Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz über monotone Konvergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Nun können wir den ersten wichtigen Grenzwertsatz für das Maßintegral beweisen: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Der Satz über monotone Konvergenz

Satz (Satz über monotone Konvergenz)

Sei $(f_{n})_{n}$ eine monoton wachsende Folge in $P^{\ast }$. Dann ist $f:=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\in P^{\ast }$ und Integral und Grenzwert lassen sich vertauschen

$\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm=\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$

Beweis (Satz über monotone Konvergenz)

Unser Ziel ist es, eine monoton steigende Folge primitiver Funktionen $(v_{n})_{n}$ zu konstruieren, die gegen $f$ geht. Gleichzeitig soll $v_{n}$ kleiner oder gleich $f_{n}$ sein für alle $n\in \mathbb {N}$ .

Für alle $f_{n}$ existiert eine monoton steigende Folge von primitiven Funktionen $u_{i,n}\in P$ mit $u_{i,n}\uparrow f_{n}$, d.h.

$\lim _{i\rightarrow \infty }u_{i,n}=f_{n}$

Die $u_{i,n}$ wachsen ggf. unterschiedlich schnell. Wir konstruieren aus ihnen eine gemeinsame monoton wachsende Folge primitiver Funktionen $(v_{n})_{n}$ durch das Maximum der jeweils $n$ -ten Folgenglieder für die ersten $n$ Funktionen $f_{j}$ , in Formeln

$v_{n}:=\max(u_{n,1},\ldots ,u_{n,n})\in P$

Da die $u_{i,n}$ monoton wachsend in der ersten Komponente sind, gilt

$u_{n+1,j}\geq u_{n,j}$

Damit wird die Folge der $v_{n}$ ebenfalls monoton wachsend, da das Maximum über größere Elemente gebildet wird

${\begin{aligned}v_{n}=&\max(u_{n,1},\ldots ,u_{n,n})\\\leq &\max(u_{n+1,1},\ldots ,u_{n+1,n},u_{n+1,n+1})\\=&v_{n+1}\end{aligned}}$

Da $f_{n}$ monoton wachsend in $n$ ist, gilt für $k\leq n$

$u_{n,k}\leq f_{k}\leq f_{n}\leq f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$

Das gilt für alle $k\leq n$ und somit auch für das Maximum über alle diese Elemente

$v_{n}=\max(u_{n,1},\ldots ,u_{n,n})\leq f_{n}\leq f$

Die $u_{i,n}$ lassen sich gegenüber $v_{i}$ abschätzen für große $i$ zu

${\begin{aligned}u_{i,n}\leq \max(u_{i,1},\ldots ,u_{i,n},\ldots ,u_{i,i})=v_{i}{\text{ für }}i\geq n\end{aligned}}$

Die Ungleichung bleibt im Grenzwert erhalten und somit

${\begin{aligned}f_{n}=&\lim _{i\rightarrow \infty }u_{i,n}\leq \lim _{i\rightarrow \infty }v_{i}\leq f\\\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq &\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}\leq \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\end{aligned}}$

d.h. die Folge der primitiven Funktionen $(v_{n})_{n}$ geht monoton steigend gegen $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$! Damit ist das Integral von $f$ automatisch der Grenzwert der Integrale der $v_{n}$

$\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm=\lim _{n\rightarrow \infty }\int v_{n}dm$

Mit der Monotonie des Integrales folgt aus

$v_{n}\leq f_{n}\leq \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$

dann

$\int v_{n}dm\leq \int f_{n}dm\leq \int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$

was im Grenzwert erhalten bleibt:

$\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm=\lim _{n\rightarrow \infty }\int v_{n}dm\leq \lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm\leq \int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$

Vertauschen von Reihe und Integral

Satz

Für eine Folge $(f_{n})_{n}$ in $P^{\ast }$ gilt $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}\in P^{\ast }$ und abzählbare Summe und Integral lassen sich vertauschen

$\int \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}dm=\sum _{n=1}^{\infty }\int f_{n}dm$

Beweis

$\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{k}f_{n}$ ist messbar und größer gleich Null und somit in $P^{\ast }$. Da die Summe der ersten $k$ Folgenglieder $f_{n}$ aufsteigend gegen die abzählbare Summe der $f_{n}$ geht

$\left(\sum _{n=1}^{k}f_{n}\right)_{k}\uparrow \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$

lässt sich der Satz über monotone Konvergenz anwenden zu

${\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}dm{\stackrel {Def}{=}}&\int \lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{k}f_{n}dm=\lim _{k\rightarrow \infty }\int \sum _{n=1}^{k}f_{n}dm\\=&\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{k}\int f_{n}dm{\stackrel {Def}{=}}\sum _{n=1}^{\infty }\int f_{n}dm\end{aligned}}$

Eine nicht-negative Funktion definiert ein Integral

Mit einem messbaren $f\geq 0$ und dem Maß $m$ lässt sich über das Integral ein neues Maß $Q$ konstruieren:

Satz

Sei $f\in P^{\ast }$. Dann ist

$Q:S\rightarrow [0,\infty ],A\mapsto \int _{A}fdm=\int 1_{A}fdm$

ein Maß auf $(W,S)$.

