MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand g-g 2

Vorgegeben sind zwei windschiefe Geraden

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad (s\in \mathbb {R} )$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

Es gibt eine eindeutig festgelegte Ebene E mit folgenden Eigenschaften:

• $\left.g_{1}\right.$ ist in E enthalten und
• $\left.g_{2}\right.$ verläuft parallel zu E,

nämlich

$E:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad (s,t\in \mathbb {R} )$.

Der Abstand der beiden Geraden ist also nichts anderes, als der Abstand der Gerade $\left.g_{2}\right.$ zur Ebene E.

Die Aufgabe besteht also aus zwei Teilen:

1. Die Ebene E nach obigen Bedingungen aufstellen und in Hesse'sche Normalenform umwandeln.
2. Den Abstand der Geraden $\left.g_{2}\right.$ zur Ebene E bestimmen (wie hier erklärt). Dazu
   • Einen Punkt P der Geraden $\left.g_{2}\right.$ finden.
   • Den Abstand dieses Punktes P von der Ebene E bestimmen (wie hier erklärt).

Beispiele

Zwei windschiefe Geraden

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

Die Hilfsebene ist dann

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Ein Einheitsnormalenvektor der Ebene ist ${\vec {n}}_{e}={\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}$. Die Hesse'sche Normalenform der Ebene lautet dann:

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}=0$

Der Punkt $P\left(-1|1|-1\right)$ ist ein Punkt der Geraden $\left.g_{2}\right.$. Es gilt:

$d(g_{2},g_{1})=d(g_{2},E)=d(P,E)=\left|{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}\right|=5\,\mathrm {LE}$

 

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