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Das Skalarprodukt

Neben der Vektoraddition, die zwei Vektoren zu einem neuen Vektor verknüpft, und der Multiplikation mit Skalaren, die ein Skalar und einen Vektor zu einem neuen Vektor verknüpft, soll nun eine Verknüpfung definiert werden, die zwei Vektoren zu einem Skalar verknüpft. Weil das Ergebnis dieser Verknüpfung eine skalare Größe ist, wird diese Verknüpfung Skalarprodukt genannt.

Definition

Ist $\varphi$ der Winkel zwischen den zu den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gehörenden Pfeilen (gemeint ist der kleinere der beiden Winkel), dann ist das Skalarprodukt aus ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ definiert als:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos(\varphi )$

 

Neben dem Punkt ($\cdot$), wie er auch für die Multiplikation von Zahlen bekannt ist, wird häufig auch ein Stern ($*$) benutzt, um das Skalarprodukt von der Multiplikation mit Skalaren abzugrenzen. Weitere Schreibweisen sind $\left\langle {\vec {a}}\vert {\vec {b}}\right\rangle$ und $\left\langle {\vec {a}};{\vec {b}}\right\rangle$. In diesem Buch wird die Schreibweise ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ verwendet.

Das hier definierte Skalarprodukt ist das sogenannte kanonische Skalarprodukt und die hierbei verwendete Euklidische Norm, die dem zuvor eingeführten Betrag eines Vektors entspricht, lässt sich als die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm definieren: $|{\vec {a}}|:={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$. Auch hinsichtlich des Winkels ist die gegebene geometrische Definition des Skalarproduktes mit dem Kosinussatz verträglich.

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt wie folgt deuten: Ist ${\vec {a}}_{p}$ die senkrechte Projektion von ${\vec {a}}$ auf ${\vec {b}}$, so ist $|{\vec {a}}_{p}|=|{\vec {a}}|\cdot \cos(\varphi )$. Analog ist $|{\vec {b}}_{p}|=|{\vec {b}}|\cdot \cos(\varphi )$, wenn ${\vec {b}}_{p}$ die senkrechte Projektion von ${\vec {b}}$ auf ${\vec {a}}$ ist. Damit ergibt sich:

$|{\vec {a}}_{p}|\cdot |{\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot \cos(\varphi )\cdot |{\vec {b}}|={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {b}}|\cdot \cos(\varphi )\cdot |{\vec {a}}|=|{\vec {b}}_{p}|\cdot |{\vec {a}}|$

Das Skalarprodukt aus ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist also in der Abbildung gleich dem Flächeninhalt der grauen Rechtecke.

Satz

Sind ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}$ in Koordinaten gegeben, so gilt:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$

 

Beweis

Betrachte ein Dreieck $\left.\Delta _{ABC}\right.$ mit ${\overrightarrow {CB}}={\vec {a}}$, ${\overrightarrow {CA}}={\vec {b}}$ und ${\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}$.

Dann ist ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$.

Dem Winkel $\varphi$ aus der Definition des Skalarproduktes entspricht im Dreieck $\left.\Delta _{ABC}\right.$ der Winkel $\varphi =\gamma =\angle \left(BCA\right)$ bei C.

Mit $a=\left|{\vec {a}}\right|$ der Länge der Seite ${\overline {CB}}$, $b=\left|{\vec {b}}\right|$ der Länge der Seite ${\overline {CA}}$ und $c=\left|{\vec {c}}\right|$ der Länge der Seite ${\overline {AB}}$ lautet der Kosinussatz:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \left(\gamma \right)$

das ist äquivalent zu

$a\cdot b\cdot \cos \left(\gamma \right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$

bzw. in Vektorschreibweise

$\underbrace {\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \cos \left(\varphi \right)} _{={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(\left|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}-\left|{\vec {a}}-{\vec {b}}\right|^{2}\right)$

also

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-(a_{1}-b_{1})^{2}-(a_{2}-b_{2})^{2}-(a_{3}-b_{3})^{2}\right)$

mit Hilfe der zweiten Binomischen Formel und Zusammenfassen der Terme folgt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot a_{1}\cdot b_{1}+2\cdot a_{2}\cdot b_{2}+2\cdot a_{3}\cdot b_{3}\right)$

und damit

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$

 

Regeln für das Skalarprodukt

Für das Skalarprodukt gilt

• das Kommutativgesetz ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
• und zusammen mit der Vektoraddition das Distributivgesetz $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$.
• In Verbindung mit der Multiplikation mit einem Skalar $r$ gilt die Homogenität $(r\cdot {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=r\cdot ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$.

Das Assoziativgesetz gilt dagegen im Allgemeinen nicht, und der Term ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ ist nicht definiert, da nicht klar ist, welche der Multiplikationen ein Skalarprodukt und welche eine Multiplikation mit einem Skalar ist.

Im Allgemeinen ist nämlich $\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {c}}$,

also erst Skalarprodukt zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ und dann Multiplikation des skalaren Ergebnisses mit ${\vec {c}}$,

ungleich ${\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)$,

also erst Skalarprodukt zwischen ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$ und dann Multiplikation des skalaren Ergebnisses mit ${\vec {a}}$.

 

Beispiele

• Der Winkel zwischen den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ betrage $\varphi =60^{\circ }$. Es sei $\left|{\vec {a}}\right|=4$ und $\left|{\vec {b}}\right|=5$.

Dann ist ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=4\cdot 5\cdot \cos \left(60^{\circ }\right)=10$.

• Für die Vektoren ${\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}$ gilt:

${\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {e}}_{1}=0$, denn es ist jeweils $\varphi =90^{\circ }$ und $\cos \left(90^{\circ }\right)=0$.

• ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}5\\-7\\6\\\end{pmatrix}}=1\cdot 5-2\cdot 7+3\cdot 6=5-14+18=9$

 

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