Beweis

Wir rechnen die Eigenschaften des Maßes nach: da $f$ und $1_{A}$ beide nicht-negativ sind, ist auch das Integral über $1_{A}\cdot f$ nicht-negativ

${\begin{aligned}Q[A]=\int \underbrace {1_{A}f} _{\geq 0}dm\geq 0\\\end{aligned}}$

Wegen

${\begin{aligned}1_{\emptyset }(w)={\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in \emptyset \\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}=0\end{aligned}}$

gilt $1_{\emptyset }f=0$ und somit

${\begin{aligned}Q[\emptyset ]=&\int 1_{\emptyset }fdm=\int 0dm=0\\\end{aligned}}$

Wegen der disjunkten Vereinigung gilt

${\begin{aligned}1_{\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}}(w)=&{\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in \biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}\\=&{\begin{cases}1&{\text{ es gibt genau ein }}i\in \mathbb {N} {\text{ mit }}w\in A_{i}\\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}\\=&\sum _{i=1}^{\infty }1_{A_{i}}(w)\end{aligned}}$

da in der abzählbaren SUmme wegen der Disjunktheit der $A_{i}$ nur ein Term $1$ werden kann. Damit lassen sich abzählbsare Summe und Integral vertauschen

${\begin{aligned}Q\left[\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right]=&\int 1_{\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}}fdm\\=&\int \left(\sum _{i=1}^{\infty }1_{A_{i}}\right)fdm\\=&\sum _{i=1}^{\infty }\int 1_{A_{i}}fdm\\=&\sum _{i=1}^{\infty }Q(A_{i})\end{aligned}}$

Aufgabe

a) Gilt $f:W\rightarrow [0,\infty )$ und $\int fdm<\infty$ und ist $m$ sigma-endlich, so ist $Q=\int fdm$ sigma-endlich.

b) Sei $f:(X,S,m)\rightarrow [0,\infty )$ messbar und

${\begin{aligned}Q:S\rightarrow [0,\infty ),A\mapsto \int 1_{A}\cdot fdm\end{aligned}}$

Sei $A$ eine $m$-Nullmenge. Dann folgt, dass $A$ eine $Q$-Nullmenge ist, in Formeln gilt

${\begin{aligned}m(A)=0\Rightarrow Q(A)=0\end{aligned}}$

c) Sei $f:\mathbb {N} \rightarrow [0,\infty )$ und $(\mathbb {N} ,Pot(\mathbb {N} ),m)$ mit dem Zählmaß $m$ gegeben. Dann gilt

$Q(A)=\sum _{i\in A}f(i)$

Beweis

a) Sei $m$ sigma-endlich. Dann $\exists A_{n}\in S$ mit $\forall n\in \mathbb {N} :m(A_{n})<\infty$ und $W=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$.

Da f nach Voraussetzung nicht den Wert Unendlich annimmt, lässt sich der Wertebereich von f in abzählbar vielen Schritten $[0,n)$ ausschöpfen: Wähle

$\forall n\in \mathbb {N} :\ B_{n}:=f^{-1}([0,n))$

Dann gilt $W=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}$ und die Kombination beider Bedingungen ergibt

$W=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}\cap B_{n})$

Damit ist $(1_{A_{n}\cap B_{n}}\cdot f)_{n}$ monoton steigende, nicht-negative Funktionenfolge und der Satz über monotone Konvergnz ist anwendbar.

${\begin{aligned}Q(A_{n}\cap B_{n})\leq &\int 1_{A_{n}}ndm\leq m(A_{n})\cdot n<\infty \\Q(W)=&Q\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}\cap B_{n})\right)=\int \lim _{n\rightarrow \infty }1_{A_{n}\cap B_{n}}\cdot fdm\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int 1_{A_{n}\cap B_{n}}\cdot fdm\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }Q(A_{n}\cap B_{n})\end{aligned}}$

b)

${\begin{aligned}0\leq &Q(A)=\int 1_{A}\cdot fdm\\\leq &\int 1_{A}\cdot \infty dm\\=&\infty \cdot \underbrace {m(A)} _{=0}=0\end{aligned}}$

c)

${\begin{aligned}Q(A)=\int 1_{A}\cdot fdm=\sum _{n\in \mathbb {N} }1_{A}(n)\cdot f(n)m(\{n\}=\sum _{i\in A}f(i)\end{aligned}}$