MathGymOS/ Analysis/ Epsilon-Delta-Definitionen von Grenzwert und Stetigkeit/ Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit und Unstetigkeit anschaulich

Stetigkeit ist eine wichtige Funktionseigenschaft, ohne die zum Beispiel die Differentiation nicht möglich ist. Anschaulich bedeuted Stetigkeit, dass man, wenn man die Umgebung eines Punktes kennt, auch etwas über den Punkt selbst aussagen kann und diese Aussagen richtig sind - es gibt also kein unerwartetes Verhalten in diesem Punkt.

Ein einfaches, anschauliches Stetigkeitskriterium ist das Bleistiftkriterium. Es sagt, dass eine Funktion dann stetig ist, wenn man sie ohne mit dem Stift abzusetzen durchzeichnen kann. In den allermeisten Fällen ist die Funktion dann tatsächlich stetig - und in den für die Schule relevanten Fällen ohnehin.

Definition: Stetigkeit in einem Punkt

Eine reelle Funktion $f$ ist im Punkt $x_{0}$ genau dann stetig, wenn ihr Grenzwert in diesem Punkt existiert und (sofern berechenbar) gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist. Das heißt:

$\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Damit gilt für die Stetigkeit also auch das im vorherigen Kapitel definierte $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium.

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

Betrachten wir insbesondere reelle Funktionen, so gibt es auch ein alternatives Kriterium. Es gilt: Eine Funktion $f$ ist in einem Punkt $x_{0}$ genau dann stetig, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert in diesem Punkt mit dem Funktionswert übereinstimmen.

Beispiel: Stetigkeit in einem Punkt

Betrachten wir als Beispielfunktion die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ im Punkt $x_{0}=0$.

Nun bilden wir den sogenannten rechtsseitigen Grenzwert. Das heißt: Wir nehmen nur Werte, für die gilt: $x\geq x_{0}=0$ und arbeiten mit diesen. Es gilt:

$\lim \limits _{x\nearrow x_{0}}f(x)=0$

Es sollte klar sein, dass dieser Grenzwert stimmt.

Nun nähern wir uns von links an den Punkt an, wir benutzen also nur Werte, die kleiner Sind als der Punkt $x\leq x_{0}=0$ und bilden also den linksseitigen Grenzwert:

$\lim \limits _{x\searrow x_{0}}f(x)=0$

Die Pfeile unter dem Limes zeigen dabei immer an, von welcher Richtung aus wir uns dem Punkt nähern. Es gibt auch andere Schreibweisen.

Nun sind wir aber noch nicht ganz fertig. Wir stellen ferner fest, dass gilt: $f(x_{0})=f(0)=0$.

Und damit gilt: $\lim \limits _{x\searrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})=\lim \limits _{x\nearrow x_{0}}f(x)$.

Damit stimmen rechts- und linksseitiger Limes im Punkt mit dem Funktionswert überein. Die Funktion ist also in diesem Punkt stetig.

 

Definition: Stetigkeit von Funktionen

Oben hatten wir uns bereits überlegt, was Stetigkeit von Funktionen bedeutet. Die Definition sagt uns nun, dass eine Funktion in einem Intervall $I$ stetig ist, wenn sie in allen Punkten des Intervalls stetig ist.

Wenn man dies mit Hilfe der Definition (Epsilon-Delta-Stetigkeit) berechnen will, so hält man den Punkt variabel und zeigt, dass man trotzdem immer ein geeignetes Delta finden kann.

Stetig ergänzbare Funktionen und Beispiele

Manche Funktionen sind nur an ganz wenigen Stellen in ihrem Definitionsbereich unstetig.

Beispiel: Unstetigkeitsstellen

Betrachten wir als Beispielfunktion die Signumfunktion $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$.

Für alle $x>0$ und $x<0$ ist die Funktion stetig, weil sie dort konstant ist (man kann das Delta logischerweise frei wählen). Was aber gilt im Punkt $x=0$?.

Bilden wir rechts- und linksseitigen Grenzwert, die wegen der Konstanz einfach zu bilden sind und vergleichen mit dem Funktionswert:

$\lim \limits _{x\searrow 0}\operatorname {sgn}(x)=1$

und $\lim \limits _{x\nearrow 0}\operatorname {sgn}(x)=-1$

und ferner: $\operatorname {sgn}(0)=0$.

Damit kann die Funktion an dieser Stelle nicht stetig sein.

