MathGymOS/ Analysis/ Stammfunktion

Eine Funktion $F(x)$ heißt genau dann Stammfunktion von $f(x)$, wenn gilt:

$F'(x)=f(x)\,\!$

Um die bzw. eine Stammfunktion zu finden, ist Geschick und Erfahrung nötig, nicht alle Muster finden sich gleich in der Ableitungstabelle. Diese Stammfunktion ist für die Integralrechnung von Bedeutung, siehe Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung.

Beispiel

$f:\ \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$

$f(x)=x^{2}\,\!$

gesucht ist $F(x)$. Man wird feststellen, dass in der Ableitungstabelle nirgends eine Funktion $f(x)$ mit $f'(x)=x^{2}$ zu finden ist. Wir müssen also ein bisschen tricksen. Für dieses Beispiel sind zwei Regeln der Differentialrechnung von Bedeutung:

$(1)\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(af)=a\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f)$

$(2)\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{a})=a\cdot x^{a-1}$

Nehmen wir an, $a=3$, dann ist $a-1=2$. Leiten wir nun $f(x)=x^{3}$ ab, so erhalten wir $f'(x)=3\cdot x^{2}$. Wir teilen also den Funktionsterm $f(x)$ durch 3, um die Stammfunktion zu erhalten:

$F(x)={\frac {1}{3}}{x^{3}}$