Linearisierung von resistiven Sensoren/ Heissleiter

Nehmen wir an, wir wollen mit dem Heißleiter NTCLE100E3 eine analoge Schaltung aufbauen, welche eine zur Temperatur proportionale Ausgangsspannung hat.

Formel

Im Datenblatt finden sich folgende Formeln:

$R_{T}=R_{ref}\cdot e^{(A+B/T+C/T^{2}\cdot D/T^{3})}$:

$T(R)=(A_{1}+B_{1}\cdot \ln {\frac {R}{R_{Ref}}}+C_{1}\cdot \ln ^{2}{\frac {R}{R_{Ref}}}+D_{1}\cdot \ln ^{3}{\frac {R}{R_{Ref}}})^{-1}$

sowie die zugehörigen Konstanten.

Schaltung

Verein­fachtes Schalt­bild eines Logarithmierers

Der Logarithmus erscheint im ersten Moment sehr unhandlich, jedoch existiert eine Operationsverstärkerschaltung, welche logarithmieren kann. Die Formel der nebenstehenden Schaltung ist:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R}}\right)$

wobei:

$n=konst.$

$m=konst.$

n und m sind im Wesentlichen von der Diode abhängig. Da sich diese nicht im Datenblatt findet, müssen sie Messtechnisch bestimmt werden.

Zu unserem Zwecke setzen wir zusätzlich die Eingangsspannung konstant:

$U_{e}=konst.$

Der Widerstand R ist unser NTC-Widerstand.

Herleitung

Wir haben diese beiden Formeln:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R}}\right)$

$R_{T}=R_{ref}\cdot e^{(A+B/T+C/T^{2}\cdot D/T^{3})}$

Als erstes vereinfachen wir die Formel für den Widerstand, indem wir für eine erste Näherung die Anteile höherer Ordnung vernachlässigen:

$R_{T}\approx R_{ref}\cdot e^{(A+B/T)}$

Nun setzen wir $R_{T}$ für $R$ in der Formel des Logarithmierers ein:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}\cdot e^{(A+B/T)}}}\right)$

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {1}{A+B/T}})$

Da $B/T\gg A$ können wir A vernachlässigen:

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {1}{B/T}})$

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {T}{B}})$

Wir können also schreiben:

$U_{a}\sim -T$

In Worten: $U_{a}$ ist näherungsweise proportional zur Temperatur.

Die Beweisführung ist nicht hieb- und stichfest: Da wir mehrere Variablen weggelassen haben, werden wir später entsprechende Nicht-Linearitäten in der Kennlinie haben.

Schaltung

Die Herleitung beweist nur, dass unsere Schaltung funktioniert, wenn die Variablen wirklich vernachlässigt werden können. Ob dies der Fall ist, soll uns eine Simulation zeigen.

Der in der Schaltung eingebaute Logarithmierer ist temperatur-kompensiert. Die Temperaturkompensation ist bei einer Temperaturmessung zwingend notwendig. Zur Vertiefung: Linearisierung von resistiven Sensoren/ Heissleiter/ Logarithmierer

Gain-Offset-Korrektur

Die Ausgangsfunktion ist näherungsweise linear, ist aber gegenüber der Nulllinie verschoben und besitzt noch die falsche Steilheit.

Verstärkung

Zur Korrektur der Funktion kommt ein Invertierender Addierer zum Einsatz:

Als nächstes muss der Bereich der Ausgangsspannung festgelegt und gemessen werden:

$U_{out\vartheta 1}$ ist die Ausgangsspannung bei tiefster Temperatur und $U_{out\vartheta 2}$ Ausgangsspannung bei höchster Temperatur.

Da beide Funktionen Geraden sind (oder zumindest sein sollen), ist die Verstärkung konstant: $V_{U}={\frac {\Delta U_{out}}{\Delta U_{log}}}$

Die Differenz ausschreiben: ${\underline {\underline {V_{U}={\frac {U_{out\vartheta 2}-U_{out\vartheta 1}}{U_{log\vartheta 2}-U_{log\vartheta 1}}}}}}$

Mit der Formel für den invertieren Verstärker, können wir $R_{1}$ (in einem sinnvollen Rahmen) willkürlich festlegen und $R_{3}$ berechnen: $V_{U}=-{\frac {R3}{R1}}\rightarrow {\underline {\underline {R3=-V_{U}*R1}}}$

$R_{4}=R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}$

Offset

Das Ausgangssignal ist nun linear und hat nun die richtige Steilheit. Jetzt müssen wir nur noch den Offset (Verschiebung gegenüber der Nulllinie) abgleichen.

Hierzu verwende ich den Knotensatz: $I_{3}=I_{1}+I_{2}$

$I_{1}$ ist gegeben durch $I_{1}={\frac {U_{log}}{R_{1}}}$ da $U_{log}=U_{1}$, weil der Knotenpunkt K1 ein virtueller Nullpunkt ist.

$I_{3}$ ist gegeben durch $I_{3}={\frac {U_{out}}{R_{3}}}$

Es fehlt uns also nur noch $I_{2}$, welchen wir nun mittels Knotensatz bestimmen können: $I_{2}=I_{3}-I_{1}$

da auch gilt

$I_{2}={\frac {U_{2}}{R_{2}}}$

haben wir nun alle benötigten Gleichungen.

Da konstante Spannung leichter zu erzeugen ist als konstante Ströme, ist es sinnvoll, die Formel nach dem Widerstand aufzulösen:

$R_{2}={\frac {U_{2}}{I_{2}}}$

$R_{2}={\frac {U_{2}}{I_{3}-I_{1}}}$

$R_{2}={\frac {U_{2}}{{\frac {U_{out}}{R_{3}}}+{\frac {U_{log}}{R_{1}}}}}$

Das Ganze rechnen wir noch beim Arbeitspunkt der niedrigsten Temperatur $\vartheta _{1}$ (Bei $\vartheta _{2}$ wäre die Rechnung eben so möglich und käme zum selben Resultat.)

${\underline {\underline {R_{2}=-{\frac {U_{2}}{{\frac {U_{out\vartheta _{1}}}{R_{3}}}+{\frac {U_{log\vartheta _{1}}}{R_{1}}}}}}}}$

Resultat

(Kennlinie)

(Abweichung der Kennlinie)

(Diskussion und weiteres Vorgehen)

Quellen

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