 

Es bleibt anzumerken, dass eine Funktion in ihrem Definitionsbereich beliebig viele Unstetigkeitsstellen haben kann. Da solche Funktionen auch helfen können, sich einen Überblick über den Begriff der Stetigkeit zu verschaffen, wollen wir hier das wahrscheinlich bekannteste Beispiel ohne Beweis angeben:

Beispiel: Unstetigkeitsstellen

Wir definieren eine Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (also auf dem Bereich der reellen Zahlen) wie folgt: $f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational}},\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational}}.\end{cases}}$

Diese Funktion ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und heißt Dirichlet-Funktion, benannt nach einem berühmten Mathematiker, der sich mit diesem Gebiet beschäftigt hat. Man kann zeigen, dass diese Funktion nirgendwo stetig ist.

 

Eine weitere Klasse von Funktionen, deren Betrachtung nützlich ist, ist diejenige der Funktionen mit nur wenigen Definitionslücken. Ein klassisches Beispiel ist die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$. An der Stelle $x=0$ ist diese Funktion bekanntermaßen nicht definiert. Die Frage ist nun, ob man eine solche Funktion so erweitern kann, dass sie dann stetig ist. Das kann beispielsweise helfen, wenn man die Funktion ableiten möchte. Hierzu teilt man die Definitionslücken in vier verschiedene Klassen ein, für die wir jeweils ein Beispiel betrachten wollen:

• (hebbare) Lücke
• Sprungstelle
• Polstelle
• Oszillationsstelle

Beispiel: Unstetigkeitsstellen

(hebbare) Lücke

Beginnen wir mit folgendem Beispiel:

$f(x)={\frac {x^{2}}{x}}$

An der Stelle $x=0$ ist diese Funktion nicht definiert. Allerdings können wir den Limes von rechts und links bilden und erhalten:

$\lim \limits _{x\nearrow 0}\,f(x)=0=\lim \limits _{x\searrow 0}\,f(x)$

Wir können also die Funktion ergänzen und erhalten eine Funktion, die auch im Punkt $x=0$ stetig ist. Die Funktion ist also stetig ergänzbar (die Lücke kann behoben werden). Dann gilt für diese neue Funktion (wir nennen sie um, um deutlich zu machen, dass es sich nicht um die ursprüngliche Funktion handelt):

$g(x)={\begin{cases}f(x)~~x\neq 0\\0\quad x=0\end{cases}}$

Sprungstelle

An einer Sprungstelle, "springt" die Funktion - wie der Name schon sagt. Eine ähnliche Funktion haben wir in der Signumfunktion oben betrachtet (mit dem Unterschied, dass dort keine Definitionslücke existierte). Leicht abgewandelt ergibt sich folgendes Beispiel:

$f(x)={\begin{cases}1~~x>0\\-1~~x<0\end{cases}}$

Es sollte klar sein, dass sich hier kein Punkt finden lässt, der die Funktion stetig ergänzt.

Polstelle

Eine Polstelle findet sich in dem oben angesprochenen Beispiel:

$f(x)={\frac {1}{x}}$

In $x=0$ besitzt diese Funktion eine Definitionslücke. Was geschieht an dieser Stelle? Bilden wir die Grenzwerte:

$\lim \limits _{x\nearrow 0}\,f(x)=-\infty$

$\lim \limits _{x\searrow 0}\,f(x)=+\infty$

Die Funktion wird also beliebig groß, wenn sie sich der Definitionslücke annähert. Ein solches Verhalten nennt man nun eine Polstelle. Es lässt sich kein Punkt finden, sodass die Funktion auch in diesem Punkt stetig ist, da die Grenzwerte an $x=0$ nicht einmal existieren.

Oszillationsstelle

Die Oszillationsstelle von $f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ (nur positive x-Achse)

Die schwierigsten Definitionslücken sind sogenannte Oszillationsstellen. Ihr Stetigkeitsverhalten ist sehr unterschiedlich. Wir wollen daher keinen Beweis angeben. Die Funktion

$f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

besitzt in $x=0$ eine Definitionslücke, eine Oszillationsstelle. Diese heißt so, weil die Funktion um den Nullpunkt immer schneller schwingt. Sie ist im Nullpunkt nicht stetig ergänzbar. Anders hingegen die Funktion

$g(x)=x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

die in $x=0$ mit der Null stetig ergänzt werden kann.