MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-E

Gegeben ist eine Ebene in Hesse'scher Normalenform

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0$ und ein Punkt $P\left(p_{1}|p_{2}|p_{3}\right)$

Die Gerade $g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\vec {n}}_{e}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$ ist die Lotgerade vom Punkt P auf die Ebene E (denn sie durchstößt E senkrecht und verläuft durch P).

Sei ${\vec {l}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t_{l}\cdot {\vec {n}}_{e}$ (*) der Ortsvektor des Lotfußpunktes L.

Dann ist der Abstand $d(P,E)=d(P,L)=\left|{\overrightarrow {PL}}\right|=\left|t_{l}\cdot {\vec {n}}_{e}\right|=\left|t_{l}\right|$

Da der Lotfußpunkt auch ein Punkt der Ebene ist, muss auch gelten:

{\vec {l}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0

Einsetzen von (*) in diese Gleichung liefert

\left[{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t_{l}\cdot {\vec {n}}_{e}\right]\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0

\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}+t_{l}\cdot \underbrace {{\vec {n}}_{e}\cdot {\vec {n}}_{e}} _{=1}-d=0

\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=-t_{l}

\Leftrightarrow \left|t_{l}\right|=\left|{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d\right|

Damit ergibt sich allgemein:

Satz

Der Abstand eines Punktes $P\left(p_{1}|p_{2}|p_{3}\right)$ von einer Ebene E mit Hesse'scher Normalenform $E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0$ ist : $d(P,E)=\left|{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d\right|$