Weil n_o die Länge 1 hat, bleibt n_o = AQ · cos φ. Weil (vgl.Abb.) d / AQ = cos φ ist, erhält man AQ · n_o = d, d.h. es gilt

(OQ - OA) n_o = d.

Der Term auf der linken Seite ist von der HESSE-Normalform der Geradengleichung bekannt. Dort gilt für einen Punkt P auf einer Geraden

(OP - OA) n_o = 0.

Man bekommt also den Abstand d eines Punktes Q von einer Geraden, wenn man in deren HESSE-Normalform (x - a) n_o = 0 den Vektor x durch den zu Q führenden Vektor ersetzt.

• BEISPIEL

Eine Gerade ist in der Normal-Form

g: [x - (3; 1)](15; 8) = 0

vorgegeben. Um den Abstand d vom Punkt Q (9 |10) zu berechnen, "normieren" wir den Normalenvektor (15; 8) auf die Länge 1. Es wird so

n_o = ( 1 / (√ 225+64) )(15; 8) = 1/17 (15; 8). Damit wird die HESSE-Normalform

1/17 (15; 8) [x - (3; 1)] = 0

und so wird der gesuchte Abstand d

d = 1/17 (15; 8) [(9; 10) - (3; 1)]

d = 1/17 (15; 8) [6; 9]

d = 1/17 [90 + 72]

d = 162/17.

Schnittpunkt zweier Geraden. Windschiefe Geraden

Im Dreidimensionalen gibt es zwei nicht parallele Geraden, die keinen Schnittpunkt S haben. Solche aneinander vorbeilaufende Geraden heißen windschiefe Geraden.
Sind u, v die beiden Richtungsvektoren, a, b die beiden Stützvektoren zweier Geraden, so erreicht man den Schnittpunkt S durch

x_S = a + r u bzw.

x_S = b + s v

für ein bestimmtes Zahlenpaar r, s. Damit ist

a + r u = b + s v.

Im Fall der Ebene ergeben sich daraus zwei Gleichungen für r und s, die eine einzige Lösung haben, wenn die beiden Geraden nicht parallel oder identisch sind. Im Dreidimensionalen liegen drei Gleichungen für r, s vor, die nicht immer eine Lösung ergeben müssen.

• BEISPIEL

Aus

x = (1; 3) + r(6; 3)

x = (5; 3) + s(-2; 3)

folgt durch Gleichsetzen

(1; 3) + r(6; 3) = (5; 3) + s(-2; 3).

Damit erhält man das Gleichungssystem

1 + 6r = 5 - 2s

3 + 3r = 3 + 3s.

Daraus folgt r = 1/2 und aus x = (1; 3) + r(6; 3) folgt damit x_S (4; 4,5), d.h. der Schnittpunkt hat die Koordinaten 4 und 4,5.

• BEISPIEL

Die beiden Geraden

x = (3; 1; 3) + r(1; -2; -1)

x = (2; 1; 0) + s(3; -2; 2)

sind windschiefe Geraden. Aus den beiden Vorgaben folgt nämlich durch Gleichsetzen (3; 1; 3) + r(1; -2; -1) = (2; 1; 0) + s(3; -2; 2), das heißt

3 + 1 r = 2 + 3 s

1 - 2 r = 1 - 2 s

3 - 1 r = 2s.

Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt r = 1 und s = 1. Diese beiden Werte erfüllen aber die noch nicht benutzte erste Gleichung nicht. Für die beiden gegebenen Geraden existiert kein gemeinsamer Punkt (Schnittpunkt). Da

u = (1; -2; -1) und v(3; -2; 2) nicht parallele Vektoren sind (u ist kein Vielfaches von v), sind die beiden Geraden tatsächlich windschief.

ANMERKUNG Die Beispiele machen deutlich, daß zwischen Vektorrechnung und dem Lösen von Gleichungssystemen ein Zusammenhang besteht. In der Matrizenrechnung wird darauf eingegangen.