Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Jordan-Inhalt in der Ebene

Zielsetzung

To-Do:

Überarbeiten und genauer den Bezug zum Maßproblem und die Einschränkungen, die wir treffen, erläutern:

Wir wollen zunächst den Jordan-Inhalt untersuchen, den wir erhalten, wenn wir den Inhalt ausgehend vom elementargeometrischen FI von Rechtecken definieren und dabei die intuitiv naheliegende Forderung der endlichen Additivität berücksichtigen (vgl. Überblick im Abschnitt "Maßproblem")
aber Banach-Tarski hat gezeigt: auf $\mathbb {R} ^{\geq 3}$ ist das Inhaltsproblem unlösbar (es gibt keine bewegungsinvariante additive Inhaltsfunktion auf der Potenzmenge, die Kugeln einen endlichen positiven Flächeninhalt zuordnet)
wir werden daher die bereits erwähnte Einschränkung auf "gute"/"böse" Mengen treffen (messbare/nicht messbare Mengen)
dafür werden wir den Inhaltsbegriff schrittweise von (auf $\mathbb {R} ^{n}$ verallgemeinerten) Quadern zu Quaderfiguren und schließlich zu allgemeinen krummlinigen Flächen erweitern

(vgl. auch Gliederungsvorschlag für den Artikel "Das Maßproblem")

Die Untersuchungen zum Maßproblem haben gezeigt, dass es unmöglich ist, jeder Menge der reellen Zahlengerade sinnvoll eine Länge, jeder Teilmenge der Ebene eine Fläche oder jeder Teilmenge des Raums ein Volumen zuzuordnen. So zeigt das Banach-Tarski-Paradoxon, dass eine Kugel durch geschickte Zerlegung und anschließende Verschiebung und Drehung der entstandenen Teile in zwei Kugeln mit demselben Radius wie die ursprüngliche Kugel wieder zusammengesetzt werden kann. Durch Zerlegung, Verschiebung und Drehung kann also ein Volumen verdoppelt werden, was unserer intuitiven Vorstellung widerspricht.

Was können wir machen? Mathematiker und Mathematikerinnen haben hierfür eine Lösung gefunden: Man betrachtet „gute“ und „böse“ Mengen. Den „guten“ Mengen kann man einen Inhalt (Länge, Flächeninhalt oder Volumen) zuordnen, bei „bösen“ Mengen ist dies nicht möglich. Solange man mit „guten“ Mengen arbeitet, genügt dieser Inhalt auch unseren intuitiven Vorstellungen. Eine Zerlegung einer „guten“ Menge in „gute“ Teilmengen, das Verschieben oder Drehen von „guten“ Mengen oder das Zusammenfügen „guter“ Mengen ändert den Gesamtinhalt nicht. Sobald man aber mit „bösen” Mengen arbeitet, können Paradoxa wie das Banach-Tarski-Paradoxon auftreten oder eine Inhaltsbestimmung nicht möglich sein. Diese „guten“ Mengen werden wir messbar nennen und die “bösen“ Mengen sind die nicht messbaren Mengen.

Es stellen sich nun folgende Fragen: Wie kann man entscheiden, welche Menge „gut“ und welche Menge „böse“ ist? Wie kann man bei „guten“ bzw. messbaren Mengen entscheiden, wie groß ihr Inhalt ist? Wir werden im Folgenden ein einfaches Verfahren kennen lernen, wie man den Flächeninhalt von einfachen Flächen bestimmt. Dabei wollen wir das Verfahren nur skizzieren und keine Beweise führen. Uns geht es erst einmal nur darum eine Idee zu entwickeln, wie das Inhaltsproblem lösbar ist.

Flächeninhalt von Rechtecken

Formel für Flächenbestimmung bei Rechtecken

Welche Mengen der Ebene sind „gut“ bzw. messbar? Beginnen wir mit einem Grundtyp an Flächen, welche auf jeden Fall messbar sein sollen und dessen Flächeninhalt wir bereits kennen. Ein solcher einfache Grundtyp sind Rechtecke. Ihr Flächeninhalt ist das Produkt ihrer Seitenlängen:

Das Schöne an Rechtecken ist, dass man diese leicht aneinanderlegen kann, um andere Flächen auszufüllen. Dies können wir ausnutzen, um den Flächeninhalt von anderen Flächen zu bestimmen. Hierzu setzen wir Rechtecke aneinander, um den Flächeninhalt einer vorgegebenen Figur auszufüllen:

Wieso macht die Flächenformel Sinn?

Wieso ist der Flächeninhalt eines Rechtecks gleich dem Produkt der Seitenlängen? Wenn wir zwei identische Rechtecke aneinanderlegen, ergibt sich ein doppelt so großes Rechteck. Beim Verschieben des einen Rechtecks bleibt nämlich der Flächeninhalt erhalten. Dabei wird auch die eine Seitenlänge verdoppelt. Bei drei Rechtecken verdreifacht und bei vier Rechtecken vervierfacht sich der Flächeninhalt und die Seitenlänge:

Die Formel der Flächenbestimmung sollte also multiplikativ bzgl. der beiden Seitenlängen sein. Die Vervielfachung einer Seitenlänge vervielfacht den Flächeninhalt um denselben Faktor. Das Produkt $a\cdot b$ der beiden Seitenlängen $a$ und $b$ erfüllt genau diese Eigenschaft.

