MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Trigonometrische Funktionen

Nachdem wir nun die alle grundlegenden Regeln zur Ableitung besprochen haben und zusätzlich auch die Ableitungen von Umkehr- und Exponentialfunktionen behandelt haben, gehen wir nun zu einer für die Oberstufenanalysis speziellen Gruppe von Funktionen, den trigonometrischen Funktionen über.

Da die trigonometrischen Funktionen in der Oberstufe nur ein Randthema darstellen, wird hier nur eine Auswahl an den wichtigsten Funktionen und ihren Ableitungen gegeben. Außerdem wird versucht, auf länderspezifisch-thematische Unterschiede aufmerksam zu machen.

Ableitung des Sinus

Für die Ableitung des Sinus können wir leider auf keinen der bereits bewiesenen Sätze zurückweisen, sondern müssen wieder den Differentialquotienten benutzen.

Bildung des Grenzwertes

Für die Ableitung der Funktion $\sin(x)$ gilt (Einsetzen in den Differentialquotienten):

$f'(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\,{\frac {\sin(x+\epsilon )-\sin(x)}{\epsilon }}$

Mit der Beziehung $\sin {\alpha }-\sin {\beta }=2\cdot \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$ und $\alpha =x+\epsilon ~\wedge ~\beta =x$ ergibt sich:

$f'(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\,{\frac {2\cdot \cos({\frac {(x+\epsilon )+x}{2}})\cdot \sin({\frac {(x+\epsilon )-x}{2}})}{\epsilon }}$

$f'(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0}\,{\frac {\cos(x+{\frac {\epsilon }{2}})\cdot \sin({\frac {\epsilon }{2}})}{\frac {\epsilon }{2}}}$

Um die Übersicht zu bewahren, bietet es sich an, folgenden Limitenwechsel zu machen: $\epsilon \to 0~\Rightarrow ~{\frac {\epsilon }{2}}\to 0$. Der Möglichkeitsbeweis für diese Wechsel ist trivial und sei dem Leser überlassen.

Sei ${\frac {\epsilon }{2}}=i$ so gilt:

$f'(x)=\lim \limits _{i\to 0}\,\left(\cos(x+i)\cdot {\frac {\sin(i)}{i}}\right)$

$=\lim \limits _{i\to 0}\,\cos(x+i)\cdot \lim \limits _{i\to 0}\,{\frac {\sin(i)}{i}}$

$=\cos(x)\cdot \lim \limits _{i\to 0}\,{\frac {\sin(i)}{i}}$

Setzt man nun einige Werte ein, um zu prüfen, ob und wohin der letzte Grenzwert konvergiert, so erkennt man, dass er gegen $1$ läuft, also $\lim \limits _{i\to 0}{\frac {\sin(i)}{i}}=1$.

Ableitung der Sinusfunktion

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion

$f(x)=\sin(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\cos(x)$

 

Beweis der letzten Vermutung über Betrachtungen am Einheitskreis

Über Verhältnisgleichungen am Einheitskreis, kann man nun den letzten Limes berechnen. Dies ist aber in vielen Lehrbüchern nicht mehr enthalten. Die oben genannten Überlegungen genügen. Da der Beweis dennoch manchmal angeführt wird, werden wir ihn auch hier kurz behandeln.

Es ist $\forall k\in [0;1]:\sin(k)\leq k\leq \tan(k)$ (da $\tan(k)={\frac {\sin(k)}{\cos(k)}}$). Daraus ergibt sich:

$\sin(k)\leq k\leq \tan(k)$

$\Leftrightarrow \quad {\frac {\sin(k)}{\sin(k)}}\leq {\frac {k}{\sin(k)}}\leq {\frac {\tan(k)}{\sin(k)}}$ (für $k\neq 0$)

$\Leftrightarrow \quad 1\leq {\frac {k}{\sin(k)}}\leq {\frac {1}{\cos(k)}}$

Nun bilden wir den Kehrwert. Logischerweise müssen damit auch die Relationszeichen vertauscht werden:

$1\geq {\frac {\sin(k)}{k}}\geq \cos(k)$

Wir bilden den Limes $\lim \limits _{k\to 0}$. Da die $0$ in unserem Intervall enthalten ist, dürfen wir dies ohne Einschränkungen machen, wir müssen ihn aber auf alle Terme der Gleichung anwenden:

$\lim \limits _{k\to 0}\,1\geq \lim \limits _{k\to 0}\,{\frac {\sin(k)}{k}}\geq \lim \limits _{k\to 0}\,\cos(k)$

$\Leftrightarrow \quad 1\geq \lim \limits _{k\to 0}\,{\frac {\sin(k)}{k}}\geq 1$

$\Leftrightarrow \quad \lim \limits _{k\to 0}\,{\frac {\sin(k)}{k}}=1$

Damit ergibt sich für den gesamten Limes: $f'(x)=\cos(x)\cdot 1=\cos(x)$

Ableitung des Kosinus

Über die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus kann man einfach zeigen (Klasse 10), dass $\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$.

Die Ableitung der Kosinusfunktion lässt sich folglich mit der Kettenregel herleiten:

$f(x)=\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

$\Leftrightarrow \quad f'(x)=-1\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

$\Leftrightarrow \quad f'(x)=-\sin(x)$

Ableitung der Kosinusfunktion

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion

$f(x)=\cos(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=-\sin(x)$

 

Ableitung des Tangens

Bei der Einführung der trigonometrischen Funktionen ist der Tangens auch in Beziehung zu Sinus und Kosinus gesetzt worden über $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$. Mit Hilfe dieser Beziehung, der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion und der Quotientenregel kann man nun den Tangens ableiten:

$f(x)=\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

$\Rightarrow \quad f'(x)={\frac {(\cos(x)\cdot \cos(x))-(\sin(x)\cdot (-\sin(x)))}{\cos ^{2}(x)}}$

$\Leftrightarrow \quad f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

Im Nenner haben wir nun die oft als „trigonometrischen Pythagoras“ bezeichnete Beziehung $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$. Damit können wir die Ableitung vereinfachen zu:

$\Leftrightarrow \quad f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

In einigen Kursen und Büchern werden überdies auch die trigonometrischen Funktionen des „Sekans“ und „Kosekans“ im Unterricht behandelt. In dem Fall kann man die Ableitung sogar noch mehr vereinfachen zu:

$\Leftrightarrow \quad f'(x)=\sec ^{2}(x)$

Ableitung der Tangensfunktion

Die Ableitung des Tangens ist der Kehrwert des quadrierten Kosinus.

$f(x)=\tan(x)\quad \Rightarrow f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)$

 

Ableitung des Kotangens

Analog zum Tangens, kann man über die Quotientenregel unter Benutzung des trigonometrischen Phytagoras’ auch den Kotangens ableiten.

Man benutzt dazu die Beziehung $\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$ und geht ansonsten analog vor.

$f(x)=\cot(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}$

Damit ergibt sich für die Ableitung:

$\Leftrightarrow \quad f'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=\csc ^{2}(x)$

Der letzte Term beinhaltet den sogenannte Kosekans und wird - wie der Sekans - nicht in allen Bundesländern gelehrt. Für diese Fälle genügt also der vorletzte Term.

Ableitung der Kotangensfunktion

Die Ableitung des Kotangens ist der negative Kehrwert des quadrierten Sinus.

$f(x)=\cot(x)\quad \Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=\csc ^{2}(x)$