Flächeninhalt von Rechtecksfiguren

Rechtecke sind „gute“ Mengen. Sprich: Wir können den Flächeninhalt von diesen bestimmen. Dies können wir benutzen, um den Flächeninhalt von solchen Figuren zu berechnen, die aus nicht überschneidenden Rechtecken aufgebaut sind:

Eine Figur, die aus Rechtecken aufgebaut ist

Ihr Flächeninhalt ist gleich der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke:

{\text{Fläche}}\left(\biguplus _{i=1}^{n}{\text{Rechteck}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\text{Fläche}}\left({\text{Rechteck}}_{i}\right)

Dabei zeigt das Symbol $\biguplus$ an, dass nur disjunkte Rechtecke vereinigt werden. Sprich: Keine der Rechtecke überlappen sich. Wenn die Vereinigung nicht disjunkt ist, so müssen wir sie disjunkt machen. Die Fläche zweier sich schneidender Rechtecke ist kleiner als die Summe der Einzelflächen, da der Flächeninhalt der Schnittmenge nur einmal gezählt werden muss:

Um den Flächeninhalt von sich überlappenden Rechtecken zu bestimmen, müssen wir die neue Fläche in disjunkte Rechtecke zerlegen:

Vereinigung ist als disjunkte Vereinigung darstellbar

Damit können wir auch die Flächeninhalte der Mengen bestimmen, die aus nicht disjunkten Vereinigungen von Rechtecken entstehen. Nehme als Beispiel hierzu die folgende Figur:

Diese Figur kann in Rechtecke zerlegt werden:

Damit kann auch der Flächeninhalt dieser Figur bestimmt werden. Dieser ist gleich der Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke, aus denen die Figur besteht. Somit können wir nun aufbauend von den Rechtecken allen Rechtecksfiguren, die aus Vereinigungen von Rechtecken entstehen, einen Flächeninhalt zuordnen. Dies sind alle rechtwinklig umrandeten Figuren, die keine „Löcher“ enthalten.

Der Jordan-Inhalt und der Flächeninhalt von krummlinigen Figuren

Grundidee des Jordan-Inhalts

Wir haben den Flächeninhalt von Rechtecken und Rechtecksfiguren bestimmt. Jetzt fehlt noch eine Klasse von Figuren: die krummlinigen Flächen. Auch hierfür können wir Rechtecke benutzen, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Hierzu können wir die krummlinige Fläche schrittweise von innen mit Rechtecksfiguren (Vereinigung von Rechtecken) ausfüllen:

Ausschöpfung eines Kreises mit Rechtecken

Wir betrachten den Grenzwert des Ausfüllens der krummlinigen Fläche durch endlich viele Rechtecke. Wenn diese Rechtecke disjunkt sind, können wir den Inhalt der krummlinigen Fläche durch den Grenzwert der Summe der Einzelflächeninhalte bestimmen:

\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}{\text{Fläche}}\left({\text{Rechteck}}_{i}\right)

Wir gehen dabei davon aus, dass alle Rechtecke disjunkt sind. Jedes endliche Ausfüllen der Fläche mit Rechtecken ergibt eine untere Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts. Die beste Abschätzung des Flächeninhalts durch Ausfüllen mit Rechtecken nach unten, sollte dem tatsächlichen Flächeninhalt entsprechen. Wir können aber auch den gesuchten Flächeninhalt nach oben abschätzen. Hierzu überdecken wir die Figur mit Rechtecken und verfeinern die Überdeckung immer mehr:

Überdeckung eines Kreises mit Rechtecken

Jede Überdeckung schätzt den Flächeninhalt nach oben ab. Je feiner die Überdeckung ist, desto besser ist diese Abschätzung. Die beste Abschätzung, die durch Überdeckung erreichbar ist, sollte dem tatsächlichen Flächeninhalt entsprechen.

Definition des Jordan-Inhalts

Wir haben zwei Wege, um den Flächeninhalt einer krummlinigen Fläche zu bestimmen: Das Ausschöpfen und die Überdeckung mit Rechtecksfiguren. Wenn eine Fläche einen bestimmbaren Flächeninhalt besitzt, sollten die untere und die obere Abschätzung übereinstimmen. Wenn dem so ist, nennen wir die Menge messbar. Sollte es einen Unterschied geben, dann können wir der Menge keinen eindeutigen Flächeninhalt zuordnen und wir nennen sie dann nicht messbar.

Wir haben so ein Verfahren gefunden, um ausgehend von Rechtecken Mengen der Ebene einen Flächeninhalt zuzuordnen. Dies ist auch der Weg, den Peano und Jordan beschritten haben, welche die Maßtheorie zusammen mit anderen Mathematikern und Mathematikerinnen begründeten. Der Flächeninhalt durch Ausschöpfung von innen mit Rechtecken wird dabei passenderweise innerer Jordan-Inhalt genannt und der Flächeninhalt durch Überdeckung besitzt den Namen äußeren Jordan-Inhalt.

Bei Übereinstimmung beider Maße können wir davon ausgehen, dass die Fläche gutartig ist und das gemeinsame Maß ist der Flächeninhalt der Fläche. Dieses Maß wird Jordan-Inhalt genannt. Eine Fläche, zu der nach diesem Verfahren ein Flächeninhalt bestimmt werden kann, wird Jordan-messbar genannt.

Ausblick: Grenzen des Jordan-Inhalts und das Lebesgue-Maß

Der Jordan-Inhalt lässt eine Flächenbestimmung bei den meisten Flächen zu, die uns begegnen: Dreiecke, Kreise, Ellipsen und andere regulär aufgebaute Flächen. Jedoch hat es auch seine Grenzen. Wie der Mathematiker Henri Léon Lebesgue zeigen konnte, kann der Jordan-Inhalt weiter verbessert werden, so dass auch bei mehr Mengen eine Flächenbestimmung möglich ist. Dieses allgemeinere Maß wird entsprechend Lebesgue-Maß genannt und ist in der Mathematik der Standard zur Definition eines Maßes.